Wissen: Was sind Matrizen

Autor: Dr. Volkmar Naumburger ❤️ Bedanken

Einführung Matrizen

Matrizen sind eine andere Darstellungsform für lineare Gleichungssysteme. Während Determinanten Lösungen für LGS liefern, erlauben Matrizen das Rechnen mit LGS.

Vergleicht man ein lineares Gleichungssystem (siehe Gl. 61)

\( \begin{array}{l} I. & {a_{11} }·x + {a_{12} }·y = {c_1} \\ II. & {a_{21} }·x + {a_{22} }·y = {c_2} \end{array} \) Gl. 122

mit einem Gleichungssystem zur Berechnung eines zu rotierenden Punktes

\(\begin{array}{l}I. & x' = \cos (\alpha ) \cdot x - \sin (\alpha ) \cdot y\\II. & y' = \sin (\alpha ) \cdot x + \cos (\alpha ) \cdot y\end{array}\) Gl. 123

werden gewisse Parallelitäten offenbar. Beiden Gleichungssystemen ist gemeinsam, dass die Variablen x und y in gleicher Weise mit konstanten Koeffizienten verknüpft vorliegen.

Abweichend ist aber, dass im ersten Fall konstante Glieder (c1 bzw. c2) auf der anderen Seite der Gleichungen stehen, im zweiten Fall aber sind es wiederum Variable, aber andere Variable. Hat das eine LGS (Gl. 122) das Finden eines Schnittpunktes von Geraden zum Ziel, hat das andere LGS (Gl. 123) eine Input/Output-Funktion zu erfüllen. Der Input wird durch die ursprünglichen Koordinaten eines Punktes geliefert, der über eine Verknüpfung – das LGS – zu den Koordinaten des modifizierten Punktes - dem Output - verarbeitet wird. In den angeführten Beispielen werden die Koeffizienten der Gleichungssysteme in quadratischen Matrizen angeordnet (was aber nicht Bedingung ist!).

Darüber hinaus gibt es aber auch noch andere Anwendungsbereiche für Matrizen. Beispielsweise sind die Pixel einer Schwarz/Weiß-Grafik oder mehrere Fachzensuren den jeweiligen Schülern in Form einer Matrix angeordnet: hier werden die Pixel ihren Koordinaten (Zeile – Spalte), dort die Zensuren den Schülernamen zugeordnet. In diesen Anwendungen ist die quadratische Form der Matrix eher die Ausnahme:

\( \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c} } a&b&c&d&e&f&g&h&{ Schüler/Fach}&{} \end{array} \\ \begin{array}{*{20}{c} } 1&2&1&4&2&2&3&1\\3&2&2&2&3&4&5&2\\3&2&1&2&4&5&2&1\\3&4&4&1&2&3&2&1\\2&3&2&3&2&4&4&2\end{array} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \begin{array}{*{20}{c} } {Deutsch}\\{Englisch}\\{Mathe}\\{Physik}\\{Chemie}\end{array} \end{array} \) Gl. 124

Die Bedeutung der Matrizen liegt hauptsächlich darin, dass Operationen mit ganzen Gleichungssystemen ausgeführt werden können. So können beispielsweise Bildtransformationen Rechenzeit sparend ausgeführt, große Datenmengen (Telefonie) komprimiert werden oder es werden statistische Aussagen über große Personenkreise möglich gemacht.

Determinanten hingegen werden immer mit dem Ziel der numerischen Bestimmung der Lösung eines beliebigen Gleichungssystems aufgestellt und gelöst.

Definition

Matrizen (Singular Matrix) sind rechteckförmige Anordnungen von Zahlen oder allgemeinen Bezeichnern aus I Gleichungen mit K Unbekannten.

\(A = \left( { {a_{ik} } } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&{ {a_{13} } }&{...}&{ {a_{1K} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&{ {a_{23} } }&{...}&{ {a_{2K} } }\\{...}&{...}&{...}&{ {a_{ik} } }&{...}\\{ {a_{I1} } }&{ {a_{I2} } }&{ {a_{I3} } }&{...}&{ {a_{IK} } }\end{array} } \right)\) Gl. 125

Wie auch bei Determinanten bezeichnet der Index i die Zeile und der Index k die Spalte, in der das Element aik zu finden ist. Im Unterschied zu den Determinanten dürfen Matrizen unterschiedliche Zeilen- und Spaltenzahlen aufweisen.

Wert einer Matrix

Der Wert einer Matrix wird durch ihre Determinante bestimmt. Einen Wert ungleich Null können aber nur quadratische Matrizen liefern.:

\( \left| A \right| = \det \left( { {a_{ik} } } \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&{ {a_{13} } }&{...}&{ {a_{1K} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&{ {a_{23} } }&{...}&{ {a_{2K} } }\\{ {a_{31} } }&{ {a_{32} } }&{ {a_{33} } }&{...}&{ {a_{2K} } }\\{...}&{...}&{...}&{ {a_{ik} } }&{...}\\{ {a_{I1} } }&{ {a_{I2} } }&{ {a_{I3} } }&{...}&{ {a_{IK} } }\end{array} } \right| \text{ wobei } I = K \) Gl. 126

Ist der Wert einer Matrix von Null verschieden, wird von einer regulären Matrix gesprochen. Matrizen mit dem Wert Null heißen dagegen singulär.

Spur einer Matrix

Die Spur einer Matrix wird aus der Summe aller Elemente der Hauptdiagonalen der Matrix gebildet. Eine Spur ist nur für quadratische Matrizen sinnvoll.

\(Spur(A) = \sum\limits_{i = 1}^I { {a_{ii} } } \) Gl. 127

Beispiel:

Es sei die Spur der Matrix \( A = \left( {\begin{array}{*{20}{c} } 1&3&{ - 4}&3 \\ 0&2&{ - 1}&5 \\ 6&2&7&{ -1} \\ { - 1}&2&4&0\end{array} } \right) \) zu bestimmen.

Lösung:

\(Spur(A) = 1 + 2 + 7 + 0 = 10\)

Rang einer Matrix

Der Rang einer Matrix ist gleich dem Rang der ranggrößten nichtverschwindenden Determinante der Matrix.

Determinanten, die einen von Null verschiedenen Wert haben, sind zumindest von quadratischer Gestalt, so dass eine nichtquadratische Matrix durch Streichen von Zeilen oder Spalten zu einer quadratischen Matrix umgeformt werden muss, ehe ihr Rang bestimmt werden kann. Ist nun die Determinante der so verkürzten Matrix ungleich Null, so hat die Matrix den gleichen Rang wie die dazu gehörende Determinante. Verschwinden hingegen alle so ermittelten möglichen Unterdeterminanten, so ist durch weiteres Streichen von Zeilen bzw. Spalten nach einer nicht verschwindenden Determinante zu suchen. Dieses Verfahren wird solange wiederholt, bis wenigstens eine Determinante ungleich Null gefunden wurde. Deren Rang entspricht dann dem Rang der gegebenen Matrix.

Beispiel:

Welchen Rang hat folgende Matrix?

\(A = \left( { {a_{ik} } } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1&3&{ - 3}\\2&6&1\end{array} } \right)\)

Die Matrix kann durch Streichen einer Spalte in die quadratische Form gebracht werden (das Hinzufügen einer Nullen-Zeile hätte keine Wirkung, da der Wert dieser Matrix allein dadurch zu Null würde).

1. Versuch:

Streichen der letzten Spalte

\( \left| { {A`} } \right| = \left| { { {\left( { {a_{ik} } } \right)}`} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c} } 1&3 \\ 2&6 \end{array} } \right| = 0 \)   ⇒ der Rang dieser Matrix < 2.

Weiteres Streichen von Spalten und Zeilen führt in jedem Fall auf Werte ungleich Null. D.h. der Rang r ist mindestens gleich 1.

2. Versuch:

Streichen der mittleren Spalte

\( \left| { {A`} } \right| = \left| { { {\left( { {a_{ik} } } \right)}`} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c} } 1&{-3} \\ 2&1 \end{array} } \right| = 7 \)   ⇒ der Rang dieser Matrix = 2.

D.h. der Rang der Matrix A ist also r = 2.

Vektoren

Matrizen, die nur aus einer Spalte oder einer Zeile bestehen, werden Einspalten- oder Einzeilenmatrix genannt.

\( A = \left( {\begin{array}{*{20}{c} } { {a_1} } \\ { {a_2} } \\ {...} \\ { {a_I} } \end{array} } \right) \qquad B = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {b_1} }&{ {b_2} } \quad {...} \quad { {b_K} }\end{array} } \right) \) Gl. 128

Solche Matrizen werden üblicher Weise Vektoren genannt.

Nullmatrix

Eine Nullmatrix liegt dann vor, wenn jedes Element der Matrix = 0 ist.

\(\left( 0 \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }0&0&0&{...}&0\\0&0&0&{...}&0\\{...}&{...}&{...}&0&{...}\\0&0&0&{...}&0\end{array} } \right)\) Gl. 129

Einheitsmatrix

Wenn nur die Elemente der Hauptdiagonalen = 1, alle anderen Elemente aber = 0 sind, spricht man von einer Einheitsmatrix (auch Eins-Matrix). Zudem ist eine Einheitsmatrix stets von quadratischer Form.

Funktionell erfüllt die Einheitsmatrix die gleiche Aufgabe wie die „1“ in der elementaren Algebra.

\( \left( 1 \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1&0&{...}&0\\0&1&{...}&0\\{...}&{...}&1&{...}\\0&0&{...}&1\end{array} } \right) = I \) Gl. 130

Der Rang r der Einheitsmatrix richtet sich stets nach den vorliegenden Erfordernissen. In der Regel sind das die Ränge, die durch andere Matrizen, zu denen die Einheitsmatrix in Bezug steht, vorgegeben werden.

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