Wissen: Rechenregeln für Matrizen

Autor: Dr. Volkmar Naumburger ❤️ Bedanken

1. Gleichheit von Matrizen

Matrizen sind nur dann einander gleich, wenn sie in allen Elementen übereinstimmen.

\(\left( { {a_{ik} } } \right) = \left( { {b_{ik} } } \right) \Rightarrow {a_{ik} } = {b_{ik} }\,\,\,\, \text{ für }\,\,\,\forall i \le I\,\, \wedge \,\forall k \le K\).

2. Multiplikation mit einem Skalar

Eine Matrix wird mit einem Skalar (konstanter Faktor) multipliziert, indem jedes Element der Matrix mit diesem Faktor multipliziert wird.

\( \mu \cdot A = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{\mu {a_{11} } }&{\mu {a_{12} } }&{\mu {a_{13} } }&{...}&{\mu {a_{1K} } }\\{\mu {a_{21} } }&{\mu {a_{22} } }&{\mu {a_{23} } }&{...}&{\mu {a_{2K} } }\\{...}&{...}&{...}&{\mu {a_{ik} } }&{...}\\{\mu {a_{I1} } }&{\mu {a_{I2} } }&{\mu {a_{I3} } }&{...}&{\mu {a_{IK} } }\end{array} } \right) \) Gl. 131

Beispiel:

Gegeben sei \( A = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2&3&{ - 2}\\4&2&1\\{ - 2}&5&3\end{array} } \right) \)

und sei mit 5 zu multiplizieren:

\( 5 \cdot A = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{10}&{15}&{ - 10}\\{20}&{10}&5\\{ - 10}&{25}&{15}\end{array} } \right) \)

3. Addition und Subtraktion

Matrizen werden addiert (subtrahiert) indem die Elemente beider Matrizen mit gleichen Indizes addiert (subtrahiert) werden.

Bedingung: die beteiligten Matrizen müssen gleiche Anzahlen von Zeilen und Spalten haben. Ist dies nicht der Fall, müssen fehlende Zeilen oder Spalten mit Nullen aufgefüllt werden.

\( A + B = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } + {b_{11} } }&{ {a_{12} } + {b_{12} } }&{ {a_{13} } + {b_{13} } }&{...}&{ {a_{1K} } + {b_{1K} } }\\{ {a_{21} } + {b_{21} } }&{ {a_{22} } + {b_{22} } }&{ {a_{23} } + {b_{23} } }&{...}&{ {a_{2K} } + {b_{2K} } }\\{...}&{...}&{...}&{ {a_{ik} } + {b_{ik} } }&{...}\\{ {a_{I1} } + {b_{I1} } }&{ {a_{I2} } + {b_{I2} } }&{ {a_{I3} } + {b_{I3} } }&{...}&{ {a_{IK} } + {b_{IK} } }\end{array} } \right) \) Gl. 132

Beispiel:

Gegeben seien \( A = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2&3&{ - 2}\\4&2&1\\{ - 2}&5&3\end{array} } \right) \text{ und } B = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1&3&{ - 2}\\4&1&1\\{ - 2}&5&2\end{array} } \right) \)

gesucht ist die Differenz:

\(A - B = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array} } \right)\)

4. Diagonalmatrix

Unter Anwendung der Eigenschaft nach Gl. 131 entsteht eine Diagonalmatrix durch die Multiplikation der Einheitsmatrix mit einem Skalar.

\( d · I = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }d&0&{...}&0\\0&d&{...}&0\\{...}&{...}&d&{...}\\0&0&{...}&d\end{array} } \right) = \left( { {d_{ii} } } \right) \) Gl. 133

5. Transponierung einer Matrix

Eine Matrix wird transponiert, indem Zeilen und Spalten vertauscht werden.

\( {A^T} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&{ {a_{13} } }&{...}&{ {a_{1K} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&{ {a_{23} } }&{...}&{ {a_{2K} } }\\{...}&{...}&{...}&{ {a_{ik} } }&{...}\\{ {a_{I1} } }&{ {a_{I2} } }&{ {a_{I3} } }&{...}&{ {a_{IK} } }\end{array} } \right)^T} = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{21} } }&{...}&{ {a_{I1} } }\\{ {a_{12} } }&{ {a_{22} } }&{...}&{ {a_{I2} } }\\{ {a_{13} } }&{ {a_{23} } }&{...}&{ {a_{I3} } }\\{...}&{...}&{ {a_{ki} } }&{...}\\{ {a_{1K} } }&{ {a_{2K} } }&{...}&{ {a_{IK} } }\end{array} } \right) \) Gl. 134

zweifaches Transponieren führt auf die Ausgangsmatrix zurück:

\( {\left( { {A^T} } \right)^T} = A \) Gl. 135

Beispiel:

Gesucht ist die transponierte Matrix zu

\( A = \left( {\begin{array}{*{20}{c} } 2 & 3 & {-2} \\ 4 & 2 & 1 \\ {-2} & 5 & 3 \end{array} } \right) \) ⇒ \( {A^T} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c} } 2 & 3 & {-2} \\ 4 & 2 & 1 \\ {-2} & 5 & 3 \end{array} } \right)^T} = \left( {\begin{array}{*{20}{c} } 2 & 4 & {-2} \\ 3 & 2 & 5 \\ {-2} & 1 & 3 \end{array} } \right) \)

6. Symmetrie und Antisymmetrie

Eine quadratische Matrix ist dann symmetrisch, wenn das Vertauschen von Zeilen und Spalten die Matrix nicht verändert.

\( {A^T} = A\) \({a_{ik} } = {a_{ki} }\,\,\,\,\, \text{ für } \,\,\,\forall i \le I\,\, \wedge \,\forall k \le K \) Gl. 136

Eine quadratische Matrix ist dann antisymmetrisch, wenn das Vertauschen von Zeilen und Spalten zu einem Vorzeichenwechsel der Matrix führt.

\( {A^T} = - A\) \({a_{ik} } = - {a_{ki} }\,\,\,\,\, \text{ für } \,\,\,\forall i \le I\,\, \wedge \,\forall k \le K \) Gl. 137

Diese Bedingung hat zur Folge, dass alle Elemente auf der Hauptdiagonalen = 0 sein müssen. Andernfalls wäre die Aussage \({a_{ii} } = -{a_{ii} }\,\,\,\,\, \text{ für } \,\,\,\forall i \le I\,\,\) falsch.

Jede quadratische Matrix kann in einen symmetrischen und einen antisymmetrischen Anteil zerlegt werden:

\( A = \frac{1}{2}\left[ {A + {A^T} } \right] + \frac{1}{2}\left[ {A - {A^T} } \right] = {A_S} + {A_A} \) Gl. 138

Beweis:

a) \( {A_S}^T = \frac{1}{2}{\left[ {A + {A^T} } \right]^T} = \frac{1}{2}\left[ { {A^T} + { {\left( { {A^T} } \right)}^T} } \right] = \frac{1}{2}\left[ { {A^T} + A} \right] = {A_S} \)

d.h. die Transponierung hat die Ausgangsmatrix nicht verändert.

b) \({A_A}^T = \frac{1}{2}{\left[ {A - {A^T} } \right]^T} = \frac{1}{2}\left[ { {A^T} - { {\left( { {A^T} } \right)}^T} } \right] = \frac{1}{2}\left[ { {A^T} - A} \right] = - {A_A}\)

d.h. die Transponierung hat das Vorzeichen der Ausgangsmatrix verändert.

Beispiel:

Die Matrix A ist in ihren symmetrischen und ihren antisymmetrischen Anteil zu zerlegen:

\( A = \left( {\begin{array}{*{20}{c} } &3&{-2}\\4&2&1\\{-2}&5&3\end{array} } \right) \Rightarrow {A^T} = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2&4&{-2}\\3&2&5\\{-2}&1&3\end{array} } \right) \)

Symmetrischer Anteil:

\( A_S = \frac{1}{2}\left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c} }2&3&{ - 2}\\4&2&1\\{ - 2}&5&3\end{array} } \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2&4&{ - 2}\\3&2&5\\{ - 2}&1&3\end{array} } \right)} \right] = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2&{3,5}&{ - 2}\\{3,5}&2&3\\{ - 2}&3&3\end{array} } \right) \)

Antisymmetrischer Anteil:

\( A_A = \frac{1}{2}\left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c} }2&3&{ - 2}\\4&2&1\\{ - 2}&5&3\end{array} } \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2&4&{ - 2}\\3&2&5\\{ - 2}&1&3\end{array} } \right)} \right] = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }0&{ - 0,5}&0\\{0,5}&0&{ - 2}\\0&2&0\end{array} } \right) \)

Prüfung:

\( {A_S} + {A_A} = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2&{3,5}&{ - 2}\\{3,5}&2&3\\{ - 2}&3&3\end{array} } \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c} }0&{ - 0,5}&0\\{0,5}&0&{ - 2}\\0&2&0\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2&3&{ - 2}\\4&2&1\\{ - 2}&5&3\end{array} } \right) = A \) q.e.d.

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