Wissen: Potenzfunktionen und Logarithmen

Autor: Dr. Volkmar Naumburger ❤️ Bedanken

Terminologie

In einem Ausdruck \(A = {a^n}\) wird a die Basis zum Exponenten n genannt. A ist dann die n-te Potenz der Basis a.

Umgekehrt ist A im Ausdruck \(a = \sqrt[n]{A}\) der Radikand, aus dem die n-te Wurzel gezogen werden soll.

Und schließlich ist im Ausdruck \(n = {\log _a}A\) das n der Logarithmus von A zur Basis a.

Potenzieren

Das Potenzieren leitet sich aus einer vereinfachenden Schreibweise für die Berechnung eines Produktes aus wertgleichen Faktoren ab:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,a \cdot a \cdot a = {a^3}\\a \cdot a \cdot a \cdot a = {a^4} & usw.\end{array}\) Gl. 1

Offenbar gibt der Exponent n von \({a^n}\)zahlenmäßig die Anzahl der gleichwertigen Faktoren im Produkt wider (nach dieser Betrachtung scheint die Potenz einer Zahl nur für ganzzahlige Exponenten definiert zu sein).

Aus dieser Definition einer Potenz lässt sich leicht ableiten, dass z.B.

\( \left( {a \cdot a} \right) \cdot \left( {a \cdot a \cdot a} \right) = {a^2} \cdot {a^3} = {a^{2 + 3}} = {a^5} \) Gl. 2

oder, dass

\(\frac{ {\left( {a \cdot a \cdot a} \right)} }{ {\left( {a \cdot a} \right)}} = \frac{ { {a^3} } }{ { {a^2} } } = {a^{3 - 2} } = {a^1} = a\) Gl. 3

ist. Es ist festzustellen, dass – Gleichwertigkeit der Faktoren vorausgesetzt – sich die Rechenoperationen angewendet auf die Faktoren als rangniedere Operationen in den Exponenten widerspiegeln. Aus einer Multiplikation der Faktoren wird eine Addition und aus der Division wird eine Subtraktion der Exponenten.

Aber auch Multiplikationen im Exponenten sind sinnvoll:

\({\left( { {a^2} } \right)^3} = {a^{2 \cdot 3}} = {a^6}\) Gl. 4

Nicht zu verwechseln mit

\({a^{\left( { {2^3} } \right)}} = {a^8}\) Gl. 5 ← Hier gilt das Kommutativgesetz nicht.

Allgemein gilt:

\({a^n} \cdot {a^m} = {a^{n + m}}\) Gl. 6

\(\frac{ { { a^n } } }{ { { a^m } } } = {a^n} \cdot {a^{ - m}} = {a^{n - m}}\) Gl. 7

\({\left( { { a^n } } \right)^m} = {a^{n \cdot m}}\) Gl. 8

Aus \(\frac{ { { a^n } } }{ { { a^m } } } = {a^n} \cdot {a^{ - m}} = {a^{n - m}}\) ist auch der Sonderfall für m = n ableitbar:

\( {a^m} \cdot { a^{ - m} } = {a^0} = \frac{ { { a^m } } }{ { { a^m } } } = 1 \) Gl. 9

D.h. unabhängig vom Wert, den a hat (mit Ausnahme von a = 0) ist der Wert \( a^0 = 1 \).

Radizieren

Das Radizieren (Wurzelziehen) als Umkehrung der Potenzierung ist ursprünglich aus der Aufgabe abgeleitet worden, die die Berechnung der Seitenlänge eines Quadrates mit gegebenem Flächeninhalt zum Gegenstand hat. Diese Vorstellung ist natürlich leicht auf einen Würfel mit gegebenem Volumen zu übertragen. Ein Analogon für noch höhere Potenzen zu finden, fällt unserem Vorstellungsvermögen schwer.

Allgemein gilt:

\(a = \sqrt[n]{A}\) Gl. 10

Im Falle des Würfels wäre A das Volumen des Würfels und a die dazu gehörende Seitenlänge sowie n = 3.

Wenn nun das Wurzelziehen die Umkehrung des Potenzierens ist, ergibt sich die Frage, wie kann das Radizieren in Potenzschreibweise dargestellt werden? Dazu soll folgende Überlegung angestellt werden. Es sei \(A = {a^4}\)und gesucht sei die 2. Wurzel aus A. Dann gilt offenbar

\(\sqrt[2]{ { { a^4 } } } = {a^2} = {a^{ \frac{4}{2} } }\) Gl. 11

In der Potenzschreibweise wird aus der Wurzel eine Division im Exponenten. Allgemein gilt

\(\sqrt[m]{ { { a^n } } } = {a^{ \frac{n}{m} } }\) Gl. 12

Ferner gilt die Vertauschbarkeit der beiden Operationen

\(\sqrt[m]{ { { a^n } } } = {\left( { \sqrt[m]{a} } \right)^n} = {a^{\frac{n}{m}}}\) Gl. 13

Wie in Gleichung \(\sqrt[m]{ { { a^n } } } = {a^{ \frac{n}{m} } }\) zu erkennen ist, ist der Exponent, der ursprünglich per definitionem ganzzahlig sein sollte, zu einer rationalen Zahl geworden. Schließlich darf festgehalten werden, dass in der allgemeinen Definition einer Potenz keine Anforderungen mehr an den Exponenten gestellt werden müssen. Er kann also ebenso reell wie auch komplex sein.

Logarithmieren

Definition

Während Potenzieren und Radizieren Operationen sind, die sich bei festem Exponenten auf die Basis des Ausdrucks beziehen, fragt der Logarithmus nach dem Exponenten in Bezug auf eine feste Basis.

\(n = {\log _a}A\) Gl. 14

Die Fragestellung lautet dann: wie groß ist der Exponent n zu wählen, damit \({a^n} = A\) ergibt?

Grundsätzlich kann der Logarithmus zu jeder beliebigen (reellen) Basis berechnet werden. Gebräuchlich sind aber

  • der natürliche Logarithmus ln zur Basis e (Eulersche Zahl e » 2,7182183...)
  • der Briggs’sche oder dekadische Logarithmus lg zur Basis 10 und der
  • binäre Logarithmus lb (auch ld) zur Basis 2.

Eigenschaften

Logarithmen basieren auf den Potentgesetzen und weisen darum besonders vorteilhafte Eigenschaften auf. Insbesondere ist es die Reduzierung des Rechenaufwandes bei der Lösung umfangreicher Multiplikations- und Divisionsaufgaben, die zur Erfindung der Logarithmen durch BRIGGS Henry, 1561-1630 und unabhängig von diesem durch NEPER (NAPIER) John, 1550-1617 geführt haben:

• Multiplikation/Division

\(\log \left( {A \cdot B} \right) = \log \left( A \right) + \log \left( B \right)\) Gl. 15

\(\log \left( {\frac{A}{B}} \right) = \log \left( A \right) - \log \left( B \right)\) Gl. 16

• Potenzierung/Radizierung

\(\log \left( { {A^n} } \right) = n \cdot \log \left( A \right)\) Gl. 17

\(\log \left( {\sqrt[n]{A}} \right) = \frac{1}{n} \cdot \log \left( A \right)\) Gl. 18

Darüber hinausgehend gelten weitere Zusammenhänge für Logarithmen:

Wandlung des Logarithmus einer Basis in den Logarithmus einer anderen Basis.

Beispiel:

Gegeben sei der natürliche Logarithmus einer Zahl A. Gesucht ist der Briggs’sche Logarithmus dieser Zahl.

\(geg:\,\,\ln \left( A \right) \qquad ges:\,\,\lg (A)\)

Lösungsweg:

Umkehrung des natürlichen Logarithmus: \(n = \ln \left( A \right) \Rightarrow A = {e^n}\)
Zur Erinnerung: \( e^n = e^{\ln(A)} \)

Brigg’sche Logarithmierung: \(\lg (A) = \lg ({e^n}) = n \cdot \lg (e) = \ln (A) \cdot \lg (e)\)

Allgemein gilt:

\(n = {\log _a}\left( A \right) \Rightarrow A = {a^n}\) Gl. 19

Logarithmieren zur Basis b ergibt:

\({\log _b}\left( A \right) = n \cdot {\log _b}\left( a \right)\) Gl. 20

also

\({\log _b}\left( A \right) = n \cdot {\log _b}\left( a \right) = {\log_a}(A) \cdot {\log _b}(a)\) Gl. 21

Beispiel:

Es sei der natürliche Logarithmus der Zahl 3 mit 1,09861 gegeben (e=2,7183..). Daraus ist der Briggs’sche Logarithmus zu ermitteln.

\(\lg (3) = \log (e) \cdot \ln \left( 3 \right) = 0,47712\)

Aus Gleichung \({\log _b}\left( A \right) = n \cdot {\log _b}\left( a \right)\) folgt weiter:

\({\log _b}\left( { {a^n} } \right) = n \cdot {\log _b}\left( a \right)\) Gl. 22

indem alle Glieder als Potenz zur Basis b erhoben werden:

\({a^n} = {b^{n \cdot { {\log }_b}\left( a \right)} }\) Gl. 23

Weitere Eigenschaften:

1. Aus der Definition des Logarithmus mit \(n = {\log _a}A\) folgt für \(A = a = {a^1}\)

\({\log _a}\left( a \right) = 1\) Gl. 24

2. Und für beliebige Basen a, da \(1 = {a^0}\)

\({\log _a}\left( 1 \right) = 0\) Gl. 25

3. Für das Argument x=0 sind die Logarithmen nicht definiert,

\({\log _a}\left( 0 \right) = - \infty \) Gl. 26

da entsprechend der Potenzgesetze nur \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {a^x} = 0\) erfüllt.

4. Für negative Argumente sind die Logarithmen im Zahlenkörper der komplexen Zahlen definiert.

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