Wissen: Schnittpunkt von Geraden

Autor: Dr. Volkmar Naumburger ❤️ Bedanken

Einführung Schnittpunkt

Der Schnittpunkt zweier gegebener Geraden ist dadurch bestimmt, dass es für beide Gleichungen ein x gibt, für das die Funktionswerte beider Gleichungen identisch sind (siehe Abbildung).

Schnittpunkt von zwei Geraden Abbildung 11

Beide Gleichungen seien in der Form

\( \begin{array}{l} I. & a_{11}·x + a_{12}·y = {c_1} \\ II. & a_{21}·x + a_{22}·y = {c_2} \end{array} \) Gl. 61

gegeben. Die Variablen wie \( a_{11} \) heißen Koeffizienten.

Durch schrittweises Eliminieren je einer Unbekannten wird die Lösung für die verbleibende Unbekannte eindeutig möglich:

\( \begin{array}{l} I. & {a_{11} }·x + {a_{12} }·y = {c_1} & & & | · {a_{21} } \\ II. & {a_{21} }·x + {a_{22} }·y = {c_2} & & & | · {a_{11} } \end{array} \)

\( \begin{array}{l} I. & {a_{21} }·{a_{11} }·x + {a_{21} }·{a_{12} }·y = {a_{21} }·{c_1} & \\ II. & {a_{11} }·{a_{21} }·x + {a_{11} }·{a_{22} }·y = {a_{11} }·{c_2} & & | II - I \end{array} \)

\( II - I. \quad 0 + \left( { {a_{11} }·{a_{22} } - {a_{21} }·{a_{12} } } \right)·y = {a_{11} }·{c_2} - {a_{21} }·{c_1} \quad | \text{ nach y auflösen } \)

\( y = \frac{ { {a_{11} }·{c_2} - {a_{21} }·{c_1} } }{ { {a_{11} }·{a_{22} } - {a_{21} }·{a_{12} } } } \) Gl. 62

Auf gleiche Weise wird die Lösung für x bestimmt:

\(\begin{array}{l} I. & {a_{11} }·x + {a_{12} }·y = {c_1} & & & | · {a_{22} } \\ II. & {a_{21} }·x + {a_{22} }·y = {c_2} & & & | · {a_{12} } \end{array}\)

\( \begin{array}{l} I. & {a_{22} }·{a_{11} }·x + {a_{22} }·{a_{12} }·y = {a_{22} }·{c_1} & & |I - II \\ II. & {a_{12} }·{a_{21} }·x + {a_{12} }·{a_{22} }·y = {a_{12} }·{c_2} \end{array} \)

\( I - II. \quad 0 + \left( { {a_{11} }·{a_{22} } - {a_{21} }·{a_{12} } } \right)·x = {a_{22} }·{c_1} - {a_{12} }·{c_2} \quad | \text{ nach x auflösen } \)

\( x = \frac{ { {a_{22} }·{c_1} - {a_{12} }·{c_2} } }{ { {a_{11} }·{a_{22} } - {a_{21} }·{a_{12} } } } \) Gl. 63

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