Wissen: Trigonometrische Funktionen

Autor: Dr. Volkmar Naumburger ❤️ Bedanken

Über Winkel und Bogenmaß

Im alltäglichen Umgang mit Winkelmaßen ist die Angabe des Winkels in Grad üblich. Ein Vollkreis hat dabei einen Winkel von 360°. In der Mathematik hingegen wird die Angabe eines Winkels im Bogenmaß (Maßeinheit rad) bevorzugt, zum Teil sogar zwingend.

Abbildung 1
Einheitskreis und Bogenmaß
Abbildung 1: Einheitskreis und Bogenmaß

Das Bogenmaß leitet sich aus der Bogenlänge des Vollkreises ab (siehe Abbildung). Ein Kreis, dessen Radius gleich 1 ist (Einheitskreis) hat einen Umfang, also eine Bogenlänge, von 2π. Somit entspricht einem Winkel von 360° eine Bogenlänge von 2π. Andere Winkel führen dann proportional zu anderen Bogenlängen:

\( \begin{array}{l}\omega :{360^0} = \Omega :2\pi \\ \\ \Omega = 2\pi \cdot \frac{\omega }{ { { {360}^0} } }\end{array} \) Gl. 38

Wenn ω der Winkel in Grad (°) und Ω der Winkel im Bogenmaß (rad) ist. Umgekehrt kann natürlich jeder im Bogenmaß gegebene Winkel in Grad zurückgerechnet werden:

\(\omega = {360°} \cdot \frac{\Omega }{ {2\pi } }\) Gl. 39

Satz des Pythagoras und Kenngrößen des Einheitskreises

Der Satz des PYTHAGORAS (-570?/-500?) besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Flächen über den Katheten gleich der Fläche über der Hypotenuse ist.

Wenn die Katheten a und b Einheiten und die Hypotenuse c Einheiten lang sind, dann gilt der Satz des Pythagoras:

\({a^2} + {b^2} = {c^2}\) Gl. 40

Wird nun dieses rechtwinklige Dreieck in einen Kreis mit Radius R = 1 (Einheitskreis) eingezeichnet, dann wird die Länge der Hypotenuse gleich dem Radius des Kreises, also auch gleich 1 sein. Die Hypotenuse schließt mit der x-Achse des Koordinatensystems den Winkel α ein (siehe folgende Abbildung).

Die Kathete, welche sich diesem Winkel anschmiegt, heißt Ankathete und die dem Winkel gegenüberliegende Gegenkathete.

Abbildung 2
Einheitskreis und Bogenmaß
Abbildung 2: Einheitskreis und Bogenmaß

Winkelfunktionen

Für die winkelabhängige Längenberechnung eines rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis werden die trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens benutzt (siehe Abbildung unten). Sie werden durch unterschiedliche Verhältnisse von Katheten- und Hypotenusenwerten definiert:

Abbildung 3
HK GK AK am Einheitskreis
Abbildung 3: HK GK AK am Einheitskreis

\(\sin \alpha = \frac{ {GK} }{H}\) Gl. 41

\(\cos \alpha = \frac{ {AK} }{H}\) Gl. 42

\(\tan \alpha = \frac{ {GK} }{ {AK} }\) Gl. 43

\(\cot \alpha = \frac{ {AK} }{ {GK} }\) Gl. 44

Aus den vorgenannten Gleichungen können die folgenden Zusammenhänge zwischen den Winkelfunktionen hergestellt werden:

\(\tan \alpha = \frac{ {\sin \alpha } }{ {\cos \alpha } } = \frac{1}{ {\cot \alpha } }\) Gl. 45

Und unter Anwendung des Satzes von Pythagoras (siehe Abbildung):

\( {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \) Gl. 46

Abbildung 4
1. Quadrant Einheitskreis
Abbildung 4: 1. Quadrant Einheitskreis
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