Wissen: Trigonometrische Funktionen

Autor: Dr. Volkmar Naumburger ❤️ Bedanken

Über Winkel und Bogenmaß

Im alltäglichen Umgang mit Winkelmaßen ist die Angabe des Winkels in Grad üblich. Ein Vollkreis hat dabei einen Winkel von 360°. In der Mathematik hingegen wird die Angabe eines Winkels im Bogenmaß (Maßeinheit rad) bevorzugt, zum Teil sogar zwingend.

Einheitskreis und Bogenmaß Abbildung 1

Das Bogenmaß leitet sich aus der Bogenlänge des Vollkreises ab (siehe Abbildung). Ein Kreis, dessen Radius gleich 1 ist (Einheitskreis) hat einen Umfang, also eine Bogenlänge, von 2π. Somit entspricht einem Winkel von 360° eine Bogenlänge von 2π. Andere Winkel führen dann proportional zu anderen Bogenlängen:

\( \begin{array}{l}\omega :{360^0} = \Omega :2\pi \\ \\ \Omega = 2\pi \cdot \frac{\omega }{ { { {360}^0} } }\end{array} \) Gl. 38

Wenn ω der Winkel in Grad (°) und Ω der Winkel im Bogenmaß (rad) ist. Umgekehrt kann natürlich jeder im Bogenmaß gegebene Winkel in Grad zurückgerechnet werden:

\(\omega = {360°} \cdot \frac{\Omega }{ {2\pi } }\) Gl. 39

Satz des Pythagoras und Kenngrößen des Einheitskreises

Der Satz des PYTHAGORAS (-570?/-500?) besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Flächen über den Katheten gleich der Fläche über der Hypotenuse ist.

Wenn die Katheten a und b Einheiten und die Hypotenuse c Einheiten lang sind, dann gilt der Satz des Pythagoras:

\({a^2} + {b^2} = {c^2}\) Gl. 40

Wird nun dieses rechtwinklige Dreieck in einen Kreis mit Radius R = 1 (Einheitskreis) eingezeichnet, dann wird die Länge der Hypotenuse gleich dem Radius des Kreises, also auch gleich 1 sein. Die Hypotenuse schließt mit der x-Achse des Koordinatensystems den Winkel α ein (siehe folgende Abbildung).

Die Kathete, welche sich diesem Winkel anschmiegt, heißt Ankathete und die dem Winkel gegenüberliegende Gegenkathete.

Einheitskreis und Bogenmaß Abbildung 2

Winkelfunktionen

Für die winkelabhängige Längenberechnung eines rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis werden die trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens benutzt (siehe Abbildung unten). Sie werden durch unterschiedliche Verhältnisse von Katheten- und Hypotenusenwerten definiert:

HK GK AK am Einheitskreis Abbildung 3

\(\sin \alpha = \frac{ {GK} }{H}\) Gl. 41

\(\cos \alpha = \frac{ {AK} }{H}\) Gl. 42

\(\tan \alpha = \frac{ {GK} }{ {AK} }\) Gl. 43

\(\cot \alpha = \frac{ {AK} }{ {GK} }\) Gl. 44

Aus den vorgenannten Gleichungen können die folgenden Zusammenhänge zwischen den Winkelfunktionen hergestellt werden:

\(\tan \alpha = \frac{ {\sin \alpha } }{ {\cos \alpha } } = \frac{1}{ {\cot \alpha } }\) Gl. 45

Und unter Anwendung des Satzes von Pythagoras (siehe Abbildung):

\( {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \) Gl. 46

1. Quadrant Einheitskreis Abbildung 4

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