Wissen: Anwendungen von Vektoren

Autor: Dr. Volkmar Naumburger ❤️ Bedanken

Parameterdarstellung der Punkt-Richtungs-Gleichung

Hier wird von den vorteilhaften Eigenschaften der normierten Vektoren Gebrauch gemacht, indem durch die Multiplikation des Einheitsvektors mit einer skalaren Größe der Einheitsvektor zu einem beliebigen Vektor parallel zu einer Geraden, die durch die Richtung des Einheitsvektors vorgegeben ist, gemacht werden kann. Der normierte Vektor wird an einen geeigneten Punkt P0 angesetzt und dann durch die Multiplikation mit einem Skalar, dem Parameter, auf die erforderliche Länge gestreckt (Abbildung 44).

Streckung des normierten Vektors durch Multiplikation mit Skalar Abbildung 44

So fällt es leicht, die Punkt-Richtungs-Gleichung einer Geraden in vektorieller (oder Matrizen-) Form anzugeben:

\( \vec x = \lambda \cdot \vec e + {\vec x_0} \) Gl. 333

Zu einem gegebenen Punkt P0 wird ein beliebiges Vielfaches des Einheitsvektors hinzuaddiert .

Der dadurch entstehende neue Punkt P ist gleich dem Endpunkt des so gebildeten Vektors X.

Normalengleichung

Eine Normale ist eine Gerade, die senkrecht auf einer anderen Geraden oder einer Fläche (Ebene) steht.

Normale einer Geraden

Gemäß Kapitel Geraden ist eine Gerade durch

\(a \cdot x + b \cdot y = c \) Gl. 334

darstellbar. Ihre Steigung m ist gegeben durch:

\(m = - \frac{a}{b} \) Gl. 335

Die Normale, die senkrecht zu dieser Geraden steht, hat eine Steigung von

\({m_ \bot } = \tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{2} } \right) = - \frac{1}{m} = \frac{b}{a} \) Gl. 336

Parallel verschobene Gerade mit Steigung Abbildung 45

Auch eine in den Nullpunkt parallel verschobene Gerade hat die Steigung m und damit die gleiche Normale wie die Ursprungsgerade (Abbildung 45). Für die parallel verschobene Gerade gilt die homogene Gleichung:

\(a \cdot x + b \cdot y = 0 \) Gl. 337

Gl. 337 kann auch als das Skalarprodukt von zwei Vektoren betrachtet werden, die senkrecht aufeinander stehen.

\( \left( {\begin{array}{*{20}{c} }a&b\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }x\\y\end{array} } \right) = 0 \) Gl. 338

Da, weil das Skalarprodukt verschwindet, der Vektor (a b)T senkrecht auf dem Vektor (x y)T steht, ist der Normalenvektor durch die Koeffizienten der Geradengleichung gegeben:

\(\vec n = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }a\\b\end{array} } \right) \) Gl. 339

Normale einer Ebene

Wenn \(\vec u\) und \(\vec v\) Einheitsvektoren in der Ebene E sind und senkrecht zueinander stehen, dann gilt

\(\vec n = \vec u \times \vec v \) Gl. 340

\(\vec n\) ist dann der Normalenvektor der Ebene E (Abbildung 46).

Normalenvektor der Ebene Abbildung 46

Diese Darstellung ist in der Handhabung wenig bequem, werden die Bestimmungsgleichungen für Geraden und Ebenen doch meist in kartesischer Form angeboten.

Wie im Abschnitt Gleichungssysteme, die sich auf lineare Gleichungssysteme zurückführen lassen ausgeführt wurde, beschreibt die lineare Gleichung

\({a_1} \cdot x + {a_2} \cdot y + {a_3} \cdot z = c \) Gl. 341

eine Ebene im dreidimensionalen Raum.

Analog zu Gl. 340 lautet dann der Normalenvektor der Ebene

\( \vec n = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_1} }\\{ {a_2} }\\{ {a_3} }\end{array} } \right) \) Gl. 342

Ebenengleichungen

Liegen die Vektoren \(\vec u\) und \(\vec v\) in einer Ebene E, so kann durch Linearkombination dieser Vektoren und mit dem Ortsvektor eines beliebigen Punktes in der Ebene jeder Punkt dieser Ebene beschrieben werden (Abbildung 46):

\( \vec x = \vec p + \mu \cdot \vec u + \lambda \cdot \vec v \) Gl. 343

Dies ist die Parameterdarstellung der Ebenengleichung. Eine Ebene hat zwei Freiheitsgrade, deshalb benötigt sie, anders als die Gerade, zwei Parameter zu ihrer Beschreibung.

Beispiel:

Gegeben seien die Punkte P1(-1,4,1), P2(3,-2,2) und P3(2,7,-3).

Gesucht ist die Ebene, auf der alle drei Punkte liegen.

Lösung:

Die zu den Punkten P1 bis P3 gehörenden Ortsvektoren p1 bis p3 werden zur Bestimmung der zwei Vektoren u und v, die die Ebene aufspannen, herangezogen:

\( \vec u = {\vec p_2} - {\vec p_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }4\\{ - 6}\\1\end{array} } \right) \text{ und } \vec v = {\vec p_3} - {\vec p_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }3\\3\\{ - 4}\end{array} } \right) \)

daraus folgt die Ebenengleichung

\( \vec x = \left( { \begin{array}{*{20}{c} }{-1}\\4\\1\end{array} } \right) + \mu · \left( {\begin{array}{*{20}{c} }4\\{ - 6}\\1\end{array} } \right) + \lambda · \left( { \begin{array}{*{20}{c} }3\\3\\{-4} \end{array} } \right) \)

Weil aber auch der Vektor \( \vec x - \vec p \) in der Ebene E liegt (Abbildung 47), muss er ebenfalls senkrecht zum Normalenvektor \(\vec n\) sein. Daraus folgt, dass

\( \left( {\vec x - \vec p} \right) \cdot \vec n = 0 \) Gl. 344

sein muss.

Gl. 344 wird auch HESSEsche Normalenform der Ebene (Hesse, Ludwig Otto, 1811 - 1874) genannt.

HESSEsche Normalenform der Ebene Abbildung 47

Abstand Punkt-Gerade

Der kürzeste Abstand zwischen Geraden und einem Punkt R ist durch einen senkrecht auf der Gerade stehenden Vektor, den Normalenvektor bestimmt. Mit der Geradengleichung in Parameterform

\( \vec p = \lambda \cdot \vec e + {\vec p_0} \) Gl. 345

und dem Vektor, der den Punkt R beschreibt, dessen Abstand zur Geraden bestimmt werden soll, ergibt sich die Bestimmungsgleichung für die Abstandsberechnung.

Nach Abbildung 48 gilt

\(\vec r - \vec p = \vec n \) Gl. 346

Mit Gl. 345 ergibt sich Gl. 346 zu

\( \vec r - \left( {\lambda \cdot \vec e + { {\vec p}_0} } \right) = \vec n \) Gl. 347

Kürzeste Abstand zwischen Gerade und Punkt (Normalenvektor) Abbildung 48

Da der Vektor \(\vec n\) senkrecht auf \(\vec e\)steht, muss das Skalarprodukt aus beiden Vektoren verschwinden:

\( \vec n \cdot \vec e = \left( {\vec r - \left( {\lambda · \vec e + { {\vec p}_0} } \right)} \right) \cdot \vec e = 0 \) Gl. 348

Ausmultiplizieren und ordnen:

\( \vec r \cdot \vec e = \lambda \cdot \vec e \cdot \vec e + {\vec p_0} \cdot \vec e = \lambda \cdot {\left| {\vec e} \right|^2} + {\vec p_0} \cdot \vec e = \lambda \cdot 1 + {\vec p_0} \cdot \vec e \) Gl. 349

und nach l auflösen:

\( \left( {\vec r - { {\vec p}_0} } \right) \cdot \vec e = \lambda \) Gl. 350

Damit kann die Unbekannte l aus Gl. 347 eliminiert werden und der Abstand ergibt sich zu:

\( d = \left| {\vec n} \right| = \left| {\vec r - { {\vec p}_0} - \left( {\left( {\vec r - { {\vec p}_0} } \right) \cdot \vec e} \right) \cdot \vec e} \right| \) Gl. 351

ACHTUNG! Reihenfolge bei der Skalarmultiplikation beachten – das Produkt \( \left( {\vec r - { {\vec p}_0} } \right) \cdot \vec e \) liefert einen Skalar!

Beispiel:

Gegeben sind zwei Punkte P1(0,0,0) und P2(5,5,0) einer Geraden und ein dritter Punkt P3(3,3,5), der außerhalb der Geraden liegt.

Gesucht ist der kürzeste Abstand von P3 zu der Geraden.

Lösung:

Mit \( \vec e = \frac{1}{ {\sqrt {25 + 25} } }\left( {\begin{array}{*{20}{c} }5\\5\\0\end{array} } \right) = \frac{1}{ {\sqrt {50} } }\left( {\begin{array}{*{20}{c} }5\\5\\0\end{array} } \right) \text{ und } \left( {\vec r - { {\vec p}_0} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }3\\3\\5\end{array} } \right)\,\,\,sowie\,\,\,\,\left( {\vec r - { {\vec p}_0} } \right) \cdot \vec e = {\left( {\begin{array}{*{20}{c} }3\\3\\5\end{array} } \right)^T} \cdot \frac{1}{ {\sqrt {50} } }\left( {\begin{array}{*{20}{c} }5\\5\\0\end{array} } \right) = \frac{ {15 + 15} }{ {\sqrt {50} } } = \frac{ {30} }{ {\sqrt {50} } } \)

ergibt sich

\( d = \left| {\vec n} \right| = \left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c} }3\\3\\5\end{array} } \right) - \frac{ {30} }{ {\sqrt {50} } } \cdot \frac{1}{ {\sqrt {50} } } \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }5\\5\\0\end{array} } \right)} \right| = \left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c} }3\\3\\5\end{array} } \right) - \frac{3}{5}\left( {\begin{array}{*{20}{c} }5\\5\\0\end{array} } \right)} \right| = \left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c} }3\\3\\5\end{array} } \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c} }3\\3\\0\end{array} } \right)} \right| = 5 \)

Abstand Punkt-Ebene

Der kürzeste Abstand zwischen Geraden oder Ebenen und einem Punkt ist immer eine Gerade, die senkrecht auf der Geraden oder der Ebene steht, also eine Normale. In Abbildung 49 ist eine Ebene, auf der der Punkt P liegt dargestellt. Der Punkt R, dessen Abstand von der Ebene bestimmt werden soll, liegt nicht in dieser Ebene.

Wenn nun der Punkt X senkrecht unter dem Punkt R auf der Ebene liegt, dann ist der Vektor

\( \left( {\vec r - \vec p} \right) - \left( {\vec x - \vec p} \right) = \vec n \) Gl. 352

gleich dem Normalenvektor auf die Ebene. Der gesuchte Abstand d ergibt sich als der Betrag des Normalenvektors.

\( d = \left| {\vec n} \right| \) Gl. 353

Ebene mit Punkt P und Punkt R nicht in Ebene Abbildung 49

Andererseits liegt aber der Vektor \( \left( {\vec x - \vec p} \right) \) genau in der Ebene, so dass die Hessesche Ebenengleichung lautet:

\( \left( {\vec x - \vec p} \right) \cdot \vec n = 0 \) Gl. 354

Der unbekannte Vektor \(\left( {\vec x - \vec p} \right)\) kann aus Gl. 352 durch Umstellen gewonnen und in Gl. 354 eingesetzt werden:

\( \left( {\left( {\vec r - \vec p} \right) - \vec n} \right) \cdot \vec n = 0 \) Gl. 355

Ausmultiplizieren und ordnen

\( \left( {\vec r - \vec p} \right) \cdot \vec n = \vec n \cdot \vec n = {\left| {\vec n} \right|^2} \) Gl. 356

Wird nun auf beiden Seiten der Betrag gebildet und durch den Betrag des Normalenvektors dividiert, dann erhalten wir mit

\( \left| {\left( {\vec r - \vec p} \right) \cdot \frac{ {\vec n} }{ {\left| {\vec n} \right|} } } \right| = \left| {\vec n} \right| = d \) Gl. 357

den gesuchten Abstand d. Der Ausdruck

\( \frac{ {\vec n} }{ {\left| {\vec n} \right|} } = {\vec e_ \bot } \) Gl. 358 ist der Normaleneinheitsvektor.

Ist die Ebenengleichung in der Koordinatenform

\( {a_1} \cdot x + {a_2} \cdot y + {a_3} \cdot z = c \) Gl. 359

gegeben, lautet der Normaleneinheitsvektor

\( {\vec e_ \bot } = \frac{ {\vec n} }{ {\left| {\vec n} \right|} } = \frac{1}{ {\sqrt { {a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} } }\left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_1} }\\{ {a_2} }\\{ {a_3} }\end{array} } \right) \) Gl. 360

Beispiel:

Gegeben sei eine Ebene \(2x - 3y + z = 4\). Weiterhin ist ein Punkt X(3,3,3) gegeben.

Gesucht ist der kürzeste Abstand dieses Punktes von der Ebene.

Lösung:

Zur Anwendung von Gl. 357 ist die Existenz eines beliebigen Punktes auf der Ebene Voraussetzung. Mit der Annahme x=1, y=1 ergibt sich z=4-2+3=5 als dritte Koordinate des Bezugspunktes auf der Ebene.

Nunmehr lauten die Vektoren:

\( {\vec e_ \bot } = \frac{1}{ {\sqrt {4 + 9 + 1} } }\left( {\begin{array}{*{20}{c} }2\\{ - 3}\\1\end{array} } \right) = \frac{1}{ {\sqrt {14} } }\left( {\begin{array}{*{20}{c} }2\\{ - 3}\\1\end{array} } \right) \quad \vec r = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }3\\3\\3\end{array} } \right) \text{ und } \vec p = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1\\1\\5\end{array} } \right) \)

in Gl. 357 einsetzen:

\( d = \left| {\left( {\vec r - \vec p} \right) \cdot { {\vec e}_ \bot } } \right| = \frac{1}{ {\sqrt {14} } }\left| { { {\left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c} }3\\3\\3\end{array} } \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1\\1\\5\end{array} } \right)} \right)}^T}\left( {\begin{array}{*{20}{c} }2\\{ - 3}\\1\end{array} } \right)} \right| = \frac{1}{ {\sqrt {14} } }\left| { { {\left( {\begin{array}{*{20}{c} }2\\2\\{ - 2}\end{array} } \right)}^T}\left( {\begin{array}{*{20}{c} }2\\{ - 3}\\1\end{array} } \right)} \right| = \frac{1}{ {\sqrt {14} } }\left| {\left( {4 - 6 - 2} \right)} \right| = 1,06 \)

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