Wissen: Darstellung von Vektoren

Autor: Dr. Volkmar Naumburger ❤️ Bedanken

Komponentendarstellung

In der Komponentendarstellung werden Vektoren auf ein System von zueinander orthogonalen Komponenten abgebildet. Jeder beliebige Vektor kann aus einer Linearkombination der genannten Grundvektoren (i, j, k), die mit skalaren Verhältniswerten (x, y, z) multipliziert worden sind, nachgebildet werden:

\(\vec x = x \cdot i + y \cdot j + z \cdot k \) Gl. 295

Der Pfeil über der Größe kennzeichnet sie als Vektor.

Vektoren können auch zur Darstellung von Punkten benutzt werden, dann werden sie Ortsvektoren genannt. Ein solcher Vektor beginnt im Ursprung des Koordinatensystems und endet im betreffenden Punkt. Im Gegensatz dazu stehen die freien Vektoren, die frei verschieblich sind.

Darstellung in Polarkoordinaten

In dieser Darstellung wird ein Vektor durch seinen Betrag (d.i. die Länge des Pfeiles) und seine Richtung bestimmt. In einem 3D-Raum wird die Richtung durch zwei Winkel, den Azimut j und die Deklination J, angegeben (Abbildung 34). Der Endpunkt des Vektors überstreicht dabei die Oberfläche einer Kugel, deren Radius gleich dem Betrag des Vektors ist.

Natürlich sind die Komponentendarstellung und die Darstellung in Polarkoordinaten einander völlig gleichwertig. Gl. 296 zeigt den Zusammenhang zwischen den beiden Darstellungsarten:

\( \vec x = \left| {\vec x} \right| \cdot \left( {\cos \vartheta \left( {\cos \phi \cdot i + \sin \phi \cdot j} \right) + \sin \vartheta \cdot k} \right) = x \cdot i + y \cdot j + z \cdot k \) Gl. 296

wobei der Betrag des Vektors nach dem Satz des Pythagoras berechnet wird:

\( \left| {\vec x} \right| = \sqrt { {x^2} + {y^2} + {z^2} } \) Gl. 297

Vektor: Azimut und Deklination im Raum 3D Abbildung 34

Matrizendarstellung

Mit den Kenntnissen der Matrizenrechnung können Vektoren auch als Matrizen aufgefasst werden, nämlich als Spaltenvektoren. Dabei wird die Darstellung in Komponenten zugrunde gelegt. Danach kann Gl. 295 wie folgt geschrieben werden:

\( X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\\z\end{array}} \right) = \left| {\vec x} \right| \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \vartheta \cdot \cos \phi } \\ {\cos \vartheta \cdot \sin \phi }\\{\sin \vartheta }\end{array}} \right) \) Gl. 298

Zur Unterscheidung werden die Vektoren mit einem hochgestellten Pfeil gekennzeichnet, die Spaltenvektoren hingegen durch Großschreibung und ohne Pfeil.

Durch die Einführung der Matrizen in die Vektorrechnung können Vektoroperationen als Matrizenoperationen aufgefasst werden.

Normierter Vektor – Einheitsvektor

Ein normierter Vektor, auch Einheitsvektor genannt, hat den Betrag 1 und weist in die gleiche Richtung wie der Vektor selbst.

Der Einheitsvektor wird gebildet, indem der zu normierende Vektor durch seinen Betrag dividiert wird.

\( \vec e = \frac{ {\vec x} }{ { \left| { \vec x} \right| } } = \frac{1}{ { \sqrt { { x^2 } + { y^2 } + { z^2 } } } } \left( {x \cdot i + y \cdot j + z · k} \right) \) Gl. 299

oder in Matrizenschreibweise

\( {X_{norm}} = \frac{1}{ {\sqrt { {x^2} + {y^2} + {z^2}} } } \left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\\z\end{array}} \right) \) Gl. 300

Die Bezeichnung Einheitsvektor oder auch Einsvektor rührt daher, dass der Betrag des auf sich selbst normierten Vektors gleich 1 ist. Die Richtung und die Orientierung des Vektors werden von der Normierung nicht berührt.

Einheitsvektor oder Einsvektor im Raum 3D Abbildung 35

Das Arbeiten mit dem Einheitsvektor hat den Vorteil, dass insbesondere Multiplikationen mit dem Einheitsvektor keine Betragsänderung zur Folge haben, sondern nur richtungsbestimmend sind.

Die bereits erwähnten Grundvektoren sind dieser Definition nach ebenfalls Einheitsvektoren, nämlich solche, die in eine der drei Grundrichtungen weisen.

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