Wissen: Rechnen mit Vektoren

Autor: Dr. Volkmar Naumburger ❤️ Bedanken

Addition und Subtraktion

Vektoren werden addiert, indem ihre Komponenten separat addiert werden. Dies entspricht einer Aneinanderfügung der beteiligten Vektoren, indem Vektoren durch Parallelverschiebung so angeordnet werden, dass End- und Anfangspunkte von Vektoren zusammenfallen. Der Endpunkt dieser Zusammensetzung ist gleich dem Endpunkt des resultierenden Vektors.

\( \vec a \pm \vec b = \left( { {a_x} \pm {b_x} } \right) \cdot i + \left( { {a_y} \pm {b_y} } \right) \cdot j + \left( { {a_z} \pm {b_z} } \right) · k \) Gl. 301

oder in Matrizenschreibweise

\( A \pm B = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_x} \pm {b_x} }\\{ {a_y} \pm {b_y} }\\{ {a_z} \pm {b_z} }\end{array} } \right) \) Gl. 302

Vektoren addieren durch Aneinanderfügung Abbildung 36

Rechenregeln:

Bei der Vektoraddition gelten das

  • Kommutativgesetz

\(\vec a + \vec b = \vec b + \vec a \) Gl. 303

und das

  • Assoziativgesetz

\(\left( {\vec a \pm \vec b} \right) \pm \vec c = \vec a \pm \left( {\vec b \pm \vec c} \right) \) Gl. 304

Beispiel:

An einem Punkt greifen drei Kräfte an. Alle drei Kräfte liegen in der gleichen Ebene, unterscheiden sich aber in der Angriffsrichtung und im Betrag:

\( {\vec F_1} = 4N, \,\, \angle \, {30^0}; \quad {\vec F_2} = 6N,\,\,\angle \, -{30^0}; \quad {\vec F_3} = 2N,\,\,\angle \, {0^0} \)

Wie groß ist die Resultante?

Lösung:

Zunächst werden die Kräfte in Komponentenschreibweise gebracht. Da alle Vektoren in einer Ebene liegen, kann die Aufgabe als zweidimensionales Problem behandelt werden. Daraus folgt:

\(\begin{array}{l}{F_1} = 4 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{\cos ({ {30}^0})}\\{\sin ({ {30}^0})}\end{array} } \right) = 4 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{0,866}\\{0,5}\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{3,464}\\2\end{array} } \right)\\\\{F_2} = 6 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{\cos ( - { {30}^0})}\\{\sin ( - { {30}^0})}\end{array} } \right) = 6 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{0,866}\\{ - 0,5}\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{5,196}\\{ - 3}\end{array} } \right)\\\\{F_3} = 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{\cos ({0^0})}\\{\sin ({0^0})}\end{array} } \right) = 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1\\0\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2\\0\end{array} } \right) & \end{array}\)

Nun kann durch Addition der drei Vektoren die resultierende Kraft berechnet werden:

\({F_1} + {F_2} + {F_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{10,66}\\{ - 1}\end{array} } \right)\)

Rückführung in Polarkoordinaten:

\(\begin{array}{l}F = \sqrt { { {10,66}^2} + { {\left( { - 1} \right)}^2} } = 10,707\\\\\phi = \arctan \frac{ { - 1} }{ {10,66} } = - {5,359^0}\end{array}\)

Demnach beträgt die resultierende Kraft 10,707 N und weist in eine Richtung von –5,359°.

Produkte von Vektoren

Für Vektoren sind zwei grundlegend verschiedene Produkte definiert: Das Skalarprodukt und das Vektorprodukt.

Ein Beispiel hierfür sind die Berechnung der aufzuwendenden Energie W, die für das Verschieben eines Körpers längs des Weges \(\vec s\) erforderlich ist, im Gegensatz zur Berechnung des Drehmomentes \(\vec M\) an einer Fahrradkurbel (Abbildung 37).

Verschieben eines Körpers – Berechnung des Drehmomentes (Fahrradkurbel) Abbildung 37

Obwohl beide Größen, Energie bzw. Drehmoment die gleiche Maßeinheit, nämlich Nm (Newtonmeter) haben, sind sie grundverschieden und werden durch die beiden Produktarten berechnet.

Über die beiden fundamentalen Produkte hinaus gibt es noch eine Reihe weiterer Produkte, die sich aber alle aus Zusammensetzungen der beiden Grundformen erklären lassen.

Skalarprodukt

In der Physik hat das Skalarprodukt u.a. die Aufgabe, die geleistete Arbeit längs eines vorgegebenen Weges zu berechnen. Die geleistete Arbeit ergibt sich aus dem Produkt von aufgewendeter Kraft F und zurückgelegtem Weg s, wenn beide Größen parallel zueinander ausgerichtet sind. Ist dies nicht der Fall, wirken nur die Komponenten, die parallel zueinander liegen. Das ist gleichbedeutend damit, dass die jeweiligen Richtungskomponenten der Kraft und des Weges miteinander multipliziert und diese Teilprodukte schließlich addiert werden (Abbildung 38):

Skalarprodukt: Richtungskomponenten Kraft und Weges multiplizieren und Teilprodukte addieren Abbildung 38

\( W = \vec F \cdot \vec s = {F_x} \cdot {s_x} + {F_y} \cdot {s_y} + {F_z} \cdot {s_z} \) Gl. 305

Wobei das Skalarprodukt auch durch die Beträge der Vektoren und den Cosinus des von beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels definiert ist.

Anders ausgedrückt, es werden nur die Komponenten der Vektoren multipliziert, die parallel zu einander sind (Abbildung 39):

\( W = \left| {\vec F} \right| \cdot \left| {\vec s} \right| \cdot \cos \left( {\angle \vec F,\vec s} \right) \) Gl. 306

Entsprechend Gl. 305 kann das Skalarprodukt auch als Matrizenprodukt ausgedrückt werden. Dabei sind jedoch die Rechenregeln für Matrizenprodukte zu beachten:

\( W = {F^T} \cdot S = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {F_x} }&{ {F_y} }&{ {F_z} }\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {s_x} }\\{ {s_y} }\\{ {s_z} }\end{array} } \right) \) Gl. 307

Skalarprodukt als Matrizenprodukt Abbildung 39

Da das Ergebnis Energie eine ungerichtete Größe, also ein Skalar, ist, wird dieses Produkt auch Skalarprodukt genannt.

Die Definition des Skalarproduktes (Gl. 306) kann u.a. zur Bestimmung des Winkels zwischen zwei Vektoren benutzt werden. Umstellen von Gl. 306 nach dem Winkel ergibt

\( \cos \left( {\angle \vec a,\vec b} \right) = \frac{ {\left| {\vec a \cdot \vec b} \right|} }{ {\left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|} } \) Gl. 308

Beispiel:

Gegeben seien die Punkte P1(3,4) und P2(4,2) in der x-y-Ebene. Gesucht ist der Winkel zwischen den beiden Ortsvektoren, die zu diesen Punkten gehören.

Mit \(\vec a = 3i + 4j\) und \(\vec b = 4i + 2j\) folgt

\( \cos \left( {\angle \vec a,\vec b} \right) = \frac{ {\left| {\vec a \cdot \vec b} \right|} }{ {\left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|} } = \frac{ {3 \cdot 4 + 4 \cdot 2} }{ {\sqrt { {3^2} + {4^2} } \cdot \sqrt { {4^2} + {2^2} } } } = \frac{ {20} }{ {5 \cdot \sqrt {20} } } = 0,8944... \)

\( \angle \vec a,\vec b = \arccos \left( {0,8944...} \right) = {26,56^o} \)

Rechenregeln für Skalarprodukte

Es gelten das

  • Kommutativgesetz

\(\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a \) Gl. 309

und das

  • Assoziativgesetz für zwei Vektoren und einen Skalar

\( \lambda \cdot \left( {\vec a \cdot \vec b} \right) = \left( {\lambda \cdot \vec a} \right) \cdot \vec b \) Gl. 310

· das Assoziativgesetz gilt hingegen nicht für drei und mehr Vektoren

\( \left( {\vec a \cdot \vec b} \right) \cdot \vec c \ne \vec a \cdot \left( {\vec b \cdot \vec c} \right) \) Gl. 311

  • das Distributivgesetz gilt

\( \vec a \cdot \left( {\vec b \pm \vec c} \right) = \vec a \cdot \vec b \pm \vec a \cdot \vec c \) Gl. 312

Eigenschaften des Skalarproduktes

a) Das Skalarprodukt zwei gleicher Vektoren ergibt das Betragsquadrat dieses Vektors.

b) Stehen zwei Vektoren senkrecht zueinander, so beträgt der von ihnen eingeschlossene Winkel 90°. Folglich verschwindet das Skalarprodukt zueinander senkrechter Vektoren.

\( \vec a \cdot \vec b = 0 \quad \text{ sofern } a \bot b \) Gl. 313

Wenn ausgeschlossen werden kann, dass \(\vec a,\,\vec b \ne 0\) sind, kann dieses Verhalten zur Prüfung der Orthogonalität zweier Vektoren verwendet werden.

Beispiel:

Gegeben sind die Vektoren \(\vec a = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2\\3\\{ - 4}\end{array} } \right)\)und \(\vec b = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }4\\0\\2\end{array} } \right)\). Es ist zu prüfen, ob die Vektoren senkrecht zueinander stehen.

Die Skalarmultiplikation ergibt

\({A^T} \cdot B = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2&3&{ - 4}\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }4\\0\\2\end{array} } \right) = 8 + 0 - 8 = 0\)

also sind beide Vektoren senkrecht zueinander.

Kreuz- (Vektor-)Produkt

In der Physik hat das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt) z.B. die Aufgabe, das Drehmoment an einem Hebelarm der Länge s, an dem eine Kraft F angreift, zu ermitteln. Das Drehmoment ergibt sich aus dem Produkt von angreifender Hebellänge s und Kraft F, wenn beide Größen rechtwinklig zueinander ausgerichtet sind (z. B. Kurbelantrieb am Fahrrad). Ist dies nicht der Fall, wirken nur die Komponenten, die in einem rechten Winkel zueinander stehen.

Im Gegensatz zum Skalarprodukt, ist das Ergebnis des Vektorproduktes wieder ein Vektor!

Weil immer nur rechtwinklig zueinander stehende Komponenten eine Wirkung im Sinne eines Drehmomentes ausüben können, werden auch nur diese vorzeichenrichtig miteinander verknüpft. Abbildung 40 zeigt dies an einem zweidimensionalen Beispiel.

Die Vektoren von Kraft und Hebelarm werden in ihre Komponenten zerlegt. Nur die rechwinklig zueinander stehenden Komponenten (parallele Komponenten liefern ja keinen Beitrag!) werden miteinander multipliziert und die Produkte vorzeichenrichtig zusammengefasst:

\( \vec M = \vec s \times \vec F = \left( { {s_x}{F_y} - {s_y}{F_x} } \right) · k \) Gl. 314

Kräfte und Wirkung Drehmoment – Komponenten Kraft und Hebelarm Abbildung 40

Der Ergebnisvektors ist so gerichtet, dass er senkrecht auf der durch die beiden Faktoren aufgespannten Fläche steht. Die Orientierung ergibt sich nach der schon bekannten Rechte-Hand-Regel (Abbildung 41).

Ergebnisvektor senkrecht auf aufgespannten Fläche – Orientierung Rechte-Hand-Regel Abbildung 41

Im dreidimensionalen Fall erfolgt die Multiplikation so, dass sich immer die beteiligten Richtungskomponenten zu genau der Richtung ergänzen, zu der beide senkrecht stehen:

\( \vec M = \vec s \times \vec F = \left( { {F_z}{s_y} - {F_y}{s_z} } \right) \cdot i + \left( { {F_x}{s_z} - {F_z}{s_x} } \right) \cdot j + \left( { {F_y}{s_x} - {F_x}{s_y} } \right) \cdot k \) Gl. 315

Da die Berechnungsvorschrift für das Kreuzprodukt wenig anschaulich ist, gibt es eine auf der Determinantenschreibweise fußende Form:

\( \vec s \times \vec F = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }i&j&k\\{ {s_x} }&{ {s_y} }&{ {s_z} }\\{ {F_x} }&{ {F_y} }&{ {F_z} }\end{array} } \right| = \left( { {F_z}{s_y} - {F_y}{s_z} } \right) \cdot i + \left( { {F_x}{s_z} - {F_z}{s_x} } \right) \cdot j + \left( { {F_y}{s_x} - {F_x}{s_y} } \right) \cdot k \) Gl. 316

Auch eine Matrizendarstellung ist möglich. Jedoch nimmt sie die eigentliche Berechnung des Vektorproduktes vorweg, ist also keine Rechenvorschrift im Sinne der Matrizenrechnung. Allgemein gilt demnach:

\(\vec a \times \vec b = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }i&j&k\\{ {a_x} }&{ {a_y} }&{ {a_z} }\\{ {b_x} }&{ {b_y} }&{ {b_z} }\end{array} } \right| = \left( { {a_y}{b_z} - {a_z}{b_y} } \right) \cdot i + \left( { {a_z}{b_x} - {a_x}{b_z} } \right) \cdot j + \left( { {a_x}{b_y} - {a_y}{b_x} } \right) \cdot k = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_y}{b_z} - {a_z}{b_y} }\\{ {a_z}{b_x} - {a_x}{b_z} }\\{ {a_x}{b_y} - {a_y}{b_x} }\end{array} } \right) \) Gl. 317

Andererseits ist das Vektorprodukt der Definition nach auch durch die Beträge der beiden Vektoren und den Sinus des von beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels gegeben:

\( \left| {\vec a \times \vec b} \right| = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \cdot \sin \left( {\angle \vec a,\vec b} \right) \) Gl. 318

Aus Gl. 318 geht hervor, dass das Vektorprodukt betragsmäßig gleichgroß zu der Fläche des Parallelogramms ist, das die beiden Vektoren aufspannen.

Vektorprodukt betragsmäßig gleichgroß zur Fläche des Parallelogramms Abbildung 42

Beispiel:

Gegeben seien die Punkte P1(3,4) und P2(4,2) in der x-y-Ebene. Gesucht ist Fläche zwischen den beiden Ortsvektoren, die zu diesen Punkten gehören.

Beachte: die gesuchte Fläche ist genau halb so groß wie die Fläche des Parallelogramms, das beide Vektoren aufspannen!

Mit \(\vec a = 3i + 4j\) und \(\vec b = 4i + 2j\) folgt

\(F = \frac{ {\left| {\vec a \times \vec b} \right|} }{2} = \frac{1}{2}\left\| {\begin{array}{*{20}{c} }i&j&k\\3&4&0\\4&2&0\end{array} } \right\| = \frac{1}{2}\left| {\left( {6 - 16} \right)k} \right| = 5 \; FE \)

Rechenregeln für Vektorprodukte

  • Das Kommutativgesetz gilt nicht:

\( \vec a \times \vec b = - \vec b \times \vec a \quad \Rightarrow \quad \vec a \times \vec a = 0 \) Gl. 319

Es gelten das

  • Assoziativgesetz für zwei Vektoren und einen Skalar

\( \lambda \cdot \left( {\vec a \times \vec b} \right) = \left( {\lambda \cdot \vec a} \right) \times \vec b \) Gl. 320

und das

  • Distributivgesetz

\( \vec a \times \left( {\vec b \pm \vec c} \right) = \vec a \times \vec b \pm \vec a \times \vec c \) Gl. 321

Eigenschaften des Vektorproduktes

a) Das Vektorprodukt zwei gleicher Vektoren ist gleich Null.

b) Sind zwei Vektoren parallel zueinander, so beträgt der von ihnen eingeschlossene Winkel 0°. Folglich verschwindet das Vektorprodukt zueinander paralleler Vektoren.

\( \vec a \times \vec b = 0 \quad \text{ sofern } \left. a \right\|b \) Gl. 322

Wenn ausgeschlossen werden kann, dass \(\vec a,\,\vec b \ne 0\) sind, kann dieses Verhalten zur Prüfung der Parallelität (linearen Abhängigkeit) zweier Vektoren verwendet werden.

c) Aus b) folgt

\( \left( {\vec a \times \vec b} \right) \cdot \vec a = 0 \text{ sowie } \left( {\vec a \times \vec b} \right) \cdot \vec b = 0 \) Gl. 323

d) Mehrfache Vektorprodukte können wie folgt aufgelöst werden:

\( \vec a \times \left( {\vec b \times \vec c} \right) = \left( {\vec a \cdot \vec c} \right) \cdot \vec b - \left( {\vec a \cdot \vec b} \right) \cdot \vec c \) Gl. 324

\( \left( {\vec a \times \vec b} \right) \times \vec c = \left( {\vec b \cdot \vec c} \right) \cdot \vec a - \left( {\vec a \cdot \vec b} \right) \cdot \vec c \) Gl. 325

Beispiel:

Gegeben sind die Vektoren \(\vec a = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2\\3\\{ - 1}\end{array} } \right)\)und \(\vec b = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ - 4}\\{ - 6}\\2\end{array} } \right)\). Es ist zu prüfen, ob die Vektoren parallel zueinander verlaufen.

Die Vektormultiplikation ergibt

\(\vec a \times \vec b = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }i&j&k\\2&3&{ - 1}\\{ - 4}&{ - 6}&2\end{array} } \right| = \left( {6 - 6} \right) \cdot i + \left( {4 - 4} \right) \cdot j + \left( { - 12 + 12} \right) \cdot k = 0\)

also sind beide Vektoren parallel zueinander.

Zusammenhang von Skalar- und Vektorprodukt

Beide Produkte stehen in einem betragsbasierten Zusammenhang:

\(\left| {\vec a \cdot \vec b} \right| = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \cdot \cos \left( {\angle \vec a,\vec b} \right) \) Gl. 326 Skalarprodukt

\(\left| {\vec a \times \vec b} \right| = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \cdot \sin \left( {\angle \vec a,\vec b} \right) \) Gl. 327 Vektorprodukt

Aus den Beziehungen für die trigonometrischen Funktionen sin und cos ergibt sich:

\({\left| {\vec a \cdot \vec b} \right|^2} + {\left| {\vec a \times \vec b} \right|^2} = {\left( {\left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|} \right)^2} \) Gl. 328

Daraus folgt, dass die Beträge der Produkte stets kleiner oder gleich den Produkten der Einzelbeträge sind:

\( \left| {\vec a \cdot \vec b} \right|\,\,bzw.\,\,\left| {\vec a \times \vec b} \right| \le \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \) Gl. 329

Spatprodukt

Das Spatprodukt ist ein aus einem Vektorprodukt und einem Skalarprodukt zusammengesetztes Produkt.

Spatprodukt ist aus Vektorprodukt und Skalarprodukt zusammengesetzt Abbildung 43

Wie aus Abschnitt Skalarprodukt bekannt ist, ist das Vektorprodukt zweier Vektoren betragsgleich zur Fläche des Parallelogramms, das von diesen Vektoren aufgespannt wird. Das Ergebnis des Vektorproduktes ist aber wiederum ein Vektor, der senkrecht auf dem Parallelogramm steht. Weiterhin ist aus Abschnitt Kreuz- (Vektor-)Produkt bekannt, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren zur Multiplikation nur der gleichgerichteten Komponenten der Vektoren führt. Das Ergebnis ist ein Skalar. Somit ergibt das Produkt nach Gl. 330 das Volumen eines Spates (schiefwinkliger Quader):

\(V = \left( {\vec a \times \vec b} \right) \cdot \vec c \) Gl. 330

Das Vektorprodukt bildet ein flächengleiches Rechteck und das Skalarprodukt eine rechtwinklig auf dieser Fläche stehendes Höhenäquivalent, so dass das Produkt dieses Quaders das gleiche Volumen hat, wie der Spat (Abbildung 43).

Alternativ kann das Spatprodukt auch als Determinante geschrieben werden

\( \left( {\vec a \times \vec b} \right) \cdot \vec c = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_x} }&{ {a_y} }&{ {a_z} }\\{ {b_x} }&{ {b_y} }&{ {b_z} }\\{ {c_x} }&{ {c_y} }&{ {c_z} }\end{array} } \right| \) Gl. 331

denn die Entwicklung der Determinante nach ihren Adjunkten zeigt

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c} } { {a_x} }&{ {a_y} }&{ {a_z} }\\{ {b_x} }&{ {b_y} }&{ {b_z} }\\{ {c_x} }&{ {c_y} }&{ {c_z} }\end{array} } \right| = {c_x}\left( { {a_y}{b_z} - {a_z}{b_y} } \right) - {c_y}\left( { {a_x}{b_z} - {a_z}{b_x} } \right) + {c_z}\left( { {a_x}{b_y} - {a_y}{b_x} } \right) \) Gl. 332

Im Vergleich mit Gl. 317, dass es sich hierbei um das Skalarprodukt des Vektors \(\vec c\) mit dem Vektorprodukt \(\vec a \times \vec b\) handelt.

Beispiel:

Gegeben seien die Punkte (0,0,0); (1,2,0); (-1,2,0) und (0,1,2), die die vorderen Eckpunkte eines Spates bezeichnen. Gesucht ist das Spatvolumen.

Lösung:

Da die vorderen Seiten des Spats im Ursprung beginnen, sind diese leicht als Ortsvektoren zu schreiben:

\( \vec a = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1\\2\\0\end{array} } \right); \quad \vec b = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ - 1}\\2\\0\end{array} } \right) \text{ und } \vec c = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }0\\1\\2\end{array} } \right) \)

zunächst wird das Vektorprodukt berechnet:

\( \vec a \times \vec b = \left| {\begin{array}{*{20}{c} } 1&2&0 \\ {-1}&2&0 \\ 0&1&2 \end{array} } \right| = 4 - ( - 4) = 8 \)

Folglich beträgt das Volumen 8 Einheiten.

Aufgespannter Spat mit Vektoren

Zusammenfassung

Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt
Rechenregel \( \vec a · \vec b = \left( {\begin{array}{*{20}{c} } a & { {a_y} } & { {a_z} } \end{array} } \right) · \left( {\begin{array}{*{20}{c} } { {b_x} } \\ { {b_y} } \\ { {b_z} } \end{array} } \right) \) \(\vec a \times \vec b = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }i&j&k\\{ {a_x} }&{ {a_y} }&{ {a_z} }\\{ {b_x} }&{ {b_y} }&{ {b_z} }\end{array} } \right| \) \(\left( {\vec a \times \vec b} \right) \cdot \vec c = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_x} }&{ {a_y} }&{ {a_z} }\\{ {b_x} }&{ {b_y} }&{ {b_z} }\\{ {c_x} }&{ {c_y} }&{ {c_z} }\end{array} } \right| \)
Alternative Berechnung \(\left| {\vec a \cdot \vec b} \right| = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \cdot \cos \left( {\angle \vec a,\vec b} \right) \) \(\left| {\vec a \times \vec b} \right| = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \cdot \sin \left( {\angle \vec a,\vec b} \right) \)
Ergebnis Skalar Vektor Skalar
Interpretation Projektion \(\vec a\) auf \(\vec b\) Fläche zwischen \(\vec a\) und \(\vec b\) Volumen zwischen \(\vec a\), \(\vec b\) und \(\vec c\)
Indikation \( \vec a \cdot \vec b = 0 \) sofern \( a \bot b \) \( \vec a \times \vec b = 0 \) sofern \( \left. a \right\|b \) \( \left( {\vec a \times \vec b} \right) · \vec c = 0 \) sofern alle Vektoren in einer Ebene liegen.
Kommutativgesetz \(\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a\) \(\vec a \times \vec b = - \vec b \times \vec a\)
Assoziativgesetz \(\left( {\vec a \cdot \vec b} \right) \cdot \vec c \ne \vec a \cdot \left( {\vec b \cdot \vec c} \right)\)

\(\vec a \times \left( {\vec b \times \vec c} \right) \ne (\vec a \times \vec b) \times \vec c\) da

\(\vec a \times \left( {\vec b \times \vec c} \right) = \left( {\vec a \cdot \vec c} \right) \cdot \vec b - \left( {\vec a \cdot \vec b} \right) \cdot \vec c\)

\(\left( {\vec a \times \vec b} \right) \times \vec c = \left( {\vec b \cdot \vec c} \right) \cdot \vec a - \left( {\vec a \cdot \vec b} \right) \cdot \vec c\)

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