Wissen: Lineare Algebra - Zusammenfassung

Autor: André Dalwigk

Diese Zusammenfassung zur linearen Algebra richtet sich an Mathematik-Studenten.

Verwendete Abkürzungen

\(\begin{array}{|c|c|}\hline\mathrm{Notation} & \mathrm{Bedeutung}\\\hline\mathbb{K} & \mathrm{Platzhalter\text{ } für\text{ } } \mathbb{N}, \mathbb{R}, \mathbb{C} \mathrm{\text{ }usw.}\\\hline
A\in\mathbb{K}^{m\times n} & A \mathrm{ \text{ }ist\text{ } eine\text{ } } m\times n-\mathrm{Matrix}\\\hline
\mathrm{rank}(A) & \mathrm{\text{ }Rang\text{ }der\text{ } Matrix} A\\\hline
\det(A) & \mathrm{Determinante\text{ } der\text{ } Matrix} A\\\hline
C(A) & \mathrm{Spaltenraum\text{ } von\text{ } } A\\\hline
N(A) & \mathrm{ (rechter)\text{ } Nullraum \text{ }von\text{ } } A\\\hline
C(A^T) & \mathrm{Zeilenraum\text{ } von \text{ }} A\\\hline
N(A^T) & \mathrm{linker \text{ }Nullraum\text{ } von\text{ } } A\\\hline
\circ & \mathrm{\text{ }Platzhalter \text{ }für\text{ } }+, \cdot \mathrm{\text{ } und \text{ }andere\text{ } Operationen}\\\hline\end{array}\)

1. LU-Zerlegung

Gegeben sei exemplarisch die \(3 \times 3-\)Matrix

$$A=\left(\begin{matrix}1&2&1\\2&2&3\\3&5&4\end{matrix}\right)$$

Ziel der \(LU\)-Zerlegung ist das Bilden zweier Matrizen, die folgende Gestalt haben:

$$ L=\left(\begin{matrix}l_{1,1}&0&0\\l_{2,1}&l_{2,2}&0\\l_{3,1}&l_{3,2}&l_{3,3}\end{matrix}\right) $$ $$ U=\left(\begin{matrix}u_{1,1} & u_{1,2} & u_{1,3}\\0 & u_{2,2} & u_{2,3}\\0 & 0 & u_{3,3}\end{matrix}\right) $$

Wir nennen \(L\) linke untere Dreiecksmatrix, weil nur die Einträge unterhalb und inklusive der Hauptdiagonale besetzt sind. \(U\) heißt rechte obere Dreiecksmatrix, weil nur die Einträge oberhalb und inklusive der Hauptdiagonale besetzt sind. Es gilt: \(A=LU\)

Warum ist diese Zerlegung sinnvoll?
- Nullen müssen nicht gespeichert werden, was eine Speicherplatzersparnis zur Folge hat.
- Die Berechnung der Determinante ist sehr einfach, da man nur die Elemente der Hauptdiagonalen miteinander multiplizieren muss.

Bei der \(LU-\)Zerlegung speichert man in \(L\) die Operationen, die zur Berechnung von \(U\) durchgeführt wurden. Für die Beispielmatrix \(A\) liefert die \(LU-\)Zerlegung:

$$ L=\left(\begin{matrix}1&0&0\\2&1&0\\3& 0.5&1\end{matrix}\right) $$ $$ U=\left(\begin{matrix}1 & 2 & 1\\0 & -2 & 1\\0 & 0 & 0.5\end{matrix}\right) $$

Um nachzuweisen, dass richtig gerechnet wurde, bildet man das Produkt \(LU\) und prüft, ob \(A\) herauskommt:

$$ LU=\left(\begin{matrix}1&0&0\\2&1&0\\3& 0.5&1\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}1 & 2 & 1\\0 & -2 & 1\\0 & 0 & 0.5\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 1&2&1\\ 2&2&3\\ 3&5&4 \end{matrix} \right) $$

2. Vektorräume

2.1 Was ist ein Vektorraum?

Den Begriff des Vektorraums entwickelt man schrittweise aus einfachen algebraischen Strukturen:

Menge \(M\) \(\Longrightarrow\) Verknüpfung \((M,\circ)\) \(\Longrightarrow\) Gruppe \((G,+)\) \(\Longrightarrow\) Ring \((R,+,\cdot)\) \(\Longrightarrow\) Körper \((K,+,\circ)\) \(\Longrightarrow\) Vektorraum

Wir starten bei der Definition der Menge, die eine Zusammenfassung von Objekten ist. Versehen wir die Menge mit einer Operation \(\circ\) entsteht eine Verknüpfung. Eine Verknüpfung erfüllt Eigenschaften wie:

  • Abgeschlossenheit (wenn man ein Element \(m_1\) aus der Menge \(M\) mit einem anderen Element \(m_2\in M\) durch \(\circ\) verknüpft, erhält man wieder ein Element aus der Menge: \(m_1\circ m_2\in M\)).
  • Assoziativität (Klammern haben keinen Einfluss auf das Ergebnis).
  • Kommutativität (wenn \(m_1,m_2\in M\), dann gilt: \(m_1\circ m_2 = m_2\circ m_1\)).
  • Neutrales Element (das Ergebnis der Verknüpfung eines Elements \(m\in M\) mit dem neutralen Element \(n\in M\) ergibt wieder das Element \(m\): \(m\circ n=m\)).
  • Inverses Element (das zu \(m\in M\) inverse Element \(m^{-1}\in M\) verknüpft mit \(m\) ergibt das neutrale Element \(n\in M\): \(m\circ m^{-1}=n\)).

Abhängig von den Eigenschaften, welche die Verknüpfung erfüllt, nennen wir diese Gruppe. Dort gibt es weitere Abstufungen (Halbgruppe, abelsche Gruppe, Monoid, ...). Mit zusätzlichen Axiomen gelangt man dann zu Ringen und Körpern. Schlussendlich landet man bei dem Begriff des Vektorraums.

Um eine Menge \(V\) über einem Körper \(\mathbb{K}\) mit den Verknüpfungen \(+\) und \(\cdot\) Vektorraum nennen zu dürfen, müssen die sogenannten Vektorraumaxiome erfüllt sein. Diese werden hier nicht behandelt. Viel wichtiger ist dort der Begriff des Untervektorraums.

2.2 Untervektorraum

Ein reeller Vektorraum \(U\subseteq V\) heißt Untervektorraum von \(V\) über \(\mathbb{R}\), wenn gilt:

1.) \(U\neq \emptyset\)

2.) \(\forall u,v\in U:u+v\in U\) (Abgeschlossenheit bezüglich \(+\))

3.) \(\forall u\in U\) und \(\forall \lambda\in \mathbb{R}\): \(\lambda\cdot u\in U\) (Abgeschlossenheit bezüglich \(\cdot\))

Wir zeigen beispielhaft:

1.) \(X=\left\{\left(\begin{matrix}0\\ v\end{matrix}\right)\mid v\in \mathbb{R}\right\}\) ist ein Untervektorraum von \(\mathbb{R}^2\)

2.) \(Y=\left\{\left(\begin{matrix}a\\ b\end{matrix}\right)\mid a,b\in \mathbb{R} \text{ und } b=a^2\right\}\) ist kein Untervektorraum von \(\mathbb{R}^2\) \(\square\)

Für die erste Aussage müssen wir alle Unterraumkriterien prüfen:

1.) \(X\) ist nicht leer, denn \(\left(\begin{matrix}0\\ 0\end{matrix}\right)\) liegt z. B. in \(X\)

2.) Wir wählen \(\left(\begin{matrix}0\\ u\end{matrix}\right)\in X\) und \(\left(\begin{matrix}0\\ v\end{matrix}\right)\in X\).

Wir addieren diese beiden Vektoren und erhalten: $$\left(\begin{matrix}0\\ u\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}0\\ v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\ u+v\end{matrix}\right)\in X$$ 3.) Wir wählen ein \(\lambda\in \mathbb{R}\) und den Vektor \(\left(\begin{matrix}0\\ v\end{matrix}\right)\in X\).

Wir bilden das Produkt \( \lambda \cdot \left(\begin{matrix}0\\ v\end{matrix}\right) \) und erhalten: $$ \lambda\cdot \left(\begin{matrix}0 \\ v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\lambda \cdot 0 \\ \lambda \cdot v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0 \\ \lambda\cdot v\end{matrix}\right)\in X $$

Für die zweite Aussage genügt es bereits zu zeigen, dass \(Y\) eines der Unterraumkriterien nicht erfüllt. Man sieht schnell, dass z. B. die Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation \(\cdot\) nicht gegeben ist. Es ist \(\left(\begin{matrix} 1\\ 1 \end{matrix}\right)\) in \(Y\), da \(1=1^2\). Doch wenn wir \(\lambda=2\in\mathbb{R}\) wählen, dann erhalten wir \(2\cdot \left(\begin{matrix} 1\\ 1 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 2\cdot 1\\ 2\cdot 1 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 2\\ 2 \end{matrix}\right)\). Aber \( \left(\begin{matrix} 2\\ 2 \end{matrix}\right)\notin Y\) denn \(2\neq 2^2 \).

2.3 Wie prüft man, ob eine Menge von Vektoren eine Basis ist?

Die Basis eines Vektorraums ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren, mit denen alle Vektoren des Vektorraums mittels Linearkombination erzeugt werden können. Man sagt: „Eine Basis erzeugt einen Vektorraum.“

Problemstellung: Es sind \(k\) Vektoren gegeben und man soll prüfen, ob diese Vektoren die Basis des \(\mathbb{R}^n\) bilden. Wir können dabei wie folgt vorgehen:

- Wenn \(k>n\) können die Vektoren keine Basis bilden, da \(k-n\) Vektoren durch die \(n\) Vektoren erzeugt werden können (lineare Abhängigkeit).

- Wenn \(k<n\) können die Vektoren keine Basis bilden, da nicht jeder Vektor dargestellt werden kann.

- Wenn \(k=n\) muss geprüft werden, ob die Vektoren linear abhängig sind. Eine einfache Argumentation ist über die Determinante möglich:

1.) Schreiben Sie alle Vektoren nebeneinander in eine Matrix \(A\) (Reihenfolge egal).

2.) Berechnen Sie die Determinante.

3.1) \(\det(A)=0\Longrightarrow\) Die Vektoren sind linear abhängig und bilden keine Basis.

3.2) \(\det(A)\neq 0\Longrightarrow\) Die Vektoren sind linear unabhängig und bilden eine Basis.

Gegeben seien die Vektoren \( \left(\begin{matrix}1\\-1\\2\end{matrix}\right) \), \( \left(\begin{matrix}2\\3\\-1\end{matrix}\right) \) und \( \left(\begin{matrix}4\\-1\\0\end{matrix}\right) \). Es ist also \(k=n=3\).

Um zu prüfen, ob diese Vektoren eine Basis des \(\mathbb{R}^3\) bilden, schreiben wir sie in eine Matrix und berechnen anschließend die Determinante:

$$ A = \left(\begin{matrix}1 & 2 & 4\\-1 & 3 & -1\\2 & -1 & 0\end{matrix}\right) $$

Wir berechnen die Determinante exemplarisch mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz (siehe Abschnitt 4.3). Zwecks Aufwandsersparnis entwickeln wir nach der 3. Zeile, da sich dort eine \(0\) befindet. Es ist:

$$ \det(A) = \left|\begin{matrix}1 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 0\end{matrix}\right|= \underbrace{+1}_{\text{aus Vorzeichenmatrix}}\cdot 2\cdot \left|\begin{matrix}2 & 4 \\ 3 & -1\end{matrix}\right| + \underbrace{-1}_{\text{aus Vorzeichenmatrix}}\cdot (-1) \cdot \left|\begin{matrix}1 & 4 \\ -1 & -1\end{matrix}\right| $$ $$ =1\cdot 2\cdot (2\cdot (-1)-3\cdot 4)+(-1)\cdot (-1)\cdot (1\cdot (-1)-(-1)\cdot 4)=-25\neq 0 $$

Da \(-25\neq 0\) (und die Vektoren somit linear unabhängig sind), handelt es sich bei den gegebenen Vektoren um eine Basis des \(\mathbb{R}^3\).

3. Die 4 Fundamentalräume

Für den Vektorraum der Matrizen gibt es 4 Untervektorräume, die man als die „4 Fundamentalräume“ bezeichnet. Diese sind der:

  • Spaltenraum \(C(A)\)
  • Zeilenraum \(C(A^T)\)
  • rechte Nullraum \(N(A)\)
  • linke Nullraum \(N(A^T)\)

Eine wichtige Erkenntnis ist, dass

- der rechte Nullraum \(N(A)\) und der Zeilenraum \(C(A^T)\)

- der linke Nullraum \(N(A^T)\) und der Spaltenraum \(C(A)\)

senkrecht zueinander sind. Erzeugt man also z. B. mit der Basis des linken Nullraums und der Basis des Spaltenraums beliebige Vektoren, ergibt ihr Skalarprodukt 0. So kann man in der Prüfung exemplarisch nachweisen, dass man richtig gerechnet hat (ein Beweis ist das jedoch nicht!).

Sei \( A\in\mathbb{K}^{m\times n} \) eine \(m\times n-\)Matrix mit \(\mathrm{rank}(A)=r\). Dann sind die Dimensionen der 4 Fundamentalräume gegeben durch:

\( \begin{array}{|c|c|}\hline\mathrm{Fundamentalraum} & \mathrm{Dimension} \\ \hline C(A) & r \\ \hline N(A) & n-r \\ \hline C(A^T) & r \\ \hline N(A^T) & m-r \\ \hline \end{array} \)

Wir werden nun die Algorithmen zur Ermittlung einer Basis für den jeweiligen Fundamentalraum betrachten:

- Bestimmen einer Basis für den Spaltenraum \(C(A)\)

1.) Führen Sie eine \(LU-\)Zerlegung von \(A\) durch.

2.) Identifizieren Sie die Pivot-Spalten.

3.) Fassen Sie die \(r\) Pivot-Spalten in einer Menge zusammen.

- Bestimmen einer Basis für den rechten Nullraum \(N(A)\Longrightarrow\) die „speziellen Lösungen“

1.) Bestimmen Sie die Treppennormalform von \(A\).

2.) Ergänzen Sie so viele Nullzeilen, bis \(A\) quadratisch ist.

3.) Tauschen Sie die Zeilen so lange, bis auf der Hauptdiagonale die maximale Anzahl an Einsen steht.

4.) Ergänzen Sie bei jeder \(0\) auf der Hauptdiagonalen eine \(-1\) (freie Variablen).

5.) Fassen Sie die Spalten, in denen eine \(-1\) ergänzt wurde, in einer Menge zusammen.

- Bestimmen einer Basis für den Zeilenraum \(C(A^T)\)

1.) Bestimmen Sie die Treppennormalform von \(A\).

2.) Fassen Sie die ersten \(r\) Pivot-Zeilen der Treppennormalform in einer Menge zusammen.

- Bestimmen einer Basis für den linken Nullraum \(N(A^T)\)

1.) Führen Sie eine \(LDU-\)Zerlegung von \(A\) durch.

2.) Berechnen Sie \(D^TL^T\).

3.) Bestimmen Sie von \(D^TL^T\) die Basis des rechten Nullraums \(N(D^TL^T)\)

Als Beispiel für die vorgestellten Algorithmen bestimmen wir eine Basis für den Spaltenraum \(C(A)\), Zeilenraum \(C(A^T)\) und (rechten) Nullraum \(N(A)\) der Matrix

$$ \left(\begin{matrix}1 & 3 & 4\\1 & 4 & 6\\0 & 1 & 2\end{matrix}\right) $$

Bestimmen einer Basis für den Spaltenraum \(C(A)\)

1.) Führen Sie eine \(LU-\)Zerlegung von \(A\) durch:

\(\begin{array}{ccl}\underbrace{\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0\\l_{2,1} & 1 & 0\\l_{3,1} & l_{3,2} & 1\end{matrix}\right)}_{L} & \underbrace{\left(\begin{matrix}1 & 3 & 4\\1 & 4 & 6\\0 & 1 & 2\end{matrix}\right)}_{A} & \mid\text{ } II+ (-I), III\mathrm{ bleibt}\\\underbrace{\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0\\0 & l_{3,2} & 1\end{matrix}\right)}_{L} &\underbrace{\left(\begin{matrix}1 & 3 & 4\\0 & 1 & 2\\0 & 1 & 2\end{matrix}\right)}_{A'} & \mid \text{ } III+ (-II)\\\underbrace{\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{matrix}\right)}_{L} & \underbrace{\left(\begin{matrix}1& 3 & 4\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right)}_{A''=U}\end{array}\)

2.) Der Rang der Matrix ist \(\mathrm{rank}(A)=2\). Die erste und zweite Spalte sind die Pivot-Spalten.

3.) Wir lesen in \(A\) die erste und zweite Spalte ab und schreiben diese in eine Menge, die dann die Basis des Spaltenraums bildet: $$\mathcal{B}(C(A))=\left\{\left(\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0\end{matrix}\right), \left(\begin{matrix}3 \\ 4 \\1\end{matrix}\right)\right\}$$

Bestimmen einer Basis für den (rechten) Nullraum \(N(A)\)

Wir haben bereits beim Bestimmen einer Basis für den Spaltenraum \(C(A)\) festgestellt, dass die Matrix den Rang \(2\) besitzt. Deshalb enthält der (rechte) Nullraum \(N(A)\) genau \(\underbrace{3}_{n}-\underbrace{2}_{\mathrm{rank}(A)}=1\) Vektor.

1.) Wir wandeln \(U\) in die Treppennormalform um. Hierzu muss nur noch der Eintrag \(u_{1,2}=3\) zu \(0\) werden. Hierzu multiplizieren wir \(II\) mit \(-3\) und addieren das Ergebnis zu \(I\):
\(\begin{array}{ccl}\underbrace{\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{matrix}\right)}_{L} & \underbrace{\left(\begin{matrix}1 & 3 & 4\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right)}_{U} & \mid \text{ }I+ (-3\cdot II)\\\underbrace{\left(\begin{matrix}1 & 3 & 0\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{matrix}\right)}_{L'} & \underbrace{\left(\begin{matrix}1 & 0 & -2\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right)}_{U'=R}\end{array}\)
Wir ergänzen nun eine \(-1\) an den Stellen auf der Hauptdiagonalen, an denen sich aktuell eine \(0\) befindet. Alle Spalten, in denen die \(-1\) ergänzt wurde, werden in einer Menge zusammengefasst und bilden eine Basis des (rechten) Nullraums.
$$\mathcal{B}(N(A))=\left\{\left(\begin{matrix}-2 \\ 2 \\ -1\end{matrix}\right)\right\} = \left\{\left(\begin{matrix}2 \\ -2 \\ 1\end{matrix}\right)\right\}$$

Bestimmen einer Basis für den Zeilenraum \(C(A^T)\)

1.) Die Treppennormalform (\(R\)) wurde bereits beim Bestimmen einer Basis des (rechten) Nullraums ermittelt:

$$ R=\left(\begin{matrix}1 & 0 & -2\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right) $$

2.) Wir lesen die Pivot-Zeilen (\(I\) und \(II\)) ab und schreiben diese in eine Menge, die dann die Basis des Zeilenraums bildet:

$$\mathcal{B}(C(A^T))=\left\{\left(\begin{matrix}1 \\ 0 \\ -2\end{matrix}\right), \left(\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 2\end{matrix}\right)\right\}$$

4. Determinanten

4.1 Definition: Determinante, reguläre/singuläre Matrix

Eine Determinante \(\det(A)\) ist eine Zahl, die einer quadratischen Matrix \(A\in\mathbb{K}^{n\times n}\) zugeordnet ist. Sei $$ A=\left(\begin{matrix}a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n}\\a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a_{n,1} & a_{n,2} & ...& a_{n,n}\end{matrix}\right)$$

Dann schreiben wir für die Determinante von \(A\):

$$ \det(A)=|A|=\left|\begin{matrix}a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n}\\a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ...& a_{n,n}\end{matrix}\right| $$

Wichtig: Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen \(A\in\mathbb{K}^{n\times n}\) definiert!

Eine Matrix \(A\) heißt

- singulär, wenn \(\det(A)=0\) und
- regulär, wenn \(\det(A)\neq 0\)

4.2 Eigenschaften

\(\begin{array}{|l|l|}\hline\text{Operation zum Erzeugen von } A' \text{ aus } A & \text{Effekt}\\\hline \text{Vertauschen zweier Spalten in } A & \det(A')=-\det(A)\\\hline \text{Vertauschen zweier Zeilen in } A & \det(A')=-\det(A)\\\hline \text{Multiplikation von } k \text{ Spalten in } A\ \text{ mit } \lambda & \det(A')=\lambda^k\cdot \det(A)\\\hline \text{Multiplikation von } k \text{ Zeilen in } A \text{ mit } \lambda & \det(A')=\lambda^k\cdot \det(A)\\\hline \text{Addition des } \lambda-\text{Fachen einer Spalte in } A \text{ zu einer anderen } & \det(A')=\det(A)\\\hline \text{Addition des } \lambda-\text{Fachen einer Zeile in } A \text{ zu einer anderen } & \det(A')=\det(A)\\\hline\end{array}\)

\(\begin{array}{|l|c|}\hline\text{Satz} & \text{Bedeutung}\\\hline
\text{Transpositionssatz} & \det(A^T)=\det(A)\\\hline
\text{Multiplikationssatz} & \det(A\cdot B)=\det(A)\cdot \det(B)\\\hline
\text{Inversensatz} & \det(A^{-1})=\left(\det(A)\right)^{-1}\\\hline\end{array}\)

- \(\det(A^k)=\left(\det(A)\right)^k\)

- \(\det(AB)=\det(BA)\)

- \(\forall C\in\mathbb{K}^{n\times n}\) mit \(\det(C)\neq 0\) (d.h. \(C\) ist invertierbar): \(\det(C^{-1}AC)=\det(A)\)

- Für Diagonal- und (obere, untere) Dreiecksmatrizen ist die Determinante gegeben durch: $$\det(A)=\prod\limits_{k=1}^{n}{a_{k,k}}$$ - Die \(n\times n-\)Einheitsmatrix hat die Determinante \(1\) (neutrales Element bezüglich der Multiplikation).

Zur Berechnung der Determinante gibt es verschiedene Verfahren. Wir betrachten zunächst die Berechnung für \(2\times2-\) und \(3\times 3-\)Matrizen.

1.) \(\left(\begin{matrix}a & b\\c & d\end{matrix}\right)\Longrightarrow\det(A) = |A|=a\cdot d - c\cdot d\)

2.) \( \left(\begin{matrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{matrix}\right) \Longrightarrow \det(A) = |A|=a\cdot e\cdot i+b\cdot f\cdot g + c\cdot d\cdot h - g\cdot e\cdot c - h\cdot f\cdot a - i\cdot d\cdot b \)

Für die Berechnung der Determinante im Fall einer \(3\times 3-\)Matrix kann die \textbf{Regel von Sarrus} angewendet werden.

- Hierbei werden die ersten beiden Spalten direkt neben die Matrix geschrieben: $$\left|\begin{matrix} a & b & c & \mid & a & b\\ d & e & f & \mid & d & e\\ g & h & i & \mid & g & h\\ \end{matrix}\right| $$

- Danach zieht man Diagonalen von oben links beginnend nach unten rechts. Die auf einer Diagonale liegenden Elemente werden multipliziert, also \(a\cdot e\cdot i\), \(b\cdot f\cdot g\) und \(c\cdot d\cdot h\). Anschließend werden diese Produkte addiert.

- Nun werden die Diagonalen von unten links nach oben rechts gezogen. Die auf einer Diagonale liegenden Elemente werden multipliziert, also \(g\cdot e\cdot c\), \(h\cdot f\cdot a\) und \(i\cdot d\cdot b\).

Zur Berechnung der Determinante höherer Ordnungen (ab \(4\times 4-\)Matrizen) bieten sich folgende Verfahren an:

- \(LU-\)Zerlegung der Matrix und anschließende Multiplikation der Hauptdiagonalelemente (oben links nach unten rechts).

Laplacescher Entwicklungssatz

Beim Laplaceschen Entwicklungssatz geht man folgendermaßen vor:

1.) Man sucht sich eine Zeile oder Spalte in der Matrix aus, nach der entwickelt werden soll. Um Rechenarbeit zu sparen, wählt man eine Zeile oder Spalte aus, in der sehr viele Nullen auftauchen, weil das die Berechnung sehr vereinfacht.

2.) Man bildet eine „Vorzeichenmatrix“, die vom selben Format wie die Matrix ist, von der die Determinante berechnet werden soll. Man trägt nun abwechselnd \(+\) und \(-\) für die Elemente ein. Begonnen wird oben links (\(a_{1,1}\) mit einem \(+\). Gleichnamige Vorzeichen dürfen sich fortan nur noch diagonal berühren. Allgemein gilt: $$ \left(\begin{matrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{matrix}\right) \Longrightarrow \left(\begin{matrix} + & - & +\\ - & + & -\\ + & - & + \end{matrix}\right)$$ 3.) Man wählt nun ein Elemente auf der ausgewählten Zeile oder Spalte aus und streicht die Zeile und Spalte, auf der das jeweilige Element liegt, (gedanklich) durch.

4.) Die übriggebliebenen Elemente ergeben eine Matrix. Für diese \glqq Streichmatrix\grqq$ $ wird nun die Determinante berechnet (\(LU-\)Zerlegung, Regel von Sarrus, Laplacescher Entwicklungssatz, ...) und das Ergebnis mit dem ausgewählten Element und dem entsprechenden Vorzeichen aus der Vorzeichenmatrix multipliziert.

5.) Die Schritte 3 und 4 werden für alle Elemente auf der ausgewählten Zeile oder Spalte durchgeführt. Die Ergebnisse werden anschließend multipliziert.

Man sieht, dass die Auswahl einer Zeile oder Spalte mit vielen Nullen sehr viel Schreib- und Rechenaufwand spart. Da am Ende der Berechnung der „Streichmatrix-“Determinante das Ergebnis mit dem entsprechenden Element \(0\) multipliziert wird, kann man die Berechnung direkt auslassen. Somit ist auch klar: Wenn eine Nullzeile oder Nullspalte in der Matrix auftaucht, dann ist die Determinante \(0\). Die Umkehrung gilt allerdings nicht, da die Determinante einer Matrix auch \(0\) sein kann, ohne dass eine Nullzeile oder Nullspalte auftaucht (z. B. wenn mindestens zwei Zeilen oder Spalten linear abhängig sind).

5. Zusammenhänge

Gegeben sei eine quadratische Matrix \(A\in\mathbb{K}^{n\times n}\). Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

- \(\mathrm{rank}(A)=n\)

- \(\det(A)\neq 0\)

- \(A\) ist regulär

- \(A\) ist invertierbar

- Der Spaltenraum \(C(A)\) besitzt die Dimension \(n\)

- Der rechte Nullraum \(N(A)\) besitzt die Dimension \(0\)

- Der Zeilenraum \(C(A^T)\) besitzt die Dimension \(n\)

- Der linke Nullraum \(N(A^T)\) besitzt die Dimension \(0\)

- \(Ax=b\) ist eindeutig lösbar.

- \(Ax=b\) ist für alle \(b\in\mathbb{K}^n\) eindeutig lösbar

- \(Ax=0\) besitzt nur die triviale Lösung \(x=0\)

Wenn eine dieser Eigenschaften für eine Matrix erfüllt ist, dann gelten automatisch auch alle anderen!

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