F09: Gleichung einer Linearen Funktion bestimmen

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Video: Einführung Funktionsgleichung bestimmen

Normalform einer linearen Funktion

Die Normalform einer linearen Funktion sieht so aus:

f(x) = m·x + n

Dabei entspricht das m der Steigung und das n steht für den y-Achsenabschnitt, beschreibt also in welcher Höhe die y-Achse geschnitten wird.

Für f(x) = 2·x + 4 wird die y-Achse in einer Höhe von 4 geschnitten und die Steigung beträgt 2.

Linearer Graph

Lineare Funktion aufstellen

Es ist möglich die Gleichung einer linearen Funktion aus gewissen Bedingungen selbst aufzustellen. Dazu müssen zwei Bedingungen bekannt sein. Das können entweder zwei Punkte sein oder aber die Steigung und ein weiterer Punkt. Für letzteres wird die Punktsteigungsform benutzt, für ersteres die Zweipunkteform. Alternativ kann man auch ein Gleichungssystem aufstellen (vgl. Lektion F05).

1. Punktsteigungsform

Werden ein Punkt und die Steigung einer linearen Funktion vorgegeben, so kann man die Normalform mittels der Punktsteigungsform angeben. Diese lautet:

f(x) = m·(x - x1) + y1

Hier ist m die Steigung der Funktion und ein Punkt P bildet sich aus P(x1|y1).

An einem Beispiel sieht das dann so aus:

„Gib die Normalform der linearen Funktion an. Bekannt sei m = 2 und P(-1|3).“

f(x) = m·(x - x1) + y1

f(x) = 2·(x - (-1)) + 3

f(x) = 2·(x + 1) + 3

f(x) = 2·x + 2·1 + 3

f(x) = 2·x + 5

Die Normalform lautet also f(x) = 2·x + 5.

2. Zweipunkteform

Hat man nun nicht die Steigung gegeben, sondern stattdessen zwei Punkte, so kann man weiterhin die lineare Funktion aufstellen, auch wenn eine andere Formel verwendet werden muss. Das ist die Zweipunkteform. Diese lautet:

f(x) = (y2 - y1) / (x2 - x1) · (x - x1) + y1

Dabei ist der erste Faktor (y2 - y1) / (x2 - x1) nichts anderes als die Steigung m, wie wir sie bereits kennengelernt haben.

An einem Beispiel sieht das dann so aus:

„Bestimme die lineare Funktion, die durch die Punkte A(1|2) und B(4|5) geht“.

f(x) = (y2 - y1) / (x2 - x1) · (x - x1) + y1

f(x) = (5 - 2) / (4 - 1) · (x - 1) + 2

f(x) = 3/3 · (x - 1) + 2

f(x) = 1 · (x - 1) + 2

f(x) = x - 1 + 2

f(x) = x + 1

Die Gleichung der linearen Funktion lautet also f(x) = x + 1.

3. Lineares Gleichungssystem

Eine weitere Möglichkeit, eine lineare Funktion aufzustellen und dabei nicht auf einer der obigen Formel zurückzugreifen, ist die Verwendung eines linearen Gleichungssystems. Dazu nehmen wir das Beispiel von oben mit den beiden Punkten A(1|2) und B(4|5). Mit dem Wissen, dass eine Geradengleichung die Form f(x) = m·x + n hat, kann man nun zwei Gleichungen aufstellen. Mit zwei Unbekannten, aber auch zwei Gleichungen, kann man die Parameter m und n bestimmen. Setzen wir den jeweiligen Punkt in f(x) = m·x + n = y ein und stellen so die beiden Gleichungen auf:

2 = m·1 + n

5 = m·4 + n

Beide Seiten nach n aufgelöst.

n = 2 - m

n = 5 - 4·m

Nun sieht man, dass n durch zwei Arten ausgedrückt werden kann. Das muss also jeweils dem Gleichen entsprechen. Nutzen wir dafür das sogenannte Gleichsetzungsverfahren und setzen, wie der Name verlangt, beide Gleichungen gleich.

n = n

2 - m = 5 - 4·m     | +4·m - 2

3·m = 3     | :3

m = 1

Den Wert für n setzen wir nun in eine der beiden oberen Gleichungen ein, um n zu bestimmen.

2 = m·1 + n     | n=1

2 = 1·1 + n

n = 2 - 1

n = 1

Es ergibt sich damit insgesamt: f(x) = 1·x + 1 = x + 1, wie wir es auch schon im Beispiel davor ermittelt hatten.

Spezialaufgaben lineare Funktionen

Beim Aufstellen von linearen Funktionen ist es von großer Bedeutung, dass man in der Lage ist, die notwendigen Informationen aus dem Text herauszuziehen. Dabei können wichtige Hinweise in Begriffen wie „parallel“ oder „senkrecht“ versteckt sein.

So mag eine Aufgabe beispielsweise lauten: „Bestimme die lineare Funktion durch den Punkt A(2|3), welche parallel zur Geraden g(x) = 2·x + 3 ist.“

Dem Betrachter dieser Aufgabe muss nun klar sein, dass „parallel“ ein anderes Wort für „haben die gleiche Steigung“ ist. Somit ist aus obigen Text die Information zu ziehen: „Die gesuchte Gerade geht durch den Punkt A(2|3) und sie hat die Steigung m = 2.“

Mit den obigen Lösungsverfahren (Punktsteigungsform bietet sich hier an) erhält man die gesuchte Gerade f(x) = 2·x - 1.

Parallele Geraden

Um ein Beispiel mit „senkrecht“ anzuführen, könnte eine Aufgabe lauten:

„Die gesuchte Gerade geht durch den Punkt A(2|3) und steht senkrecht (oder auch orthognal) auf g(x) = 2·x + 3.“

Die Steigung der gesuchten Geraden lässt sich fast direkt ablesen. Dazu muss man sich erinnern, dass für zwei senkrecht aufeinander stehende Geraden gilt: m1 · m2 = -1 (vgl. Lektion Schnittpunkte von linearen Graphen). Wir kennen nun m1 = 2, somit ist m2 = -1/2. Mit der nun vorhandenen Steigung können wir uns wiederum der Punktsteigungsformel bedienen und die gesuchte Gerade zu f(x) = -1/2 · x + 4 bestimmen.

Zueinander senkrechte Geraden

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