Wissen: Logarithmus und Logarithmengesetze

Was ist der Logarithmus?

Die Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen Potenz und Logarithmus. Der Logarithmus gibt uns stets den Exponenten der Potenz an. Merkt euch auch die neuen Bezeichnungen: Basis, Numerus und Logarithmuswert (der Exponent).

Logarithmus Bezeichnungen Begriffe
Merke: Der Logarithmus berechnet den Exponenten der Potenz.

Herleitung der Logarithmusregel \( \log_a x + \log_a y = \log_a (x·y) \)

Um die erste Logarithmusregel zu bestimmen, müssen wir uns auf die Exponenten konzentrieren. Das Nachfolgende ist auch im Video schrittweise beschrieben.

24 · 23 = 24+3 = 27

Schreiben wir die Potenzen um zu Logarithmen:

24 = 16 → log2 16 = 4
23 = 8 → log2 8 = 3
27 = 128 → log2 128 = 7

Nun die Exponenten-Betrachtung, wobei wir die Exponenten mit den Logarithmen ersetzen: 4 = log2 16 sowie 3 = log2 8 und 7 = log2 128

4      +   3   =   7
log2 16 + log2 8   = log2 128

Schließlich schreiben wir die 128 als 16·8:

log2 16 + log2 8 = log2 (16·8)

und erkennen die erste Logarithmusregel:

log2 16 + log2 8 = log2 (16 8)

Allgemein:
loga x + loga y = loga (xy)

Gleichermaßen verfahren wir mit der Subtraktion und erhalten die zweite Logarithmusregel.

Allgemein:
loga x – loga y = loga (x : y)

Herleitung der Logarithmusregel \( \log_a x^y = y · \log_a x \)

Diese Logarithmusregel ist sehr wichtig, da sie häufig verwendet wird. Sie ist auch im Video schrittweise beschrieben.

(23)4 = 23·4 = 212

212 = 4096

Schreiben wir das um zu einem Logarithmusausdruck:

log2 4096 = 12

Nun konzentrieren wir uns auf die 4096 und schreiben diese mit Zweierpotenzen:

log2 4096 = log2 (212) = log2 (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2)

Wenden wir jetzt die erste Logarithmusregel rückwärts an: loga (x y) = loga x + loga y

Damit erhalten wir:

log2 4096
= log2 (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2)
= log22 + log22 + log22 + log22 + log22 + log22 + log22 + log22 + log22 + log22 + log22 + log22
= 12 · log22

Und das ist auch schon die nächste Logarithmusregel:

log2 (212) = 12 · log22

Allgemein:
loga (xy) = y · logax

Herleitung der Logarithmusregel \( a^{\log_a x} = x \)

Diese Logarithmusregel verstehen wir schnell, wenn wir uns vor Augen führen, dass der Logarithmus uns den Exponenten angibt.

Mit Hilfe eines Beispiels demonstriert:

$$ 2^\color{blue}{3} = 8 → \log_2 8 = 3 → \color{blue}{3 = \log_2 8} \\ 2^\color{blue}{3} = 8 \\ 2^{\color{blue}{\log_2 8}} = 8 $$

Die vierte Logarithmusregel allgemein notiert:

$$ a^{\log_a x} = x $$

Herleitung der Logarithmusregel \( \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} \)

Bei den Äquivalenzumformungen hatten wir gelernt, dass eine Operation auf beiden Seiten der Gleichung den Wert der Lösung nicht verändert. Dies gilt auch, wenn wir einen Logarithmus (mit anderer Basis) auf beiden Seiten der Gleichung anwenden. Ein Beispiel:

8 = 8   | log2
log28 = log28
3 = 3

Nehmen wir uns die vierte Logarithmusregel \( a^{\log_a x} = x \) und wenden auf beiden Seiten den Logarithmus an (siehe auch Video):

$$ a^{\log_a x} = x \quad | \log_b \\ \log_b (a^{\log_a x}) = \log_b (x) $$

Jetzt nutzen wir die dritte Logarithmusregel \( \log_d(m^y) = y · \log_d(m) \) und formen entsprechend um:

$$ \log_b (a^{\color{blue}{\log_a x}}) = \log_b (x) \\ \color{blue}{\log_a x} · \log_b a = \log_b (x) $$

Als nächstes dividieren wir auf beiden Seiten durch \( \log_b a \). Es ergibt sich:

$$ \color{blue}{\log_a x} · \log_b a = \log_b (x) \quad |:\log_b a \\ \log_a x = \log_b (x) : \log_b a \\ \log_a x = \frac{ \log_b x }{ \log_b a } $$

Diese fünfte Logarithmusregel in Worten gefasst: Ein Logarithmus mit der Basis a (\( \log_a x \)) kann ausgedrückt bzw. berechnet werden mit einem anderen Logarithmus zur Basis b (also einer ganz anderen Basis).

Hierbei ist zu beachten, dass der Numerus x im Zähler steht und die Basis a im Nenner:
\( \log_\color{blue}{a} \color{red}{x} = \frac{ \log_b \color{red}{x} }{ \log_b \color{blue}{a} } \)

Beispielrechnung

\( \log_\color{blue}{a} \color{red}{x} = \frac{ \log_b \color{red}{x} }{ \log_b \color{blue}{a} } \)

Wählen wir: \( 4^3 = 64 \) und damit:

\( \log_4 64 = 3 \)

Jetzt berechnen wir den Logarithmus mit einer anderen Basis, wählen wir Basis 2:

\( \log_\color{blue}{4} \color{red}{64} = \frac{ \log_2 \color{red}{64} }{ \log_2 \color{blue}{4} } = \frac{ 6 }{ 2 } = 3 \)

Wie wir sehen, kommt die gleiche Lösung mit 3 heraus.

Logarithmengesetze in Übersicht

Nachfolgend alle Logarithmusgesetze in Übersicht:

Erstes Logarithmusgesetz log-Addition:

logax + logay = loga(x · y)

Zweites Logarithmusgesetz log-Subtraktion:

logax − logay = loga(x : y)

Drittes Logarithmusgesetz (I) - Der Numerus ist eine Potenz, wir dürfen den Exponenten herausziehen und als Faktor vor den Logarithmus schreiben:

loga(xy) = y·loga(x)

Drittes Logarithmusgesetz (II) - Der Numerus ist eine Wurzel, wir wandeln diese in eine Potenz um und verfahren wie zuvor:

$$ \log _{ a }{ \sqrt [ \color{red}{n} ]{ \color{blue}{z} } } = \log _{ a }{ { ( \color{blue}{z} }^{ \frac { 1 }{ \color{red}{n} } }) } = \frac { 1 }{ \color{red}{n} } ·\log _{ a }{ \color{blue}{z} } $$

Viertes Logarithmusgesetz - Basis hoch Logarithmus gleich Potenzwert:

alogax = x           Beispiel: 2log28 = 23 = 8

Wichtig zur Berechnung von Logarithmen: Jeder Logarithmus kann über einen anderen Logarithmus (andere Basis) ermittelt werden:

$$ \log_\color{red}{a} \color{green}{x} = \frac { \log_\color{blue}{b} \color{green}{x} }{ \log_\color{blue}{b} \color{red}{a} } $$

Hierzu findet ihr auf dem Taschenrechner die Tasten "LOG" (der log_10) oder "LN" (der log_e), wie in den Mathevideos Teil 2 und 3 dargestellt.

Außerdem solltet ihr euch diese Zusammenhänge merken:

Der Logarithmus ist null, wenn der Numerus eins ist:

loga1 = 0, denn a0 = 1

Der Logarithmus ist eins, wenn Basis und Numerus gleich sind:
logaa = 1, denn a1 = a

Abkürzung der Logarithmen: log, lg, ln, ld

Wahrscheinlich werdet ihr auch oft auf die Abkürzungen der Logarithmen treffen (im Zusammenhang mit der Basis). Die Kurzschreibweisen lauten:

Dekadischer Logarithmus (lg) (mit Basis 10) (auch "Zehnerlogarithmus")
log10n = lg n

Logarithmus Naturalis (ln) (mit Basis e, Eulersche Zahl e = 2,718281828…) (auch "natürlicher Logarithmus")
logen = ln n

Logarithmus Dualis (ld) (mit Basis 2) (auch "Zweierlogarithmus") (wird auch als "binärer Logarithmus" bezeichnet und manchmal auch mit "lb" abgekürzt)
log2n = ld n

Dekadischer Logarithmus (lg)

Der dekadische Logarithmus wird auch auch "Zehnerlogarithmus" genannt. Er hat die Basis 10 (griechisch „deka“).

log10 = lg

Beispiel:

\( \log_{\color{#00F}{10}} \color{#F00}{1000} = 3 \)

Schreibweise mit lg: \( \lg \color{#F00}{1000} = 3 \)

da \( \color{#00F}{10}^{3} = \color{#F00}{1000} \)

Logarithmus Naturalis (ln)

Der Logarithmus naturalis wird auch auch "Natürlicher Logarithmus" genannt. Er hat die Basis e (Eulersche Zahl e = 2,718281828…).

loge = ln

Beispiel:

\( \log_{\color{#00F}{e}} \color{#F00}{70} = 4,248495242… \)

Schreibweise mit ln: \( \ln \color{#F00}{70} = 4,248495242 \)

da \( \color{#00F}{e}^{4,248495242} = \color{#F00}{70} \)

Logarithmus Dualis (ld)

Der Logarithmus dualis wird auch auch "Zweierlogarithmus" genannt. Er hat die Basis 2 (lateinisch „duo“).

log2 = ld

Beispiel:

\( \log_{\color{#00F}{2}} \color{#F00}{16} = 4 \)

Schreibweise mit lb: \( \text{ld } \color{#F00}{16} = 4 \)

da \( \color{#00F}{2}^{4} = \color{#F00}{16} \)

Nicht definierter Logarithmus

Der Logarithmus ist nicht definiert, wenn der Numerus den Wert Null hat, da keine Potenz zum Wert Null führt (ohne Berücksichtigung von Null hoch Null):

loga0 = n.d., da ax0

Historisches zum Logarithmus

Der Logarithmus feierte im Jahr 2014 seinen 400. Geburtstag. Als Begründer gilt der schottische Gelehrte John Napier (1550-1617), der im Jahre 1614 das Buch "Mirifici logarithmorum canonis constructio" zusammen mit Henry Briggs (1561 - 1630) veröffentlichte. Danach verbreiteten sich Logarithmen schnell unter Mathematikern und wurden bald zu einem wichtigen Hilfsmittel in unseren Wissenschaften.

Da es nicht mehr schwierig war, unbekannte Exponenten zu ermitteln, soll Laplace 200 Jahre nach Napier gesagt haben: "... durch die Reduzierung der Arbeit haben [Logarithmen] das Leben jedes Astronomen verdoppelt."

Anwendungen des Logarithmus

Logarithmen könnt ihr bereits im Alltag entdecken, sie sind vor euren Augen: Der pH-Wert (siehe Berechnungen unten) und die Dezibel-Skala! Oder benutzt sie einfach, wenn es um eure Finanzplanung geht, wie im Video Teil 3 beim Zinseszins gezeigt.

Grundsätzlich werden Logarithmen dort verwendet, wo die Werte enorme Größen annehmen. Warum? Ganz einfach: Wenn ihr 10 hoch x in einem Koordinatensystem einzeichnet, kommt es entlang der y-Achse schnell zu Problemen, da die Werte riesig werden. Mit jedem +1 auf der x-Achse (für den Exponenten) erhöht sich der Wert enorm! 10 hoch 2 = 100, doch 10 hoch 6 = 100.000. Daher verwendet man eine logarithmische Darstellung. Anstatt 10 hoch x nutzt man also log x. Dadurch kann man bequem (wie im Beispiel) nur die 2 und die 6 auf der y-Achse abtragen.

Anwendungsbeispiel: Ph-Wert und Logarithmus

Beim ph-Wert (Abkürzung für potentia hydrogenii = (lat.) Fähigkeit des Wasserstoffs) betrachtet man Konzentrationen zwischen 0 (sauer) und 14 (alkalisch) als Maß für den Charakter einer wässrigen Lösung. Die Skala 0 bis 14 gibt Logarithmenwerte wieder, und zwar gemäß der Formel:

ph-Wert = -log10[H+]

bzw. allgemein mit: y = -log10x

Hierbei handelt es sich um extrem kleine Werte, die sich mit Hilfe des Logarithmus besser voneinander unterscheiden lassen.

Wir können die gegebene Formel wie folgt nach x (also H+) umstellen:

y = -log10x       |·(-1)
-y = log10x       | 10 hoch
10-y = 10log10x    | Regel: alogax = x
10-y = x
x = 10-y

Zum Beispiel hat Essig einen ph-Wert von 2,5, das heißt:
x = 10-y    | y=2,5
x = 10-2,5
x ≈ 0,00316227766016838 = H+

Wie wir sehen, können wir statt 0,00316227766016838 einfach ph-Wert=2,5 schreiben, was wesentlich einfacher zu lesen und zu merken ist. Wie ihr an der folgenden Tabelle seht, wird die Unterscheidung durch die ph-Werte erleichtert.

Der minimale ph-Wert ist 0, also die Konzentrationsangabe H+ = 100 = 1.
Der maximale ph-Wert ist 14, also H+ = 10-14 = 0,00000000000001.

ph-Beispielwerte:

Substanzph-Wert H+
Zitronensaft 2,4 10-2,4 ≈ 0,004
Wein 4,0 10-4,0 = 0,0001
Bier 5,0 10-5,0 = 0,00001
Milch 6,5 10-6,5 = 0,0000003
Seife 10,0 10-10,0 = 0,0000000001

Zusätzlich ist interessant zu wissen, dass unsere Wahrnehmung nicht "linear" funktioniert, vielmehr "logarithmisch". Wie beim Dezibel (Einheit für die Lautstärke): Ein Ton wird von uns nicht doppelt so laut wahrgenommen, wenn seine Lautstärke verdoppelt wird. Nein, man muss ihn um ein Vielfaches erhöhen! Gleiches gilt übrigens auch fürs Licht. Verdoppeltes Licht (also zwei Lichtquellen) erzeugen für unsere Wahrnehmung kein doppelt so helles Licht.

Anwendungsbeispiel: Große Zahlen vergleichen

Wenn ihr beispielsweise bestimmen sollt, ob 99100 größer oder kleiner ist als 10099, dann stößt euer Taschenrechner an seine Grenzen, da die Zahlen viel zu groß sind und nicht in den Speicher passen. Abhilfe schafft hier der Logarithmus, mit dem wir den Vergleich wie folgt führen können:

99100 ☐ 10099 | Logarithmus auf jeden Term anwenden
log 99100 ☐ log 10099 | Logarithmusregel Exponent nach vorne in Multiplikation
100·log 99 ☐ 99·log 100 | jetzt in den Taschenrechner eingeben (Ergebnisse gerundet)
199,56 ☐ 198 | wir erkennen, der Linksterm ist größer
199,56 > 198 | damit gilt auch:
99100 > 10099

So hilfreich kann der Logarithmus sein.

Das war eine Menge neues Wissen! Wir hoffen, ihr habt es verstanden :)

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