Wissen: Abbildung, Relation und Funktion

Autor: Dr. Volkmar Naumburger ❤️ Bedanken

Einführung Zuordnung

Eine Zuordnung (auch Abbildung) von Elementen einer Menge zu Elementen einer anderen Menge führt zu neuen Mengen von Elementen geordneter Paare. Die Zuordnungsvorschrift wird Funktion genannt.

Um eine Zuordnung deutlich zu machen, kann man sich der anschaulichen Darstellung des VENN-Diagramms bedienen (siehe Abbildung 9) oder die formale Darstellung der geordneten Paare in der Mengen-Symbolik wählen.

Bildungsregel

Elemente der Menge A = {a1, a2, a3, a4, a5, ...} werden Elementen der Menge B = {b1, b2, b3, b4, b5, ...} in einer durch die Abbildungsfunktion, auch Relation genannt, so miteinander verknüpft, dass je ein Element der ersten Menge mit einem bestimmten Element der zweiten Menge zu einem Paar zusammen gefasst wird.

Eine solche Zuordnung wäre z.B.:

\( \text{Menge C} = \{ (a_1, b_1); (a_2, b_2); (a_3, b_3); (a_4, b_4); ... \} \)

aber auch

\( \text{Menge D} = \{ (a_1, b_4); (a_2, b_3); (a_3, b_2); (a_4, b_1); ... \} \)

ist eine mögliche Zuordnung.

Dabei ist es nicht zwingend, dass alle Elemente der beteiligten Mengen miteinander verknüpft sind. Jedoch geht die Zuordnung immer von einem Element der linken Menge zu einem durch die Funktion bestimmten Elemente der rechten Menge. Grundsätzlich geht von den Elementen der linken Menge nur ein Zuordnungspfeil aus und weist auf nur ein Element der rechten Menge.

Venn-Diagramm für Zuordnung (Abbildung) Abbildung 9

Es sei erwähnt, dass die Menge, von der die Verknüpfung ausgeht,Originalmenge, und die Menge, auf die verwiesen wird, Bildmenge genannt wird.

Die in Abbildung 9 dargestellt Zuordnung ist eine eindeutige Zuordnung. Sie wird auch linkseindeutig genannt, weil zu genau jedem Element der linken Menge ein Element der rechten Menge zugeordnet wird. Eine Zuordnung zu mehreren Elementen der rechten Menge ist auch möglich, aber dann ist sie nicht mehr linkseindeutig.

Arten von Zuordnungen

Nicht jede Abbildung ist automatisch eine Funktion. So ist die Benotung einer Klassenarbeit, d.h. die Zuordnung von Zensuren (Originalmenge) zu Schülern (Bildmenge) keine Funktion. Denn es wird sicherlich mehrere Schüler geben, die die gleiche Zensur erhalten haben. Von einer Zensur müssten dann mehrere Pfeile ausgehen. Dies widerspricht der Forderung der Linkseindeutigkeit.

Beispiel:

Eine Sohn-Vater-Relation ist linkseindeutig. Da jeder Sohn nur einen Vater haben kann. Die Vater-Sohn-Relation ist hingegen nicht linkseindeutig, da ein Vater mehrere Söhne habe kann.

Aussage:

Jedem Sohn (Menge A) ist genau ein Vater (Menge B) zugeordnet.

Neben der eindeutigen Zuordnung „aus A folgt B“ wie sie Abbildung 9 zeigt, gibt es ferner die in Abbildung 10 gezeigte umkehrbar eindeutige Zuordnung, auch ein-eindeutige Zuordnung „A ist äquivalent B“ genannt. D.h. jedem Element der Originalmenge ist ein Element der Bildmenge und umgekehrt zugeordnet.

Venn-Diagramm: Umkehrbar eindeutige Zuordnung (ein-eindeutig) Abbildung 10

Beispiel:

Eine Haus-Hausnummer-Zuordnung ist ein-eindeutig. Nur eine umkehrbar eindeutige Nummerierung von Wohnhäusern ist sinnvoll.

Aussage:

Jedem Haus in der Straße (Menge A) ist eine Hausnummer (Menge B) zugeordnet.

In Abbildung 11 wird eine mehrdeutige Zuordnung gezeigt. Mehrere Elemente der Originalmenge verweisen auf ein Element der Bildmenge.

Venn-Diagramm: Mehrdeutige Zuordnung Abbildung 11

Beispiel:

Eine Einwohner-Haus-Zuordnung ist mehrdeutig. In einem Haus können mehrere Bewohner leben.

Aussage:

Jeder Einwohner des Hauses (Menge A) ist einem Haus (Menge B) zugeordnet.

Verallgemeinerung des Funktionsbegriffs

Im Bereich der Zahlen sind Funktionen von elementarer Bedeutung. Funktionen bilden Werte der unabhängigen Variablen x auf Funktionswerte y ab: x → y. Das ist gleichbedeutend mit der Aussage „Die Menge X wird auf die Menge Y abgebildet“:

\( f : X → Y \) Gl. 20

Venn-Diagramm: Funktionen Zuordnung Variablen und Funktionswerte Abbildung 12

Umgekehrt können die Funktionswerte y ihren Originalwerten x zu geordnet werden. Dies leistet die Umkehrfunktion

\( f^{-1} : Y → X \) Gl. 21

Werden mehrere Abbildungen nacheinander angewandt, kommt die Kettenregel zur Anwendung (Abbildung 13).

Venn-Diagramm: Kettenregel Abbildung 13

Die Originalmenge X wird durch die Funktion f der Menge Y und diese wiederum durch die Funktion g der Menge Z zugeordnet. Die Anwendung der Kettenregel vermeidet den Umweg über die Zwischenmenge Y, indem die Einzelfunktionen f und g zu einer neuen Funktion \( (f \circ g) \) zusammengefasst werden.

Eine Funktion f heißt injektiv, wenn verschiedene Argumente x niemals den gleichen Funktionswert y haben.

\( x_1 ≠ x_2 ⇒ f(x_1) ≠ f(x_2) \) Gl. 22

Beispiel:

Die Funktion y = x + 1 ist injektiv. Die Funktion y = x² hingegen ist nicht injektiv, da zum Beispiel (-x)² = (+x)².

Eine Funktion f heißt surjektiv, wenn zu jedem Funktionswert y (des Wertebereiches Y) wenigstens ein Wert x (des Definitionsbereiches X) existiert.

\( y = f(x), \; y ∈ Y ⇒ ∃ x ∈ X \) Gl. 23

Beispiel:

Die Funktion \( y = x + 1 \) mit \( y, x ∈ ∞ \) ist surjektiv, da es für jedes y ein zugehöriges x gibt. Die Funktion \( y = x^2 \) mit \( y, x ∈ ∞ \) ist hingegen nicht surjektiv, da es z.B. für y = 2 kein \( x ∈ ∞ \) gibt. Ebenso ist \( y, x ∈ \mathbb{R} \) nicht surjektiv, da es für y = -1 kein \( x ∈ \mathbb{R} \) gibt. Aber für \( x ∈ \mathbb{R} \) und \( y ∈ \mathbb{R}^{+} \) ist \( y = x^2 \) surjektiv!

Eine Funktion f heißt bijektiv, wenn zu jedem Wert x genau ein Funktionswert y existiert, also injektiv und surjektiv ist.

Beispiel:

Bijektive Funktion Abbildung BF

\( f: R→R \) ist f(x) nicht injektiv und nicht surjektiv, denn die Abbildung ist nicht eindeutig und es gibt nicht zu jedem y ein x.

\( f: R | x ≥ 0 → R \) ist f(x) injektiv aber nicht surjektiv, denn die Abbildung ist zwar eindeutig, aber noch immer fehlt zu jedem y das passende x.

\( f: R → R | y ≥ 1 \) ist f(x) nicht injektiv aber surjektiv, denn die Abbildung ist nicht eindeutig, aber es gibt zu jedem y mindestens ein x.

\( f: R | x ≥ 0 → R | y ≥ 1 \) ist f(x) bijektiv (injektiv und surjektiv), denn die Abbildung ist eindeutig und es gibt zu jedem y ein x.

Relationen

Eine Relation gibt Auskunft über die Beziehung zwischen Elementen von Mengen. Die am häufigsten auftretenden Relationen betreffen Beziehungen zwischen zwei Elementen, daher werden diese Relationen auch zweistellig oder binär genannt. Die Gesamtheit aller auftretenden oder möglichen Relationen ist selbst eine Menge.

Wichtige Relationen

Zu den wichtigsten mathematischen Grundstrukturen gehören "Gleichheit" und "Ordnung". Was verstehen Mathematiker darunter? Die Grundidee ist jeweils recht leicht zu vermitteln.

Ordnungsrelationen:

>, <, ≥, ≤ (größer, kleiner, größer oder gleich, kleiner oder gleich)

≺, ≻, °, ± (Vorgänger, Nachfolger, Vorgänger oder identisch, Nachfolger oder identisch)

⊂, ⊆ (echte Teilmenge, Teilmenge: die Ordnung erfolgt in Bezug auf die Mächtigkeit.

Gleichheitsrelation:

= (gleich)

Beispiele:

Mengenrelationen können sein:

a > b, b < a     (3 > –5, 2 < 6)

a = b     (4 = 6 - 2)

a ≺ b, a ° b     (3 ≺ 4, 4 ° 4)

aber auch Aussagen sind Relationen:

„Herr Müller liest Zeitung.“ ← „lesen“ ist hier die Relation zwischen Herrn Müller und der Zeitung.

„Peter ist Sohn von Paul.“ ← „Sohn sein“ ist die Beziehung zwischen Peter und Paul.

Schreibweise:

a R b alternativ wird auch (a,b) ∈ R verwendet.

Zwei Fälle sind zu unterscheiden:

R ist eine Relation zwischen den Mengen M und N. ⇔ R ⊆ M × N

R ist eine Relation in der Menge M. ⇔ R ⊆ M × N *

*) hier am Beispiel zweistelliger Relationen ausgeführt.

Weil Relationen die Beziehungen zwischen Elementen beschreiben, ist die Menge aller möglichen Relationen gleich dem kartesischen Produkt der in Relation stehenden Mengen. Da aber nicht alle Beziehungen wirklich genutzt werden, ist die Menge aller Relationen besser als Untermenge des kartesischen Produktes zu verstehen.

Beispiel:

\( M = \{1, 2, 3\}; \\ mRn = \{ (2,1), (1,3), (2,4), (3,3), (3,1), (3,2) \}; \\ m,n ∈ M \)

max. sind aber 9 Relationen möglich, da |M×M| = |M||M| = 3·3 = 9

Eigenschaften von Relationen

Die wichtigsten Eigenschaften von zweistelligen Relationen auf die gleiche Menge sind:

Reflexivität

Eine Relation ist reflexiv (rückbezogen), wenn ∀x∈M: xRx

Beispiele:

a) a = a Gleichheitsrelation gilt immer

b) Ich bin ich!

Das Gegenteil dazu ist

Irreflexivität

Eine Relation ist irreflexiv, wenn ¬∃x∈M: xRx

Beispiele:

a) ¬(a < a) Kleiner-Relation gilt nie.

b) Es gibt keinen Sohn, der sein Vater ist.

Symmetrie

Eine Relation ist symmetrisch, wenn ∀(x,y)∈M: xRy ⇒ yRx

Beispiele:

a) a = b ⇒ b = a

b) Ich bin Sohn von Paul. ⇒ Paul ist mein Vater.

Asymmetrie

Eine Relation ist asymmetrisch, wenn ¬∃(x,y)∈M: xRy ⇒ ¬yRx

Beispiele:

a) a > b ⇒ ¬(b > a)

b) Ich bin Sohn meines Vaters. ⇒ Mein Vater ist nicht mein Sohn.

Antisymmetrie

Eine Relation ist antisymmetrisch, wenn ∀(x,y)∈M: xRy ∧ yRx ⇒ x = y

Beispiel:

a ≥ b ∧ b ≥ a ⇒ a = b

Transitivität

Eine Relation ist transitiv (übertragbar), wenn ∀(x,y,z)∈M: xRy ∧ yRz ⇒ xRz

Beispiele:

a) (a > b) ∧ (b > c) ⇒ a > c

b) Paul ist Vorfahre von Peter und Peter ist Vorfahre von Ernst. ⇒ Paul ist Vorfahre von Ernst.

Äquivalenzrelationen

Äquivalenzrelationen sind reflexiv, symmetrisch und transitiv. Die in der Mathematik bedeutendste Äquivalenzrelation ist die Gleichheit (=).

Beispiel 1:

a = a   reflexiv

a = b ⇒ b = a   symmetrisch

(a = b) ∧ (b = c) ⇒ a = c   transitiv

Beispiel 2:

Die Relation „hat die gleiche Farbe wie“ angewendet auf ein Skat-Spiel ist eine Äquivalenzrelation, weil

- reflexiv: jede Karte hat die gleiche Farbe wie sie selbst

- symmetrisch: wenn eine Karte die gleiche Farbe hat wie eine andere, dann gilt diese Aussage auch umgekehrt

- transitiv: wenn eine Karte die gleiche Farbe hat wie eine zweite, diese die gleiche Farbe wie die dritte hat, dann hat die dritte Karte die gleiche Farbe wie die erste Karte.

Äquivalenzklassen

Es sei R eine Äquivalenzrelation auf einer Menge A unda ein Element von A. Dann ist die Äquivalenzklasse [a] die Menge aller Elemente x, die zu a in der Beziehung R stehen: \( [a] = \{ x ∈ A | a R x \} \)

Beispiel:

Die Äquivalenzrelation „hat die gleiche Farbe wie“ angewendet auf das Skat-Spiel hat vier Äquivalenzklassen, nämlich die vier Farben der Spielkarten.

Die Äquivalenzrelation „hat den gleichen Wert wie“ angewendet auf das Skat-Spiel hat acht Äquivalenzklassen, nämlich die Quartette der Karten 7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König, Ass.

Geordnete Mengen

Nach der Definition sind Mengen ungeordnete Zusammenfassungen von Elementen. Mit Hilfe von Relationen können die Elemente von Mengen nunmehr geordnet werden. Intuitiv ist klar, dass man die Menge von ganz bestimmten Dingen im Sinne einer zu bestimmenden Ordnungsrelation ordnen kann.

Beispiel:

Wird die Menge aller Schüler einer Klasse betrachtet, so können die Schüler der Körpergröße nach geordnet ("größer oder gleichgroß") werden. Dann ist es möglich, die Schüler dieser Klasse im Sinne der Ordnungsrelation so in einer Reihe aufzustellen, dass links der kleinste Schüler, rechts der größte Schüler steht.

In der Mathematik sind Ordnungsrelationen Verallgemeinerungen der "kleiner-gleich"-Beziehung. Sie erlauben es, Elemente einer Menge nach bestimmten Kriterien miteinander zu vergleichen.

Eine Ordnungsrelation ist formal eine zweistellige Relation auf einer Menge M mit bestimmten, unten genannten Eigenschaften.

Ist eine Menge M mit einer Ordnungsrelation R gegeben, dann nennt man das Paar (M, R) eine geordnete Menge.

Schreibweise

Statt a R b schreibt man meist (je nach Art der Ordnung)

a ≤ b oder a < b die so geordnete Menge (M, ≤) oder (M, <)

a ° b oder a ≺ b die so geordnete Menge (M, °) oder (M, ≺)

A ⊆ B oder A ⊂ B die so geordnete Menge (M, ⊆) oder (M, ⊂).

Die Ordnung wird also gemäß einer Relation, in der die Elemente der Menge zu einander stehen, vorgenommen. Allerdings führt nicht jede Relation zu einer Ordnung! So kann die Relation „ = “ nicht für die Ordnung von Mengen verwendet werden.

Kleinstes und größtes Element, minimale und maximale Elemente

Ein x∈M heißt minimales Element, wenn es kein ∀y∈M gibt, für das y ≺ x gilt.

Ein x∈M heißt kleinstes Element, wenn x ≺ y für ∀y∈M. Das kleinste Element heißt auch Infimum (untere Schranke) der Menge.

Ein minimales Element ist ein Element, das von keinem anderen untertroffen wird. Ein kleinstes Element ist eines, das jedes andere untertrifft.

Eine Menge kann nur ein kleinstes, wohl aber mehrere minimale Elemente haben. Hat eine Menge ein kleinstes Element, dann ist es auch minimal.

Analog gilt

Ein x∈M heißt maximales Element, wenn es kein ∀y∈M gibt, für das y ≻ x gilt.

Ein x∈M heißt größtes Element, wenn x ≻ y für ∀y∈M gilt. Das kleinste Element heißt auch Supremum (obere Schranke) der Menge.

Ein maximales Element ist ein Element, das von keinem anderen übertroffen wird. Ein größtes Element ist eines, das jedes andere übertrifft.

Je nach Eigenschaft(en) werden verschiedene Ordnungen unterschieden. Die wichtigsten sind:

Teilordnung (M, ≤)

Auch partielle Ordnung, Halbordnung. Achtung: manchmal einfach Ordnung genannt.

Eine endliche Menge M ist teilweise geordnet, wenn eine Relation R auf M selbst existiert, sodass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

Die Relation zwischen den Elementen muss

- reflexiv, z.B. a ≤ a für jedes Element a in M

- anti-symmetrisch, z.B. a ≤ b ∧ b ≤ a ⇒ a = b und

- transitiv, z.B. a ≤ b ∧ b ≤ c ⇒ a ≤ c

sein.

Darüber hinaus verlangt eine Teilordnung, dass jede daraus bildbare nichtleere Untermenge mindestens ein minimales Element aufweist.

Beispiel 1:

Die Vorfahrtsregelung im Straßenverkehr ist dem gemäß eine Teilordnung.

- reflexiv: ein Fahrzeug hat zu sich selbst Vorfahrt (wenn kein anderes Fahrzeug an der Kreuzung steht),

- anti-symmetrisch: wenn A Vorfahrt hat, dann hat B keine Vorfahrt (und umgekehrt),

- transitiv: wenn A Vorfahrt vor B hat und B vor C, dann hat auch A Vorfahrt vor C.

Beispiel 2:

Die Menge der nichtleeren Teilmengen (also die Potenzmenge ohne die Leermenge P(M)\{}) der Menge {0,1,2} ist bezüglich der Relation ⊆ halbgeordnet. Die minimalen Elemente sind {0}, {1} und {2}, allerdings ist keins von ihnen ein kleinstes Element, da z. B. {0} nicht größer (mächtiger) ist als {1} (denn {0} ist keine Teilmenge von {1}). Dagegen hat diese Menge ein größtes Element, {0,1,2}, denn alle anderen Elemente sind kleiner als dieses (sind Teilmengen davon); dies ist das einzige maximale Element der Menge.

Strikte Teilordnung (M, <)

In einer strikten Teilordnung ist die Gleichheit von Elementen ausgeschlossen.

Eine endliche Menge M ist strikt geordnet, wenn eine Relation R auf M selbst existiert, so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

Die Relation zwischen den Elementen muss daher

- irreflexiv, z.B. a < a gilt für kein Element a in M
- anti-symmetrisch,
- transitiv

sein.

Beide Teilordnungen können stets in einander überführt werden:

Ist (M, ≤) eine Teilordnung, dann ist die strikte Teilordnung (M, <) definiert durch:

\( x < y ⇔ x ≤ y ∧ x ≠ y \) Gl. 24

Umgekehrt ist (M, <) eine strikte Teilordnung, dann ist die Teilordnung (M, ≤) definiert durch:

\( x ≤ y ⇔ x < y ∨ x = y \) Gl. 25

Wohlfundierte Ordnung

Auch totale, vollständige, wohlbegründete oder Noethersche (nach Emmy Noether, 1882–1935) Ordnung genannt.

Eine strikte Teilordnung ist dann wohlfundiert, wenn es keine unendlich absteigende Kette gibt. Jede nichtleere Teilmenge muss ein kleinstes Element aufweisen.

Beispiel:

Die Menge der natürlichen Zahlen lassen sich mit der Relation nm ordnen. Weiterhin kann ein kleinstes oder Anfangselement (1) bestimmt werden. Gleichfalls kann für jede beliebige Untermenge aus der Menge der natürlichen Zahlen die Relation nm angewendet und ein kleinstes Element gefunden werden. So ist die Menge der natürlichen Zahlen eine wohlfundierte Menge.

Gleiches gilt aber nicht für die Menge der ganzen und reellen Zahlen - hier kann kein Anfangselement mehr angeben werden.

Grundsätzlich lässt sich jede Teilordnung oder Ordnung auf eine endliche Menge in eine vollständige Ordnung umwandeln.

Lexikografische Ordnung

Die lexikografische Ordnung ist ein Spezialfall der Noetherschen Ordnung. Sie ordnet nach

- Länge des Wortes (kürzer vor länger) und

- bei gleichlangen Worten nach Buchstabenstellung (a vor b etc.).

In diesem Sinne ist die Ordnung in einem Lexikon nur teilweise lexikografisch.

Beispiel:

Die Worte Aal und Zoo sind lexikografisch gesehen näher als Aalsuppe und Aal.

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