Wissen: Beweisverfahren

Autor: Dr. Volkmar Naumburger ❤️ Bedanken

Einführung Beweisverfahren

Die Realität der Mathematik besteht nicht in der materiellen (physikalischen) Wirklichkeit, sondern in der Widerspruchsfreiheit ihrer Aussagen. In der Physik erweist sich das Experiment als das Richtschwert für jegliche Theorie, in der Mathematik ist es der Beweis, der diese Rolle zu übernehmen hat.

Ein Beweis ist in der Mathematik das Zurückführen eines behaupteten Sachverhaltes (SATZ) auf die AXIOME des Systems, wobei nur Folgerungen entsprechend der Logik erlaubt sind.

Eine Beweiskette setzt sich zusammen aus: Voraussetzung → Behauptung → Beweis

Beispiel:

Voraussetzung: Grundrechenarten, Quadratische Ergänzung und Wurzeln

Behauptung: 4 = 5

Beweis:

x = 4, y = 5

\( \begin{align} x + y = 9 \quad & | \text{ Erweitern mit (x – y) } \\ x^2 - y^2 = 9·(x - y) \quad & | \text{ nach Variablen ordnen } \\ x^2 - 9x = y^2 - 9y \quad & | \text{ quadratische Ergänzung + } \frac{81}{4} \\ x^2 - 9x + \frac{81}{4} = y^2 - 9y + \frac{81}{4} \quad & | \text{ 2. Binomische Formel } \\ (x - \frac{9}{2})^2 = (y - \frac{9}{2})^2 \quad & | \text{ Wurzel ziehen } \\ \underline{ x = y } \end{align} \)

also ist 4 = 5 (!!!) q.e.d.

Natürlich ist 4 nicht gleich 5. Neben Verfahrensfehlern (i.e. die Wurzel hat immer zwei Lösungen, wovon hier nur eine betrachtet wurde!), verstößt die Behauptung schon gegen ein Axiom der Mathematik, nämlich dass bei zwei aufeinander folgende (natürliche) Zahlen die eine Zahl stets kleiner (und nicht gleich) als die folgende Zahl ist.

Direkter Beweis

Das Prinzip des direkten Beweises beruht auf der logischen Folgerung von bereits bewiesenen Sätzen auf eine neue Behauptung.

Der direkte Beweis beruht auf der Schlussfolgerung:

Wenn A wahr ist, muss auch B wahr sein!

A ⇒ B   („A impliziert B“)

Beispiel:

Voraussetzung: Es werden nur Zahlen x ∈ ∞ betrachtet.

Behauptung: Quadrate von geraden Zahlen sind selbst gerade!
x gerade ⇒ x² gerade

direkter Beweis: x = 2x‘ (unbedingt gerade) → x = 4(x‘)² auch gerade

Zu jedem geraden x gehört ein gerades Quadrat!

q.e.d.

Indirekter Beweis

Oft ist es unmöglich, einen allgemein gültigen direkten Beweis anzutreten, in solchen Fällen ist es einfacher zu beweisen, dass das Gegenteil der zu beweisenden Behauptung zu einem Widerspruch führt.

Der indirekte Beweis ist ein Beweis durch das Gegenteil:

Wenn A nicht wahr ist, kann auch B nicht wahr sein!

¬A ⇒ ¬B („¬A impliziert ¬B“)

Beispiel 1:

Während seines dreijährigen Hausarrests befasste sich Galileo Galilei (1564 - 1642) mit den Gesetzmäßigkeiten des freien Falls. Dabei musste er sich mit der verbreiteten Ansicht auseinander setzen, dass schwere Körper schneller als langsame fallen würden. Diese Ansicht zu widerlegen gebrauchte Galilei einen indirekten Beweis:

Angenommen, ein schwerer Stein fällt schneller als ein leichter, dann ergibt sich ein Widerspruch durch folgende Überlegung. Man stelle sich vor, ein schwerer Stein wird in zwei Teile zerbrochen. Beide Teile sind zwangsläufig leichter als der ganze Stein und beide müssten folglich auch langsamer fallen als dieser. Nun werden beide Teile aneinander gefügt und fallen gelassen. Jeder Teil für sich fällt laut Voraussetzung langsamer als der ungeteilte Stein, also muss der zusammengefügte Stein langsamer fallen als der ungeteilte Stein. Da dem aber nicht so ist, liegt ein Widerspruch vor, die obige Annahme ist also nicht richtig.

Beispiel 2:

Voraussetzung: Es werden nur Zahlenpaare x∈∞, x²∈∞ betrachtet.

Behauptung: Wurzeln gerader Quadrate sind stets selbst gerade.
x² gerade ⇒ x gerade

indirekter Beweis:

Es sei x = 2x‘ + 1 (unbedingt ungerade)

→ x² = 4(x‘)² + 4x‘ + 1 kann nicht gerade sein. Es gibt also kein ungerades x, das zu einem geraden Quadrat führt! Folglich sind die Quadrate gerader Zahlen wiederum gerade Zahlen.

q.e.d.

Beispiel 3:

Es ist zu beweisen, dass die Quadratwurzel aus 2 nicht durch eine Rationale*) Zahl darstellbar ist.

Voraussetzung: p, q seien teilerfremde natürliche Zahlen

Behauptung: \( \sqrt 2 = \frac{p}{q} \quad \Rightarrow \quad 2 · {q^2} = {p^2} \)

Beweis:

Aus der Behauptung folgt, dass p² eine gerade Zahl sein muss. Wenn aber p² gerade ist, muss auch p gerade sein (wurde bereits im obigen Beispiel bewiesen). Also:

\( p = 2 \cdot p' \quad \text{p ist immer gerade!} \quad \Rightarrow \quad 2 \cdot {q^2} = 4 \cdot {(p')^2} \)

\({q^2} = 2 \cdot {(p')^2}\) ⇒ q² muss also auch gerade sein.

Damit sind p und q nicht teilerfremd, da ja durch 2 teilbar. Das steht in einem Widerspruch zur Voraussetzung.

Folglich kann die Quadratwurzel aus 2 nicht durch Rationale Zahlen abgebildet werden.

q.e.d.

*) Eine Rationale (gebrochene) Zahl kann stets als Quotient aus zwei Ganzen Zahlen dargestellt werden.

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