Wissen: Komplexe Zahlen

Autor: Dr. Volkmar Naumburger ❤️ Bedanken

Einführung Komplexe Zahlen ℂ

Der Körper der Reellen Zahlen ist nicht in sich abgeschlossen. Denn die mathematischen Operation des Radizierens liefert u.U. Zahlen, die nicht in der Menge der Reellen Zahlen enthalten sind. Die Einführung Komplexer Zahlen ist somit eine logische Konsequenz aus der Forderung, die der Fundamentalsatz der Algebra stellt: nämlich, dass jedes Polynom N-ten Grades auch N Nullstellen haben muss. Wie bekannt ist, gibt es Polynome, die nicht nur reelle Nullstellen aufweisen, sondern auf ein Problem der Art \( {x_{1,2} } = a \pm b \cdot \sqrt { - 1} \) führen. Die Lösung für den negativen Wurzelausdruck führt auf die Definition der Imaginären Zahlen und deren Kombination mit einer Reellen Zahl auf die der Komplexen Zahlen.

Definition und Eigenschaften

Wurzeln aus negativen Zahlen führen nicht zu einem reellen Ergebnis, da es keine Reelle negative Zahl gibt, die mit sich selbst multipliziert ein negatives Produkt liefert. Dieses Defizit ist nur durch eine Erweiterung des Reellen Zahlenraumes um den Raum der Imaginären Zahlen zu beseitigen. Es wird definiert:

\( \sqrt{-1} = i \) Gl. 28

Mit der imaginären Einheit i*) können nunmehr Wurzeln aus negativen Zahlen gezogen werden. Das Ergebnis ist eine imaginäre Zahl.

Beispiel

\( \sqrt { - 9} = \sqrt { - 1} \cdot \sqrt 9 = i \cdot 3 \)

Unter Verwendung Reeller und Imaginärer Zahlen werden die komplexen Zahlen definiert

\( \underline{z} = x + iy \) Gl. 29

*) In anderen Fachbereichen, z.B. der Elektrotechnik, wird das Symbol j als Kennzeichnung der imaginäre Einheit verwendet.

Die komplexe Zahl z besteht aus der Summe eines Realteils \( x = \Re e(\underline{z}) \) und eines Imaginärteils \( iy = i \Im m(\underline{z}) \)

Zwei komplexe Zahlen sind nur dann einander gleich, wenn ihre Real- und Imaginärteile einander gleich sind.

\( \begin{align} \underline{z_1} = \underline{z_2} \quad ⇒ \quad & \Re e( \underline{z_1} ) = \Re e( \underline{z_2} ) \\ & \Im m( \underline{z_1} ) = \Im m( \underline{z_2} ) \end{align} \)

Bei mathematischen Operationen werden Real- und Imaginärteil stets getrennt behandelt. Es gelten dann die selben Regeln wie für das Rechnen mit reellen Zahlen.

Werden Nullstellen von Polynomen ermittelt, treten diese unter bestimmten Umständen als komplexe Zahlen auf. Dann aber treten sie stets paarweise konjugiert komplex z, z* auf:

\( \underline z = x \pm iy; \qquad \underline z * = x \mp iy; \) Gl. 30

Konjugiert komplexe Zahlen sind betragsgleich und unterscheiden sich nur im Vorzeichen ihrer Imaginärteile.

Der bekannte Wurzelsatz von Vieta (eigentlich Francois Viete, 1540 – 1603) liefert für quadratische Polynome

\( {x^2} + px + q = 0 \) Gl. 31

stets zwei Werte für die Nullstellen (oder Wurzeln wie man auch sagt):

\( {x_{1,2} } = - \frac{p}{2} \pm \sqrt { { {\left( {\frac{p}{2} } \right)}^2} - q} \) wenn \( q > \left(\frac{p}{2}\right)^2 \) Gl. 32

ist das Ergebnis nicht real

\( {x_{1,2} } = - \frac{p}{2} \pm \sqrt { - 1} \cdot \sqrt {q - { {\left( {\frac{p}{2} } \right)}^2} } = - \frac{p}{2} \pm i \cdot \sqrt {q - { {\left( {\frac{p}{2} } \right)}^2} } \) Gl. 33

sondern konjugiert komplex!

Beispiel

Gesucht sind die Nullstellen des Polynoms

\({x^2} + 2x + 5 = 0\)

Wurzelsatz von Vieta:

\({x_{1,2} } = - \frac{2}{2} \pm \sqrt { {1^2} - 5} \)

\({x_{1,2} } = - 1 \pm i \cdot \sqrt {5 - 1} = - 1 \pm i \cdot 2\)

Etwas Geschichte

Die Gelehrten Johann BERNOULLI (1667-1748)und Gottfried Wilhelm LEIBNIZ (1646 - 1716) führten eine kontroverse Korrespondenz über den Wert des Logarithmus von negativen und imaginären Zahlen. Während Bernoulli verkürzt behauptete, dass log(-1) = 0 sei, weil u.a. 2·log(-1) = log(-1)² = log(+1) = 0 ist.

Hingegen vertrat Leibnitz die Ansicht, dass der Logarithmus von –1 imaginär sei, weil es keinen reellen Exponenten gibt, der zur Potenz einer beliebigen Basis erhoben, ein negatives Resultat haben kann. Beide Ansichten waren anfechtbar und führten zu der erwähnten Kontroverse.

Diesen Streit konnte Leonhard EULER (1707-1783) mit der konsequenten Anwendung der komplexen Zahlen entscheiden.

Gaussche Zahlenebene

Die Gaussche Zahlenebene wird durch ein Kartesisches Koordinatensystem aufgespannt, bei dem die x-Achse die Realteile und die y-Achse die Imaginärteile komplexer Zahlen repräsentieren. So werden komplexe Zahlen als Punkte entsprechend der Größe ihrer Real- bzw. Imaginärteile aufgetragen (Abbildung 16).

Abbildung 16
Gaussche Zahlenebene (Koordinatensystem)
Abbildung 16: Gaussche Zahlenebene (Koordinatensystem)

Aus der Darstellung in kartesischen Koordinaten kann eine dazu alternative Darstellung in Polarkoordinaten abgeleitet werden:

\( \left| {\underline z } \right| = \sqrt { {x^2} + {y^2} } \quad \text{ und } \quad \phi = \arg \left( {\underline z } \right) = \arctan \frac{y}{x} \) Gl. 34

damit ist eine komplexe Zahl alternativ durch

\( \underline z = x + iy = \left| {\underline z } \right| \cdot \left( {\cos \left( \phi \right) + i \cdot \sin \left( \phi \right)} \right) \) Gl. 35

darstellbar.

Anmerkung:
Die Winkelfunktion arctan ist eine zyklische Funktion. Jedem Funktionswert sind unendlich viele weitere Werte, die sich alle durch die Summanden ±2nπi vom Grundwert unterscheiden, zugeordnet.

Es ist also äquivalent, anstelle der Komponenten \( \Im m(\underline{z}) \) und \( \Re e(\underline{z}) \), den Betrag |z| und den Winkel φ anzugeben. Verkürzt wird eine komplexe Zahl in der sog. VERSOR-Schreibweise wie folgt dargestellt:

\( \underline z = r\angle \phi \) Gl. 36

Wobei r den Betrag der komplexen Zahl z darstellt.

Potenzen der imaginären Einheit i

Unter Verwendung der Definitionsgleichung (Gl. 28) der imaginären Einheit i können die verschiedenen Potenzen von i bestimmt werden:

\( {i^0} = 1 \\ {i^1} = \left( {\sqrt[2]{ { - 1} } } \right) = i \\ {i^2} = {\left( {\sqrt[2]{ { - 1} } } \right)^2} = - 1 \\ {i^3} = {\left( {\sqrt[2]{ { - 1} } } \right)^3} = {\left( {\sqrt[2]{ { - 1} } } \right)^2} \cdot {\left( {\sqrt[2]{ { - 1} } } \right)^1} = - 1 \cdot i \\ {i^4} = {\left( {\sqrt[2]{ { - 1} } } \right)^4} = {\left( {\sqrt[2]{ { - 1} } } \right)^2} \cdot {\left( {\sqrt[2]{ { - 1} } } \right)^2} = - 1 \cdot \left( { - 1} \right) = 1 \\ {i^5} = {\left( {\sqrt[2]{ { - 1} } } \right)^5} = {\left( {\sqrt[2]{ { - 1} } } \right)^2} \cdot {\left( {\sqrt[2]{ { - 1} } } \right)^2} \cdot \left( {\sqrt[2]{ { - 1} } } \right) = 1 \cdot i \) Gl. 37

und so weiter. In der Gauss’schen Zahlenebene sieht das so aus:

Abbildung 17
Potenzen der imaginären Einheit i in Gauss’schen Zahlenebene
Abbildung 17: Potenzen der imaginären Einheit i in Gauss’schen Zahlenebene

Die Eulersche Formel

Einen direkten Zusammenhang zwischen Kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten stellt die Eulerschen Formel her. Sie besagt, dass eine Exponentialfunktion ex mit imaginären Exponenten als komplexe Summe von Winkelfunktionen nach folgender Gleichung ausgedrückt werden kann:

\( {e^{i\phi } } = \cos \left( \phi \right) + i \cdot \sin \left( \phi \right) \) Gl. 38

daher

\( \underline z = x + iy = \left| {\underline z } \right| \cdot \left( {\cos \left( \phi \right) + i \cdot \sin \left( \phi \right)} \right) = \left| {\underline z } \right| \cdot {e^{i \cdot \phi } } \) Gl. 39

Beachte!

Die Winkelfunktionen (cos, sin, tan, cot) sind zyklische Funktionen. D.h. ausgehend von einem beliebigen Winkel zuzüglich ganzzahliger Vielfacher von π ergibt sich stets der gleiche Funktionswert. Diese Vielfachheit ist stets bei den Argumenten der Winkelfunktionen zu berücksichtigen.

\( \arg \left( {\underline z } \right) = \phi + m \cdot 2\pi ; \quad m \in Z \) Gl. 40

Meist wird vereinfachend mit dem Hauptwert m=0 gerechnet. Diese Einschränkung ist aber nicht immer richtig, wie die zwei folgenden Anwendungen zeigen.

Rechnen mit komplexen Zahlen

Grundrechenarten

Das Rechnen mit komplexen Zahlen gleicht in vielem der Vektorrechnung. Dabei bietet die Vielfalt der verschiedenen Darstellungsformen komplexer Zahlen genügend Raum zur Optimierung der Rechenoperation. So werden Addition und Subtraktion in der Summendarstellung, Multipikation und Division sowie weitere höre Operationen eher in der Potenzdarstellung ausgeführt.

Addition und Subtraktion:

\( \begin{array}{l} \underline { z_1 } \pm \underline { {z_2} } & = \Re e\left( {\underline { {z_1} } } \right) \pm \Re e\left( {\underline { {z_2} } } \right) + i · \left( {\Im m\left( {\underline { {z_1} } } \right) \pm \Im m\left( {\underline { {z_2} } } \right)} \right) \\ & = {x_1} \pm {x_2}\, + \,i \cdot \left( { {y_1} \pm {y_2} } \right) \end{array} \) Gl. 41

Realteil und Imaginärteil werden getrennt addiert/subtrahiert.

Multiplikation:

a) mit einer Konstanten

\( a \cdot \underline z = a \cdot x + i \cdot a \cdot y \)   (gleiches gilt für Division durch eine Konstante) Gl. 42

b) mit einer komplexen Zahl

\( \underline { {z_1} } \cdot \underline { {z_2} } = {x_1} \cdot {x_2} - {y_1} \cdot {y_2} + i \cdot \left( { {x_1} \cdot {y_2} + {x_2} \cdot {y_1} } \right) \) Gl. 43

c) Sonderfall: Multiplikation mit der konjugiert komplexen selbst liefert den Betrag der komplexen Zahl

\( \underline z \cdot {\underline z ^ * } = {x^2} + {y^2} + i \cdot \left( {x \cdot y - x \cdot y} \right) = {x^2} + {y^2} = {\left| {\underline z } \right|^2} \) Gl. 44

Division:

Durch eine komplexe Zahl

\( \frac{ {\underline { {z_1} } } }{ {\underline { {z_2} } } } = \frac{ { {x_1} + i \cdot {y_1} } }{ { {x_2} + i \cdot {y_2} } } \) Gl. 45

Erweitern mit dem konjugiert komplexen Nenner und getrenntes Multiplizieren von Zähler und Nenner:

\( \frac{ {\underline { {z_1} } } }{ {\underline { {z_2} } } } = \frac{ { {x_1} + i \cdot {y_1} } }{ { {x_2} + i \cdot {y_2} } } \cdot \frac{ { {x_2} - i \cdot {y_2} } }{ { {x_2} - i \cdot {y_2} } } = \frac{ { {x_1} \cdot {x_2} + {y_1} \cdot {y_2} + i \cdot \left( { - {x_1} \cdot {y_2} + {x_2} \cdot {y_1} } \right)} }{ { {x_2}^2 + {y_2}^2} } \) Gl. 46

Es gelten das Kommutativ-, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz:

Kommutativgesetz:
a + b = b + a
a · b = b · a

Assoziativgesetz:
(a + b)+ c = a + (b + c)
(a · bc = a · (b · c)

Distributivgesetz:
a ·(b + c) = a·b + a·c

Radizieren komplexer Zahlen

Um eine beliebige Wurzel aus einer komplexen Zahl zu ziehen, wird auf die Darstellung komplexer Zahlen in der Eulerschen Form zurück gegriffen. Wenn:

\( \underline z = \left| {\underline z } \right| \cdot {e^{i \cdot \left( {\phi + m \cdot 2\pi } \right)} }; \quad m \in Z \) Gl. 47

Dann ist

\( \sqrt[n]{ {\underline z } } = \sqrt[n]{ {\left| {\underline z } \right|} } \cdot \sqrt[n]{ { {e^{i \cdot (\phi + m \cdot 2\pi )} } } } = \sqrt[n]{ {\left| {\underline z } \right|} } \cdot {e^{i \cdot \frac{ {\left( {\phi + m \cdot 2\pi } \right)} }{n} } } = \sqrt[n]{ {\left| {\underline z } \right|} } \cdot {e^{i \cdot \left( {\frac{\phi }{n} + 2\pi \cdot \frac{m}{n} } \right)} } \) Gl. 48

Potenzieren und Radizieren:

Unter Anwendung von Gl. 39 gilt für beliebige Exponenten n∈ℝ

\( {\left( {\underline z } \right)^n} = {\left( {x + iy} \right)^n} = {\left| {\underline z } \right|^n} \cdot {e^{i \cdot n \cdot \phi } } = {\left| {\underline z } \right|^n} \cdot \left( {\cos \left( {n \cdot \phi } \right) + i \cdot \sin \left( {n \cdot \phi } \right)} \right) \) Gl. 49

Dieser Satz ist auch als Moivresche Satz (Abraham MOIVRE, 1667-1754) bekannt.

Wie bekannt, gibt es für eine n-te Wurzel auch n Werte (Fundamentalsatz der Algebra), dies kommt hier durch die verschiedenen Argumente zum Ausdruck.

Beispiel:

Gesucht ist die dritte Wurzel aus 8.

\( \underline z = 8 \cdot {e^{i \cdot \left( {0 + m \cdot 2\pi } \right)} }; \quad m \in Z \)

Radizieren ergibt:

\( \sqrt[3]{ {\underline z } } = 2 \cdot {e^{i \cdot \frac{ {\left( {0 + m \cdot 2\pi } \right)} }{3} } }; \quad m \in Z\)

damit ergeben sich drei Wurzeln:

\(\begin{array}{l} 1. & 2 \cdot \left( {\cos \left( {0 \cdot \frac{2}{3}\pi } \right) + i \cdot \sin \left( {0 \cdot \frac{2}{3}\pi } \right)} \right) = 2 \\ 2. & 2 \cdot \left( {\cos \left( {1 \cdot \frac{2}{3}\pi } \right) + i \cdot \sin \left( {1 \cdot \frac{2}{3}\pi } \right)} \right) = - 1 + i \cdot {\rm{1} }{\rm{,7321} } \\ 3. & 2 \cdot \left( {\cos \left( {2 \cdot \frac{2}{3}\pi } \right) + i \cdot \sin \left( {2 \cdot \frac{2}{3}\pi } \right)} \right) = - 1 - i \cdot {\rm{1} }{\rm{,7321} } \end{array}\)

alle weiteren Vielfachheiten sind identisch mit den drei genannten Werten!

Ergebnis komplexe Zahl im Koordinatensystem

Logarithmieren komplexer Zahlen

Mit

\( \underline z = \left| {\underline z } \right| \cdot {e^{i \cdot \left( {\phi + m \cdot 2\pi } \right)} }; \quad m \in Z \) Gl. 50

konnte Leonard EULER leicht nachweisen, dass

\( \ln \left( {\underline z } \right) = \ln \left( {\left| {\underline z } \right|} \right) + i \cdot (\phi \pm 2m\pi ) \) Gl. 51

So konnte EULER die oben angeführte Kontroverse klären. In der Auseinandersetzung der Herren Bernoulli und Leibniz sind die folgenden Fälle von Interesse:

\( \begin{array}{l} (1) \quad \underline{z} = 1 & \quad \Rightarrow \quad 1 · e^{ i(0, \pm 2π, \pm 4π, ...) } \\ (2) \quad \underline{z} = -1 & \quad \Rightarrow \quad 1 · e^{ i(0, \pm 3π, \pm 5π, ...) } \\ (3) \quad \underline{z} = \pm 1 & \quad \Rightarrow \quad 1 · e^{ i(\pm \frac{1}{2}π, \pm \frac{3}{2}π, \pm \frac{5}{2}π, ...) } \end{array} \)

Logarithmieren nach Gl. 51 ergibt:

\( \begin{array}{l} (1) \quad \log(1) & = i·(0, ±2π, ±4π, ...) \\ (2) \quad \log(-1) & = i·(p, ±3π, ±5π, ...) \\ (3) \quad \log(±i) & = i·( ±\frac{1}{2}π, ±\frac{3}{2}π, ±\frac{5}{2}π, ...) \end{array} \)

womit widerspruchsfrei das Wesen des Logarithmus sowohl für negative als auch für imaginäre Zahlen geklärt worden ist.

Für beliebige Logarithmen gilt:

\( \log \left( {\underline z } \right) = \log \left( {\left| {\underline z } \right|} \right) + i \cdot (\phi \pm m \cdot 2\pi ) \cdot \log (e); \quad m \in Z \) Gl. 52

Zusammenhang von Winkelfunktionen und Hyperbolikusfunktionen

Unter Zuhilfenahme der Eulerschen Formel kann ebenfalls geklärt werden, welche übergreifende Bedeutung dem sinh und cosh für imaginäre Argumente zukommt.

Mit

\( \sinh x = \frac{1}{2}\left( { {e^x} - {e^{ - x} } } \right); \quad \cosh x = \frac{1}{2}\left( { {e^x} + {e^{ - x} } } \right) \) Gl. 53

und einem imaginären Argument x = iφ ergibt sich unter Anwendung von Gl. 38

\( \sinh \left( {i\phi } \right) = \frac{1}{2}\left( { {e^{i\phi } } - {e^{ - i\phi } } } \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos \phi + i \cdot \sin \phi - \left( {\cos \phi - i \cdot \sin \phi } \right)} \right] = \frac{2}{2} \cdot i \cdot \sin \phi \) Gl. 54

folglich ist

\( \sinh \left( {i\phi } \right) = i \cdot \sin \phi \) Gl. 55

und

\( \cosh \left( {i\phi } \right) = \frac{1}{2}\left( { {e^{i\phi } } + {e^{ - i\phi } } } \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos \phi + i \cdot \sin \phi + \left( {\cos \phi - i \cdot \sin \phi } \right)} \right] = \frac{2}{2} \cdot \cos \phi \) Gl. 56

folglich ist

\( \cosh \left( {i\phi } \right) = \cos \phi \) Gl. 57

Anwendungen

Die Zuhilfenahme komplexer Zahlen und der für diese geltenden Rechenregeln kann zu deutlichen Vereinfachungen bei der Lösung mathematischer und physikalischer Probleme führen. Insbesondere trägt dazu die geometrische Interpretation der komplexen Zahlen bei (Gl. 39, Abbildung 16).

Beispiel 1

Die Summe oder Differenz zweier Winkel kann über die Multiplikation zweier komplexer Zahlen z1 , z2 mit dem Betrag |z1 |, |z2| = 1 ausgedrückt werden

\({\underline z _1} · {\underline z _2} = 1 · {e^{i · {\phi _1} } } · 1 \cdot {e^{ \pm i · {\phi_2} } } = {e^{i · ({\phi _1} \pm {\phi _2})} }\) Gl. 58

So kann die Herleitung der Additionstheoreme für Trigonometrische Funktionen basierend auf der Anwendung von Gl. 39 erfolgen:

\( \begin{array}{ll} \underline{z_1} · \underline{z_2} = {e^{i · ({\phi _1} \pm {\phi _2})} } = & \left( {\cos \left( { {\phi _1} \pm {\phi _2} } \right) + i · \sin \left( { {\phi _1} \pm {\phi _2} } \right)} \right) \\ & = \left( {\cos \left( { {\phi _1} } \right) + i · \sin \left( { {\phi_1} } \right)} \right) · \left( {\cos \left( { {\phi _2} } \right) \pm i · \sin \left( { {\phi _2} } \right)} \right) \end{array} \) Gl. 59

Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich (d.h. Sortieren nach Real- und Imaginärteil):

\( \cos \left( { {\phi _1} \pm {\phi _2} } \right)\,\, = \cos \left( { {\phi _1} } \right) \cdot \cos \left( { {\phi _2} } \right)\, \mp \,\sin \left( { {\phi _1} } \right) \cdot \sin \left( { {\phi _2} } \right) \) Gl. 60

\( \,\sin \left( { {\phi _1} \pm {\phi _2} } \right)\, = \cos \left( { {\phi _1} } \right) \cdot \sin \left( { {\phi _2} } \right) \pm \sin \left( { {\phi _1} } \right) \cdot \cos \left( { {\phi _2} } \right) \) Gl. 61

Beispiel 2

Ähnlich gelagert ist eine grafische Aufgabenstellung. Ein Objekt soll um einen bestimmten Winkel Δφ gedreht werden.

Abbildung 18
Drehung eines Punktes im Koordinatensystem
Abbildung 18: Drehung eines Punktes im Koordinatensystem

Der Punkt P1 wird dann durch die komplexe Zahl z1 dargestellt. Die Rotation hingegen durch eine weitere komplexe Zahl, einen Rotator \( {\underline z _R} = 1 \cdot {e^{ \pm i \cdot \Delta \phi } } \).

Die Transformation kann dann durch eine einfache Multiplikation ausgeführt werden:

\( \begin{array}{l} \underline{z_1} · \underline{z_R} & = \left( { {x_1} + i · {y_1} } \right) · {e^{ \pm i · \Delta \phi } } \\ & = \left( { {x_1} + i · {y_1} } \right) · \left( {\cos \left( {\Delta \phi } \right) \pm \sin \left( {\Delta \phi } \right)} \right) \end{array} \) Gl. 62

ausmultiplizieren

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( { {x_1}\cos \left( {\Delta \phi } \right) \mp {y_1}\sin \left( {\Delta \phi } \right)} \right) + i\left( { \pm {x_1}\sin \left( {\Delta \phi } \right) + {y_1}\cos \left( {\Delta \phi } \right)} \right)\)

Sortieren nach Real- und Imaginärteil ergibt die neuen Koordinaten des rotierten Punktes:

\( \Re e: \quad {x_2} = {x_1} \cdot \cos \left( {\Delta \phi } \right) \mp {y_1} \cdot \sin \left( {\Delta \phi } \right) \) Gl. 63

\( \Im m: \quad \,{y_2} = \pm {x_1} \cdot \sin \left( {\Delta \phi } \right) + {y_1} \cdot \cos \left({\Delta \phi } \right) \) Gl. 64

Beispiel 3:

Es sei die Normale zu einer gegebenen Geraden im Punkt P1(x1,y1) zu ermitteln.

Die Geradengleichung einer beliebigen Geraden durch den Punkt P1 lautet:

\( y - {y_1} = m\left( {x - {x_1} } \right) \) Gl. 65

Darin bedeutet m die Steigung der Geraden und entspricht dem Tangens des Winkels der von der Geraden und der x-Achse eingeschlossen wird.

\( m = \tan \alpha \) Gl. 66

Normale zu einer Geraden ermitteln

Die Normale ist ebenfalls eine Gerade, die die gegebene Gerade in P1 im rechten Winkel schneidet. Es ist also

\( m_\bot = \tan \left( {\alpha + \frac{π}{2} } \right) \) Gl. 67

gesucht.

Unter Anwendung der Euler’schen Beziehung ist nun

\( \tan \phi = \frac{ {\sin \phi } }{ {\cos \phi } } = \frac{ {\Im m\left( { {e^{i\phi } } } \right)} }{ {\Re e\left({ {e^{i\phi } } } \right)} } \)

Angewandt auf Gl. 67

\( m_\bot = \tan \left( {\alpha + \frac{π}{2} } \right) = \frac{ {\Im m\left( { {e^{i\left( {\alpha + \frac{π}{2} } \right)} } } \right)} } { {\Re e\left( { {e^{i\left( {\alpha + \frac{π}{2} } \right)} } } \right)} } = \frac{ {\Im m\left( {\left( {\cos \alpha + i\sin \alpha } \right)\left( {\cos \frac{π}{2} + i\sin {\frac{π}{2} } } \right)} \right)} } { {\Re e\left( {\left( {\cos \alpha + i\sin \alpha } \right)\left( {\cos \frac{π}{2} + i\sin {\frac{π}{2}} } \right)} \right)} } \) Gl. 68

\( m_\bot = \frac{ {\Im m\left( {\left( {\cos \alpha + i\sin \alpha } \right)\left( {0 + i \cdot 1} \right)} \right)} }{ {\Re e\left( {\left( {\cos \alpha + i\sin \alpha } \right)\left( {0 + i \cdot 1} \right)} \right)} } = \frac{ {\Im m\left( {i\cos \alpha - \sin \alpha } \right)} }{ {\Re e\left( {i\cos \alpha - \sin \alpha } \right)} } = - \frac{ {\cos \alpha } }{ {\sin \alpha } } = -\frac{1}{m} \) Gl. 69

Damit lautet die gesuchte Normalengleichung:

\( y - {y_1} = - \frac{1}{m}\left( {x - {x_1} } \right) \) Gl. 70

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