Wissen: Operationen mit Mengen

Autor: Dr. Volkmar Naumburger ❤️ Bedanken

Mengenoperationen führen stets zur Bildung neuer Mengen. Dabei steht die Zusammenfassung der Elemente der Ausgangsmengen nach neuen Gesichtspunkten (Eigenschaften) im Vordergrund.

Grundmenge, Teilmenge, Ergänzungsmenge, Negation

Teilmenge und Ergänzungsmenge, auch Komplementärmenge genannt, sind stets komplementär zueinander. Sie sind das Gegenteil oder die Negation des jeweiligen Anderen.

Grundmenge, Teilmenge, Ergänzungsmenge Abbildung 2

Schreibweise:

\(T \subset M\)

Lies: „T ist Teilmenge von M“

Definitionsgemäß ist die Ergänzungs- oder Differenzmenge E auch eine Teilmenge von M:

\(E \subset M\)

Gebildet wird die Ergänzungsmenge durch das Komplement oder die Negation der Teilmenge T:

\(T \subset \overline E \)

Alternativ zur Schreibweise als Komplement ist auch die Schreibweise als Negation korrekt:

\( \overline E = {\sim} E \)

Beispiel

Die Grundmenge bestehe aus den Zahlen 1 bis 10. Dann ist die Teilmenge der geraden Zahlen G = {2, 4, 6, 8, 10}. Die Ergänzungsmenge dazu sind die ungeraden Zahlen U = {1, 3, 5, 7, 9} = /G.

Beispiel Teilmengen

Bisweilen wird die Differenzmenge (oder Ergänzungsmenge) auch wörtlich genommen, dann bedeutet dies, dass die Grundmenge um eine andere Menge vermindert wird, der Rest ist dann die Differenzmenge. Dies deutlich zu machen wird das Symbol \ verwendet.

\( D = M \backslash T \)

Lies: „M ohne T.“

Disjunkte Mengen

Mengen, die keine Gemeinsamkeiten besitzen, werden disjunkt genannt.

Disjunkte Mengen Abbildung 3

Beispiel 1

Eine Teilmenge und die dazu gehörige Ergänzungsmenge sind disjunkte Mengen.

Beispiel 2

Die Grundmengen aller geraden Zahlen G = {2, 4, 6, 8, 10, ...} ist disjunkt zur Grundmenge aller ungeraden Zahlen U = {1, 3, 5, 7, 9, ...}.

Teilmenge – echte Teilmenge

Eine Teilmenge heißt echt, wenn sie nicht leer und nicht identisch mit ihrer Grundmenge ist.

\(T \subset M\)

Beispiel:

Die graden Zahlen bilden eine echte Teilmenge der natürlichen Zahlen.

\( \mathbb{G} \subset \mathbb{N} \)

Teilmengen, die auch identisch zu ihrer Grundmenge sein können, werden gekennzeichnet durch:

\( T \subseteq M \)

Diese werden allgemein als Teilmenge angesprochen. Denn es gilt:

\(M \subseteq M\)

Elementare Operationen

Negation

Die Negation einer Mengen ergibt eine Menge, die alle Elementen der Grundmenge ohne die Elemente der zu negierenden Menge enthält.

Schreibweise: \( {\sim} M; \quad \overline{M} \)

Lies: „negiert“

Beispiel:

Die Grundmenge bestehe aus den geraden Zahlen von 2 bis 18 und die Menge M1 = {8, 10, 16}.

Die negierte Menge ist dann ~M1 = {2, 4, 6, 12, 14, 18}.

Komplement der Menge Abbildung 4

Durchschnitt

Der Durchschnitt von Mengen enthält nur die Elemente, die in beiden Mengen vorkommen. Mehrfach vorkommende gleiche Elemente werden dabei wiederum nur einmal aufgeführt.

Schreibweise:

\( M = M1 \cap M2 \)

Lies: „geschnitten mit“

das ist gleichwertig mit der Aussage:

\( M1 \cap M2 = (x|x \in M1 \wedge x \in M2) \)

Elemente x, die sowohl der Menge M1 als auch (UND) der Menge M2 angehören, bilden die Durchschnittsmenge M.

Beispiel:

Die Grundmenge bestehe aus den geraden Zahlen von 2 bis 18, die Menge M1 = {8, 10, 16} und M2 = {12, 16, 18}.

Die Durchschnittsmenge ist dann M = {16}.

Durchschnittsmenge Beispiel Abbildung 5

Vereinigung

Die Vereinigung von Mengen erfolgt, indem die Mengen der zu vereinigenden Teilmengen zu einer neuen Menge zusammengefasst werden. Mehrfach vorkommende gleiche Elemente werden dabei nur einmal aufgeführt.

Schreibweise: \( M = M1 \cup M2 \)

Lies: „vereinigt mit“

Beispiel

Die Grundmenge bestehe aus den geraden Zahlen von 2 bis 18, die Menge M1 = {8, 10, 16} und M2 = {12, 16, 18}.

Die Vereinigungsmenge ist dann M = {8, 10, 12, 16, 18}.

Vereinigungsmenge Beispiel Abbildung 6

Die Vereinigung von Mengen ist gleichwertig mit der Aussage:

\(M1 \cup M2 = (x|x \in M1 \vee x \in M2)\)

Elemente x, die der Menge M1 ODER der Menge M2 angehören, bilden die Durchschnittsmenge M.

Zusammengesetze Operationen

Grundsätzlich lässt sich jegliche Mengenoperation durch die elementaren Operationen NEGATION, DURCHSCHNITT und VEREINIGUNG darstellen. Aus Rationalisierungsgründen ist aber zweckmäßig, immer wiederkehrende komplexe Operationen mit eigenen Symbolen darzustellen.

Differenz

Die Differenzmenge wird aus zwei Mengen gebildet, wobei die Elemente der Menge 1 ohne die mit der Menge 2 gemeinsamen Elemente aufgeführt werden.

Schreibweise: M = M1 \ M2

Lies: „M1 ohne M2“

Beispiel

Die Grundmenge bestehe aus den geraden Zahlen von 2 bis 18, die Menge M1 = {8, 10, 16} und M2 = {12, 16, 18}.

Die Differenzmenge ist dann M = {8, 10}.

Differenzmenge Beispiel Abbildung 7

Die Differenz von Mengen ist gleichwertig mit der Aussage:

\(M1 \backslash M2 = (x|x \in M1 ∧ ¬x \in M2)\)

Exclusion

Die Exclusivmenge wird aus zwei Mengen gebildet, wobei alle Elemente der Menge 1 oder der Menge 2 ohne die gemeinsamen Elemente aufgeführt werden.

Schreibweise: \(M = M1 + M2\)

Lies: „M1 oder M2, aber nicht beides“

Beispiel

Die Grundmenge bestehe aus den geraden Zahlen von 2 bis 18, die Menge M1 = {8, 10, 16} und M2 = {12, 16, 18}.

Die Excklusivmenge ist dann M = {8, 10, 12, 18}.

Excklusivmenge Beispiel Abbildung 8

Die Exclusion von Mengen ist gleichwertig mit der Aussage:

\(M1 + M2 = (x|\neg \left( {x \in M1 \Leftrightarrow x \in M2} \right))\)

Regeln von De Morgan

Die Regeln von De Morgan, die auf logische Aussagen angewendet wurden, sind auch für Mengenrelationen zutreffend. Mit Hilfe der De Morganschen Regeln können logische Verknüpfungen umgewandelt oder vereinfacht werden.

1. De Morgansche Regel

\( {\sim}(A ∩ B) = {\sim}A ∪ {\sim}B \) Gl. 16

2. De Morgansche Regel

\( {\sim}(A ∪ B) = {\sim}A ∩ {\sim}B \) Gl. 17

Potenzmengen

Die Potenzmenge einer Menge ist die Menge aller Teilmengen, die aus dieser Menge bildbar sind. Eingeschlossen sind dabei die Menge selbst und die Leermenge.

Eigentlich sind aber nicht die Teilmengen selbst, sondern ihre Anzahl von Interesse. Im einfachsten Fall wird die Anzahl der bildbaren Teilmengen durch Auszählen ermittelt.

Beispiel:

Die Menge der Ganzen Zahlen 1 bis 3 hat die drei Elemente {1,2,3}. Daraus sind die folgenden Teilmengen bildbar:

{}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1,2,3}

Die Kardinalzahl dieser Potenzmenge beträgt 8.

Allgemein gilt:

Hat eine Menge n Elemente, können daraus 2n Teilmengen gebildet werden (daher auch der Begriff Potenzmenge).

Beispiel:

Auf unendliche Mengen der Mächtigkeit a*) angewandt bedeutet dies, dass die dazu gehörige Potenzmenge die Mächtigkeit 2a hat. Eine abzählbare unendliche Menge hat eine überabzählbar unendliche Potenzmenge. Hingegen hat eine mit einem beliebigen Faktor multiplizierte Menge auch nur die Mächtigkeit a.

*) Im alltäglichen Umgang bereitet die Größe „unendlich“ erhebliche Vorstellungsprobleme, deshalb wird stellvertretend für die Mächtigkeit einer unendlichen Menge und zur Schaffung einer Vergleichbarkeit die allgemeine Größe a eingeführt.

Kartesisches Produkt

Die Bezeichnung kartesisches Produkt ist der Geometrie entlehnt. Sie impliziert die Vorstellung von orthogonalen Beziehungen zwischen den beteiligten Mengen.

Das kartesische Produkt einer Menge führt zu einer neuen Menge, deren Elemente Vektoren sind. Im Falle von zwei Ausgangsmengen entsteht eine Menge geordneter Paare A × B (sprich: „A Kreuz B“).

Dabei werden die Vektoren durch vollständige Kombination aller Elemente der Ausgangsmengen gebildet. Ihre Mächtigkeit berechnet sich aus dem Produkt der Kardinalzahlen der Ausgangsmengen.

Das kartesische Produkt von zwei Mengen:

\( \begin{align} A × B & = \{ (a,b)|a∈A \text{ und } b∈B \} \\ A × B & = \{ (a,b)|a∈A ∧ b∈B \} \quad \text{(aussagenlogisch)} \\ |A × B| & = |A| |B| \end{align} \) Gl. 18

Beispiel:

Es seien A = {1, 2, 3} und B = {2, 3}, dann ist das kartesische Produkt von A × B gleich:

\( \begin{align} A × B = & \{ (1,2), (1,3) \\ & (2,2), (2,3) \\ & (3,2), (3,3) \} \end{align} \)

Das kartesische Produkt von beliebig vielen Mengen:

\( A × B × C ... × M = \{ (a, b, c, ... m) | a ∈ A ∧ b ∈ B ∧ c ∈ C ... ∧ m ∈ M \} \\ |A × B × C ... × M| = |A| |B| |C| ... |M| \) Gl. 19

Das Kartesische Produkt ist wichtig, um geometrische Sachverhalte zu beschreiben: So kann die Ebene als das kartesische Produkt zweier Geraden (x- und y-Achse) aufgefasst werden, indem jeder Punkt dieser Fläche benannt wird. Dem entsprechend ist das kartesische Produkt von drei Geraden die Beschreibung eines Würfels.

Ein Vergleich: Operationen in Mengenlehre und Logik

Tabelle: Operationen in Mengenlehre und Logik Abbildung ML

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