Wissen: Prädikatenlogik (Quantorenlogik)

Autor: Dr. Volkmar Naumburger ❤️ Bedanken

Einführung Prädikatenlogik (Quantorenlogik)

Während sich die Aussagenlogik mit konkreten, nachprüfbaren Ereignissen befasst, befasst sich die Prädikatenlogik mit verallgemeinerten Aussagen. In diesem Sinn ist sie der Aussagenlogik übergeordnet.

Komplexe Aussagen wie

Beispiel:

Aussage A: Es regnet in Berlin.

können verallgemeinert werden, wenn z.B. in der Aussage A der konkrete OrtBerlin durch eine Subjektvariable x ersetzt wird, so kann die Aussage auf beliebige Orte ausgedehnt werden:

A(x): Es regnet in x.

Überprüfbar wird sie aber erst, nachdem ein konkreter Ort genannt wurde. Der Rest der Aussage

Es regnet

wird Prädikat (daher Prädikatenlogik) genannt. Die Verallgemeinerung kann aber noch weiter getrieben werden:

Beispiel:

Aussage A: Es regnet heute in Berlin.

A(x,y): Es regnet (zur Zeit) y in x.

Dann steht die Subjektvariable y für alle möglichen Zeitausdrücke. Wie zu sehen ist, kann die Dimension der Prädikate beliebig erhöht werden. Es wird von einer n-stelligen Relation oder einem n-stelligen Prädikat gesprochen. Der Vergleich mit einer mehrdimensionalen mathematischen Funktion liegt nahe. Bei all diesen Beispielen handelt es sich um eine Prädikatenlogik 1. Ordnung.

Wenn auch noch das Verb, im Beispiel regnen zu einer Subjektvariablen gemacht wird, dann sind alle Tätigkeiten zu jeder Zeit an jedem Ort durch die Aussage A abgedeckt. Dies ist aber eine Prädikatenlogik 2. Ordnung, die hier aber nicht weiter betrachtet werden soll.

Terminologie

Die Prädikatenlogik bedient sich eines Begriffsgebildes bestehend aus:

  • Terme:

    Namen von Objekten im Beobachtungsbereich. Das können im sprachlichen Sinn sowohl Objekte als auch Subjekte sein!

  • Variable:

    Stehen für noch nicht bekannte Objekte

  • Prädikate:

    Stehen für Eigenschaften, Relationen und Klassen. Im sprachlichen Sinn können das Verben oder Attribute sein.

  • Quantoren:

    Quantoren erlauben Aussagen über Mengen von Objekten, für die das Prädikat gilt.

Beispiel:

Aussage A: Es regnet in allen Städten.

Aussage B: Berlin ist eine Stadt.

Also: Es regnet in Berlin (weil Berlin eine Stadt ist).

In Aussage A ist alle ein Quantor, es regnet das Prädikat zu Städten.

In Aussage B ist Stadt das Prädikat zu Berlin.

Quantoren

Für eine quantifizierende Ausdrucksweise werden über die Symbolik der Aussagenlogik hinausgehend folgende Ausdrücke benötigt:

für alle

z.B. "∀ x ∈ ℕ: „für alle x, die Element der Natürlichen Zahlen sind“

es gibt (mindestens) ein

z.B. ∃ x < y: „es gibt ein x, das kleiner als y ist“

wird Allquantor (Generalisator – universelle Quantifizierung) und

wird Existenzquantor (Partikuarisator – existenzielle Quantifizierung) genannt.

Beispiel

Aussage: Zu jeder positiven reellen Zahl y gibt es eine reelle Zahl x, die mit sich selbst multipliziert y ergibt. Der Raum der reellen Zahlen wird mit ℝ bezeichnet.

Logischer Ausdruck: \( ∀ y∈ℝ^{+} \; ∃ x∈ℝ \; (y=x^2) \)

Zu lesen als: Für alle y∈ℝ mit y > 0 gibt es mindestens ein x∈ℝ für das y=x² gilt.

Korrektheit von Argumenten

Häufiger Anlass für Witze ist das nicht erlaubte Ziehen von Schlussfolgerungen. Etwa der Art:

A: „Alle Menschen sind sterblich“

B: „Herr Maier ist ein Mensch“

A ∧ B ⇒ Herr Maier ist sterblich!

Diese Schlusskette ist korrekt, im Gegensatz zu folgendem Schluss:

A: „Alle Menschen sind sterblich“

B: „Affen sind sterblich“

A ∧ B ⇒ Affen sind Menschen!

Was manchmal sehr naheliegend sein könnte.

Hier ist es einfach so, dass ein solcher Schluss nicht richtig ist, weil seine Voraussetzung viel zu allgemein gehalten war. Probleme dieser Art werden auch in der Funktionentheorie (Kapitel: Abbildung, Relation und Funktion) behandelt.

Negation von Quantoren

1. ¬∀x P(x) ⇔ ∃x ¬P(x)
Ist die Aussage P nicht für alle x wahr, dann gibt es (einige) x, für die P(x) falsch (nicht wahr) ist und umgekehrt!

2. ∀x ¬P(x) ⇔ ¬∃x P(x)
Ist die Aussage P für alle x falsch, dann gibt es kein x, für das P(x) wahr ist und umgekehrt!

3. ∀x P(x) ⇔ ¬∃x ¬P(x)
Ist die Aussage P für alle x wahr, dann gibt es kein x für das P(x) falsch ist und umgekehrt!

4. ¬∀x ¬P(x) ⇔ ∃x P(x)
Ist die Aussage P nicht für alle x falsch, dann ist P(x) für mindestens ein x wahr und umgekehrt!

Anmerkung: Formeln der Prädikatenlogik können mit der Programmiersprache Prolog automatisch gehandhabt werden. Prolog ist für linguistische Aufgabenstellungen sowie für die Programmierung in der künstlichen Intelligenz und in Expertensystemen entwickelt worden.

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