Wissen: Rationale Zahlen

Autor: Dr. Volkmar Naumburger ❤️ Bedanken

Einführung Rationale Zahlen ℚ

Mit der Definition der Division entstand die Notwendigkeit, auch gebrochene (nichtganze) Zahlen zuzulassen. Rationale Zahlen bilden die Menge der Zahlen, die als Quotienten ganzer Zahlen (daher der Name ratio = Verhältnis) definiert sind. Allerdings ist die Division durch 0 nicht definiert.

\( Q = \frac{a}{b}; \quad a ∈ \mathbb{Z}, b ∈(\mathbb{Z} \backslash 0) \)

Auf der Menge der Ganzen Zahlen sind die mathematischen Operationen Addition, Subtraktion sowie Multiplikation und Division definiert.

Um Rationale Zahlen darzustellen, sind zwei Schreibweisen üblich:

Welche Schreibweise im Einzelfall bevorzugt wird, ist eine Frage der Zweckmäßigkeit.

Brüche, deren Zähler gleich 1 ist, werden auch Stammbruch genannt.

Rationale Zahlen sind in ihrer Dezimaldarstellung daran zu erkennen, dass sie ab einer bestimmten Stelle nach dem Komma

  • abbricht (also fortlaufend 0 aufweist) oder
  • periodisch ist.

Eine Eigenschaft der Rationalen Zahlen ist, dass es stets zwischen zwei benachbarten Rationalen Zahlen unendlich viele andere Rationale Zahlen gibt. Dennoch wird der Zahlenstrahl nicht vollständig ausgefüllt!

Beispiel 1:

Es sei

\( q\_unten_{0} = \frac{ { {a_0} } }{ { {b_0} } }; \qquad { {\rm{a} }_{\rm{0} } }{\rm{,} }{ {\rm{b} }_{\rm{0} } } \in \mathbb{N} \)   (d.h. mindestens \( b_0 ≠ 0 \))

eine beliebige Rationale Zahl, so ist

\( q\_oben_{0} = \frac{ { {a_0} + 1} }{ { {b_0} } } \)

eine andere Rationale Zahl, wobei stets q_unten0 < q_oben0 ist. Nun wird eine weitere Rationale Zahl q_neu0 gebildet, die die Bedingung

q_unten0 < q_neu0 < q_oben0

erfüllt. Eine solche Zahl ist durch

\( q\_neu_{0} = \frac{ {a_0 + 1} }{ {b_0 + 1} } \)

gegeben. Wird nun q_unten1 = q_neu0 gesetzt, erhält man eine Anweisung für die fortlaufende Berechnung weiterer Rationaler Zahlen:

\( q\_neu_{n} = \frac{ { {a_0} + n} }{ { {b_0} + n} } \)

die stets in den Grenzen der vorgegebenen Rationalen Zahlen q_unten0 und q_oben0 bleiben und sich einander immer weiter annähern.

Tabelle Rationale Zahlen Abbildung RT

Die Tabelle zeigt die Entwicklung der zwischen der unteren und oberen Grenze liegenden Rationalen Zahl. Dabei ist die Gewinnung neuer Rationaler Zahlen in keiner Weise beschränkt (sie ist nur durch die Rechengenauigkeit eingegrenzt!).

Eine andere interessante Weise Rationale Zahlen zu berechnen, geht auf Leonardo Pisano FIBONACCI (1170 - 1250) zurück. Viele natürliche Ereignisse lassen sich auf eine Zahlenfolge:

\( 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \quad n∈ℕ | n > 2 \)

die sogenannten FIBONACCI-Zahlen zurückführen. So sind beispielsweise die Anzahl der Blütenblätter vieler Pflanzen FIBONNACI-Zahlen. Eine geometrisch-ästhetische Bedeutung erlangen die FIBONACCI-Zahlen dadurch, dass die Quotienten benachbarter Zahlen für großen sich numerisch dem durch den Goldenen Schnitt bezeichneten Verhältnis sich teilender Strecken nähert.

Beispiel 2:

Die Quotienten benachbarter FIBONACCI Zahlen führt auf eine Reihe von Rationalen Zahlen, die sich einem Grenzwert annähern und dabei stets neue Rationale Zahlen innerhalb der durch die Anfangswerte vorgegebenen Grenzen generieren.

Mit \( {a_n} = {a_{n - 1} } + {a_{n - 2} } \quad n > 2;\,\,n \in \mathbb{N} \)

bilden die \({q_n} = \frac{ { {a_n} } }{ { {a_{n - 1} } } }\)

die erwähnte Reihe.

Tabelle Fibonacci Rationale Zahlen Abbildung FRT

Selbstverständlich enthalten die Rationalen Zahlen die Natürlichen und Ganzen Zahlen als Untermengen. Wie ist die Mächtigkeit der Menge der Rationalen Zahlen verglichen mit der der Mengen der Natürlichen oder Ganzen Zahlen?

Hier gibt das Cantor’sche Diagonalverfahren Auskunft. Gebrochene Zahlen werden aus einem Zähler und einem Nenner gebildet. In einer Matrix werden nun die Brüche nach ihren Zählern bzw. Nennern geordnet dargestellt und durchgezählt (Abbildung 14).

Cantor’sche Diagonalverfahren - Matrix Brüche Abbildung 14

Auch wenn es zwischen zwei Rationalen Zahlen immer unendlich viele weitere Rationale Zahlen gibt, beweist das Diagonalverfahren doch, dass es sich bei den Rationalen Zahlen auch um eine abzählbar unendliche Menge handelt. Damit ist sie gleichmächtig zu den Mengen der Natürlichen und Ganzen Zahlen.

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