Wissen: Mittelwerte

Autor: Roland Schröder

Man unterscheidet ein arithmetisches, ein harmonisches und ein geometrisches Mittel. Je nach Fragestellung und Zusammenhang werden diese eingesetzt.

Arithmetisches Mittel

Die Summe von n Zahlenwerten dividiert durch ihre Anzahl n heißt arithmetisches Mittel.

Beispiel: Berechnung der Durchschnittsnote einer Klassenarbeit.

Gegeben ist folgende Notenverteilung:

Note: 1 2 3 4 5 6
Anzahl: 4 5 8 3 2 2

Dann berechet sich die Durchschnittsnote so:

$$ \frac{4·\color{#00F}{1} + 5·\color{#00F}{2} + 8·\color{#00F}{3} + 3·\color{#00F}{4} + 2·\color{#00F}{5} + 2·\color{#00F}{6}}{4+5+8+3+2+2} = \frac{72}{24} = 72:24 = 3 $$

Harmonisches Mittel

Werden n gleiche Maßeinheiten mit jeweils der zugehörigen Geschwindigkeit \( v_1, v_2, …, v_n \) bewältigt, dann berechnet sich die Durchschnittsgeschwindigkeit als Kehrwert des arithmetischen Mittels der Kehrwerte der Geschwindigkeiten.

Beispiel: Die ersten 100 m³ eines Schwimmbeckens werden mit einer Füllgeschwindigkeit von 20 m³ pro Stunde gefüllt, die zweiten 100 m³ wegen Einsatzes einer weiteren Pumpe mit 50 m³ pro Stunde und die dritten 100 m³ nach Einsatz einer dritten Pumpe mit einer Füllgeschwindigkeit von 200 m³ pro Stunde. Wie groß ist die durchschnittliche Füllgeschwindigkeit?

Rechnung:

\( \frac{3}{ \frac{1}{20} + \frac{1}{50} + \frac{1}{200} } = \frac{3}{ \frac{10+4+1}{200} } = 3 · \frac{200}{15} = 40 \).

Antwort: Die durchschnittliche Füllgeschwindigkeit ist 40 m³ pro Stunde.

Geometrisches Mittel

Ändert sich ein Wachstum in n Zeiteinheiten nacheinander mit den Wachstumsfaktoren \( q_1, q_2, …, q_n \), so berechnet sich der durchschnittliche Wachstumsfaktor als n-te Wurzel aus dem Produkt der n Wachstumsfaktoren.

Beispiel: Vier Jahre nach Einzahlung von 1000 € auf ein Sparkonto fallen die Zinsen von 3 % auf 2 % jährlich und weitere drei Jahre später auf 1 % jährlich. Wie groß ist der durchschnittliche Jahreszinssatz nach Ablauf von 10 Jahren?

Rechnung:

\( \sqrt[10]{1,03^4 · 1,02^3 · 1,01^3} ≈ 1,021 \\ \text{Zinssatz p} = 1,021 - 1 = 0,021 = 2,1 \% \)

Antwort: Der durchschnittliche Jahreszinssatz nach Ablauf von 10 Jahren ist ungefähr 2,1 %.

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