Umwandlung von Normalenform in Parameterform

Die Normalenform lautet (X - A) · N = 0 und die Koordinatenform lautet X · N = A · N. Die eine lässt sich in die andere überführen:

(X - A)·N = 0
X·N- A·N = 0
X·N = A·N

Gegebene Normalenform:

((x | y | z) - (0 | 2 | -1)) · (-12 | -11 | -5) = 0
(X - A) · N = 0

Wir können ablesen:
A = (0 | 2 | -1)
N = (-12 | -11 | -5)

Mit dem Normalenvektor N und dem Vektor A können wir die Koordinatenform aufstellen:

Koordinatenform:

X · N = A · N
X · (-12 | -11 | -5) = (0 | 2 | -1) · (-12 | -11 | -5) | rechts das Skalarprodukt berechnen
(x | y | z) · (-12 | -11 | -5) = 0*(-12) + 2*(-11) + (-1)*(-5)
(-12)·x + (-11)·y + (-5)·z = -17
bzw.
-12·x - 11·y - 5·z = -17

Von der Koordinatenform ausgehend können wir die Parameterform ermitteln. Wie das geht, haben wir bei 2. Umwandlung von Koordinatenform in Parameterform kennengelernt.

Variante B: Über Richtungsvektoren

((x | y | z) - (0 | 2 | -1)) · (-12 | -11 | -5) = 0
(X - A) · N = 0

Abzulesen:
A = (0 | 2 | -1)
N = (-12 | -11 | -5)

Der Vektor A, im Übrigen auch Stützvektor genannt, ist also A(0 | 2 | -1). Nun brauchen wir noch zwei Richtungsvektoren.

Senkrecht zum Normalenvektor N(-12 | -11 | -5) sind zum Beispiel (0 | 5 | -11) oder (5 | 0 | -12) oder (11 | -12 | 0). Zur Erinnerung: Diese drei Vektoren sind senkrecht zueinander, weil das Skalarprodukt Null ergibt. Senkrecht zu (x | y | z) sind (0 | z | -y), (z | 0 | -x) und (y | -x | 0). Einfach gesagt: Um einen Normalenvektor zu erhalten, müssen wir eine Komponente auf 0 setzen, die anderen beiden vertauschen, wobei wir für einen der beiden Werte den Gegenwert bilden (Vorzeichenwechsel).

Mit Hilfe dieser drei Vektoren können wir direkt die Parameterform aufstellen:

X = A + s · AB + t · AC
X = (0|2|-1) + s · (0 | 5 | -11) + t · (5 | 0 | -12)
(x | y | z) = (0|2|-1) + s · (0 | 5 | -11) + t · (5 | 0 | -12)

Hinweis: Dieses Lösungsverfahren funktioniert nur, wenn beim Normalenvektor keine 0 gegeben ist. Wenn man eine Null gegeben hat, so sind senkrecht zu N(x | y | 0) die Vektoren (y | -x | 0) und (0 | 0 | 1). Wenn man sogar zwei Nullen als Komponenten gegeben hat, sind senkrecht zu N(x | 0 | 0) die Vektoren (0 | 1 | 0) und (0 | 0 | 1).

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