Wissen: Kreiszahl Pi

Definition der Kreiszahl Pi / Was ist Pi?

Die Kreiszahl π (gesprochen “Pi”) ist etwas Besonderes, sie wird mit dem griechischen Buchstaben π dargestellt. Man hat das griechische “P” gewählt, da der Kreisumfang auf lateinisch „peripheria“ heißt.

Der Mathematiker Leonhard Euler hatte diesen Buchstaben in seinen Berechnungen für die Kreiszahl verwendet, was sich im 18. Jahrhundert durchgesetzt hatte.

Pi wird mit Hilfe des Kreises definiert. Die Zahl Pi hat einen Wert von π = 3,141592653… Sie ist eine irrationale, transzendente Zahl.

Die Zahl π wird definiert als das Verhältnis zwischen Kreisumfang und Kreisdurchmesser. Das heißt, sie gibt an, wie oft man den Durchmesser auf den Kreisumfang legen kann, was etwa 3,142 mal der Fall ist.

Kreisumfang u = Kreiszahl π · Durchmesser d

u = π · d   | d = 2·r

u = π · 2 · r   | : (2·r)

$$ π = \frac{u}{2·r} $$

Herleitung der Kreiszahl Pi

Wenn wir den Wert von π herleiten wollen, der 3,14159265358979… gibt es mehrere Wege hierfür. Wir schauen uns eine Möglichkeit an:

Legen wir ein regelmäßiges Vieleck hier in den Kreis:

Herleitung Pi an Kreis mit Polygon

Wir wissen, der Kreisumfang ist größer als der Umfang des innenliegenden Quadrates. Wenn wir jetzt die Seitenzahl dieses Vielecks erhöhen, zum Beispiel ein Achteck, so nähert sich der Umfang des Vielecks nähert sich der Kreislinie an. Je mehr Seiten wir haben, desto näher kommt der Wert des Umfangs des Vielecks dem Kreisumfang.

Mit einer Formel, die den Umfangs des Vielecks angibt, können wir uns dem Kreisumfang annähern. Wir benutzen den Sinus, um die Seitenlängen des Vielecks zu berechnen.

Hierfür zeichnen wir rechtwinklige Dreiecke ein (senkrechte Strecken vom Mittelpunkt zur Seite des Vielecks). Bei diesen rechtwinkligen Dreiecken können wir Sinus, Kosinus und Tangens anwenden.

Herleitung Pi an Kreis mit Polygon 2

Wir sehen, dass es vier Winkel gibt. Der von uns benötigte Winkel ist die Hälfte von diesem Winkel. Das heißt wir rechnen 360° durch die Seitenanzahl, also durch 4, erhalten dann 1/4 von 360° und halbieren dies noch mal, so kommen wir auf 45°. Wir können den Sinus von dem Winkel α bestimmen als Gegenkathete durch Hypotenuse.

Die Hypotenuse ist der Kreisradius und 1 Einheit lang. Wir wissen, dass uns der Sinus dadurch die Länge der Gegenkathete angibt, wir berechnen sin(45°) ≈ 0,707. Das ist die Länge der Vielecks-Seite. Diese Seite haben wir jetzt 8 mal. So erhalten wir den umfang 8 · 0,707 cm = 5,656 cm. Der Kreisumfang muss demnach größer sein als 5,656 cm.

Allgemeine Formel:

Umfang = Seiten·(2·sin(α) · Radius)   | Radius = 1
Umfang = n·(2·sin(α) · 1)

Diese Formel lässt sich anwenden auf jedes Vieleck (Polygon). Um so mehr Seiten wir wählen, desto genauer wird der Wert für Pi. Bei zum Beispiel einem 33-Eck haben wir 6,2737 cm Kreisumfang (Wert für Pi).

Wir werden den Wert der Zahl Pi jedoch nie erreichen, denn sie ist eine irrationale transzendente Zahl. Das heißt, sie hat unendlich viele Nachkommastellen.

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