Wissen: Polynomdivision

Einführung Polynomdivision

Polynome und das Verfahren der Polynomdivision hatten wir bereits bei den kubischen Gleichungen sehr ausführlich erklärt (siehe auch „Warum funktioniert die Polynomdivision“).

Im Folgenden wenden wir dieses Wissen an und berechnen drei Beispiele, bei denen wir die Nullstellen mit Hilfe der Polynomdivision berechnen. Auf geht es:

Polynomdivision: Nullstellen von f(x) = x...

Bekannt sind: ...

(x² - 4·x - 5) : (x - 5)

Wir müssen (x - 5) mit etwas multiplizieren, sodass wir die Elemente aus (x2 - 4·x - 5) erhalten. Als erstes wollen wir x2 erzeugen. Das machen wir, indem wir (x - 5) mit x multiplizieren, denn:

x · (x - 5) = x2 - 5·x

Man betrachtet also immer den höchsten Exponenten des Dividenden und versucht diesen zu erzeugen, indem man den höchsten Exponenten des Divisors mit etwas multipliziert.

Der erste Teil unserer Lösung ist also x. Wir schreiben schon mal:

(x2 - 4·x - 5) : (x - 5) = x ...

Da wir (x - 5) mit x multiplizieren, müssen wir (x - 5)·x von (x2 - 4·x - 5) abziehen:

(x2 - 4·x - 5) - (x - 5)·x = (x2 - 4·x - 5) - (x2 - 5 · x) = (x2 - 4·x - 5) - x2 + 5 · x = x - 5

Das müssen wir jetzt noch in unsere Rechnung schreiben, wie bei der schriftlichen Division schon gemacht:

(x2 - 4·x - 5) : (x - 5) = x...
-(x2 - 5·x)
= 0 + x - 5

Wir versuchen jetzt wieder den höchsten Exponenten des Rests (x - 5), also x, durch den höchsten Exponenten des Divisors, also auch hier x, darzustellen. Das schaffen wir durch eine Multiplikation mit 1. Wir können also die 1 an unsere Lösung heranhängen:

(x2 - 4·x - 5) : (x - 5) = x + 1 ....
-(x2 - 5·x)
= 0 + x - 5

Auch hier ziehen wir wieder 1·(x - 5)= x - 5 von dem Rest ab und erhalten:

(x2 - 4·x - 5) : (x - 5) = x + 1 ....
-(x2 - 5·x)
= 0 + x - 5
- (x - 5)
= 0

Da unsere Division nun keinen Rest hat, haben wir als Ergebnis (x + 1).

Noch einmal die vollständige Rechnung, so wie sie bei euch auf dem Papier aussehen sollte:

(x2 - 4·x - 5) : (x - 5) = x + 1
-(x2 - 5·x)
= 0 + x - 5
- (x - 5)
= 0

Machen wir noch einmal die Probe:

(x - 5) · (x + 1) = (x² - 4·x - 5)

Wir haben also richtig dividiert.

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