Herleitung der Potenzgesetze

Herleitung der Potenzgesetze

Potenzgesetze sind Rechenregeln, die für die Multiplikation und Division von Potenzen gelten.

Gehen wir diese Gesetze an Beispielen zusammen durch:

Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis

Wir möchten folgendes berechnen:

35 · 32 = ?

Wir können die beiden Potenzen einzeln ausschreiben und erhalten:

35 · 32 = (3 · 3 · 3 · 3 · 3) · (3 · 3) = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3

Die roten Zahlen gehören zur ersten Potenz und die blauen zur zweiten Potenz.

Jetzt zählen wir, wie oft wir die 3 multiplizieren, damit wir dies wieder in eine Potenz umwandeln können. Wir haben hier 7 Mal die 3 und können dies nun wieder als Potenz schreiben: 37. Wir erkennen:

35 · 32 = 37

Wir sehen, dass wir die Anzahl der 3 auch erhalten, wenn wir die Exponenten der beiden Potenzen addieren. Also Exponenten: 5 + 2 = 7 bzw.

35 · 32 = 35 + 2 = 37

Die Rechenregel lautet damit:
$$ {x}^{a} · {x}^{b} = {x}^{a+b} $$

Division von Potenzen mit gleicher Basis

Als nächstes wollen wir die gleichen Potenzen in einer Division benutzen:

35 : 32 = ?

Um dies als Potenz zusammenzufassen, schreiben wir die Division zunächst ein mal als Bruch.

$$ \frac{ {3}^{5} }{ {3}^{2} } $$

Weiterhin schreiben wir die Potenzen nun als Multiplikation.

$$ \frac{ {3}^{5} }{ {3}^{2} } = \frac{3 · 3 · 3 · 3 · 3}{3 · 3} $$

Wir können nun zwei Mal die 3 aus dem Nenner und dem Zähler kürzen und erhalten:

$$ \frac{ {3}^{5} }{ {3}^{2} } = \frac{3 · 3 · 3 · 3 · 3}{3 · 3} = \frac{3 · 3 · 3 · 1}{1} = 3 · 3 · 3 = 3^{3} $$

Wir können schreiben: $$ \frac{3^5}{3^2} =3^{5-2} = 3^{3} $$

Wir sehen, dass bei der Division von Potenzen, die die gleiche Basis haben (für unser Beispiel die 3), der zweite Exponent von dem ersten Exponenten subtrahiert wird (5 - 2 = 3).

Allgemein ergibt sich damit die Rechenregel:

$$ {x}^{a} : {x}^{b} = {x}^{a - b} $$

Potenzieren von Potenzen

Was passiert, wenn man eine Potenz potenziert?

Betrachten wir das Beispiel:

$$ { (3^{2}) }^{ 3 } = \text{?} $$

Wir schreiben als erstes die innere Potenz als Multiplikation aus (32 wird 3·3) und erhalten:

$$ { (3^{2}) }^{ 3 } = {(3·3)}^{3} $$

Jetzt schreiben wir die äußere Potenz als Multiplikation aus und wir haben:

$$ {(3·3)}^{3} = (3·3) \ · \ (3·3) \ · \ (3·3) $$

Die Klammern dürfen wir entfernen (vgl. Assoziativigesetz). $$ (3·3) \ · \ (3·3) \ · \ (3·3) = 3·3·3·3·3·3 $$

Wir schreiben diese Multiplikationen nun wieder als Potenz, indem wir die Anzahl der Faktoren zählen:

$$ 3·3·3·3·3·3 = 3^{6}$$

Damit: $$ (3^{2})^{ 3 } = 3^{2·3} = 3^{6}$$

Was ist passiert? Durch das Potenzieren der Potenz wird die innere Potenz als ein Faktor dargestellt, der in der Anzahl des äußeren Exponenten auftritt. Daher können wir den inneren Exponenten mit dem äußerem Exponenten multiplizieren (2 · 3 = 6)

Die Regel lautet damit:

$$ { (x^a) }^{ b } = x^{a · b} $$

Multiplikation von Potenzen mit gleichen Exponenten

Bisher haben wir nur Rechenregeln für Fälle betrachtet, in denen die Basis gleich ist. Was aber machen wir, wenn wir unterschiedliche Basen haben, aber der Exponent von beiden Potenzen gleich ist? An dem folgenden Beispiel gehen wir die Rechenregel durch:

$$ {2}^{3} · {3}^{3} = \text{?} $$

Wir schreiben erneut beide Potenzen aus:

$$ {2}^{3} · {3}^{3} = (2·2·2) · (3·3·3) = 2·2·2·3·3·3 $$

Wir benutzen nun das Kommutativgesetz und vertauschen die Reihenfolge dieser Multiplikation:

$$ 2·2·2·3·3·3 = 2·3 \ · \ 2·3 \ · \ 2·3$$

Jetzt fassen wir diesen Term wieder als Potenz zusammen:

$$ 2·3 \ · \ 2·3 \ · \ 2·3 = (2·3)^{3} $$

Wir erkennen, dass wir die Basen miteinander multiplizieren und dann dieses Produkt mit dem gleichen Exponenten potenzieren können.

Die Regel lautet:

$$ {x}^{n} · {y}^{n} = {(x·y)}^{n}$$

Division von Potenzen mit gleichen Exponenten

Das Dividieren von Potenzen mit unterschiedlicher Basis und gleichem Exponentent funktioniert so ähnlich wie beim Multiplizieren. Betrachten wir eine Division:

$$ {2}^{3} : {3}^{3} = \text{?} $$

Hier können wir den Term als Bruch notieren und die Potenzen ausschreiben:

$$ \frac{2^3}{3^3} = \frac{2·2·2}{3·3·3} $$

Diesen Bruch können wir in mehrere Brüche aufteilen:

$$ \frac{2·2·2} {3·3·3} = \frac{2}{3} · \frac{2}{3} · \frac{2}{3} $$

Hier fällt nun auf, dass wir den Bruch, der drei Mal als Faktor auftritt, auch als Potenz schreiben können:

$$ \frac{2}{3} ·\frac{2}{3} · \frac{2}{3} = {(\frac{2}{3})}^{3} = (2:3)^3 $$

Wir fassen zusammen: $$ {2}^{3} : {3}^{3} = (2:3)^3 $$

Oder in der Bruchschreibweise: $$ \frac{2^3}{3^3} = (\frac{2}{3})^3 $$

Als Rechenregel erhalten wir damit:

$$ {x}^{n} : {y}^{n} = {(\frac{x}{y})}^{n} $$

Potenzen mit negativen Exponenten

Potenzen können auch einen negativen Exponenten besitzen. Was das genau heißt, machen wir uns an dem Beispiel der Division und den bisher kennengelernten Potenzgesetzen klar.

Wir können zum Beispiel folgende Division mit den Potenzgesetzen auflösen:

$$ {3}^{1} : {3}^{2} = {3}^{1-2} = {3}^{-1} $$

Wandeln wir die Division in einen Bruch um und schreiben die Potenzen aus:

$$ 3^{1} : 3^{2} = \frac{3^1}{3^2} = \frac{3}{3·3} $$

Wir kürzen jetzt eine 3 aus dem Zähler und Nenner. Und erhalten:

$$ 3^{1} : 3^{2} = \frac{3^1}{3^2} = \frac{3}{3·3} = \frac{1}{3} $$

Wir fassen die Berechnungen von oben zusammen:

$$ 3^{1} : 3^{2} = {3}^{-1} = \frac{1}{3} $$

Und das ist die Definition von Potenzen mit negativen Exponenten: Wir potenzieren die Basis mit dem Exponenten und nehmen den Kehrwert von dieser Potenz.

Als Regel haben wir:

$$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $$

Was ist x hoch 0?

Diese Frage ist relativ leicht zu beantworten. x0 ist immer 1. Als Begründung benutzen wir die Potenzgesetze der Division:

x1 : x1 = x1-1 = x0

x1 : x1 = x : x = 1

x0 = 1

Abschließend findet ihr hier noch ein paar Hinweise und eine Übersicht über die Regeln.

Potenzregeln nach Vorzeichen der Basis

Merkt euch:

Eine Potenz mit positiver Basis ist immer positiv. Egal, ob der Exponent gerade, ungerade, positiv oder negativ ist.

Eine Potenz mit negativer Basis ist positiv, wenn der Exponent gerade ist. Beispiel (-3)2 = (-3)·(-3) = 9.

Eine Potenz mit negativer Basis ist negativ, wenn der Exponent ungerade ist. Beispiel (-3)3 = (-3)·(-3)·(-3) = -27.

Ein häufiger Fehler ist übrigens, die Klammer beim Potenzieren einer negativen Zahl nicht zu setzen, doch dann entstehen zwei unterschiedliche Ergebnisse. Wenn die Klammer nicht steht, dann wird die Potenz ohne Berücksichtigung des Minus gerechnet:

(-2)2 = (-2)·(-2) = +4
(-2)2 = +4

Hingegen:
 −22 = −(2)2 = −(2·2) = 4
 −22  = −4

Es gilt: (-2)2 −22

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