Wissen: Primzahlen, Primfaktorzerlegung

Was sind Primzahlen? (Definition)

Primzahlen sind alle natürlichen Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind.

Die 1 ist ausgeschlossen, da wir zwei verschiedene Teiler benötigen.

Die 2 ist Primzahl, und zwar die einzige gerade Primzahl.

Die Primzahlen bis zur 100 sind:

2    3    5    7    11    13    17    19     23    29    31    37    41
43    47    53    59    61    67    71     73    79    83    89    97

Jede natürliche Zahl lässt sich in Primzahlen zerlegen, zum Beispiel: 45 = 9·5 = 3·3·5

Hat eine natürliche Zahl neben sich selbst und der 1 weitere Teiler (z. B. hat die 4 zusätzlich den Teiler 2), so ist sie keine Primzahl. Man nennt diese Zahlen zusammengesetzte Zahlen.

Wortherkunft Primzahl

Das Wort "prim" kommt vom Lateinischen "prima", das wiederum von "primus" und heißt "Erster, Vorderster". Wahrscheinlich wurde diese Bezeichnung gewählt, da jede natürliche Zahl aus Primzahlen besteht, man kann sie zerlegen.

25 Primzahlen von 1 bis 100

Von 1 bis 100 gibt es insgesamt 25 Primzahlen. Sie sind:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Tabelle aller Primzahlen bis 1000

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43
47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107
109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181
191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263
269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349
353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433
439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521
523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613
617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701
709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809
811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887
907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

Von 2 bis 1000 gibt es also insgesamt 168 Primzahlen und 831 Nicht-Primzahlen (also Zahlen, die Teiler haben bzw. aus Primfaktoren bestehen).

Was ist eine Primfaktorzerlegung?

Bei der Primfaktorzerlegung wird eine natürliche Zahl als Multiplikation von Primzahlen geschrieben. Als Beispiele: 10 = 2 · 5 oder 20 = 2 · 2 · 5 oder 24 = 2 · 2 · 2 · 3. Die Primzahlen treten als Faktoren der Multiplikation auf und ergeben als Produkt die natürliche Zahl.

Primfaktorzerlegung von 2 bis 10

2 = 2
3 = 3
4 = 2·2
5 = 5
6 = 2·3
7 = 7
8 = 2·2·2
9 = 3·3
10 = 2·5

100 = 2·2·5·5

Primzahlen finden übrigens oft bei Verschlüsselungsverfahren (Codes der Kryptographie) Anwendung. In der Mathematik trifft man sie jedoch am häufigsten beim Thema ggT und kgV an.

Achtung: Einige Schüler machen den Fehler und reden von "Primzahlzerlegung", was falsch ist. Denn eine Primzahl lässt sich nicht in weitere Primzahlen zerlegen, da sie nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist.

Primfaktorzerlegung von großen Zahlen

Wer prüfen möchte, ob eine Zahl tatsächlich Primzahl ist, der verwendet die Primfaktorzerlegung. Jede Zahl, die nicht zerlegt werden kann, ist eine Primzahl. Es gibt beim Assistenzrechner ein Programm zur Zahlenanalyse. Einfach eine Zahl eingeben und die Primfaktorzerlegung wird angezeigt, auch für sehr große Zahlen.

Warum ist die Eins keine Primzahl?

Wenn 1 eine Primzahl wäre, so wäre die Primfaktorzerlegung nicht mehr eindeutig, da die Zahl 1 mehrfach als Faktor vorkommen könnte. Beispiel: 6 = 1·2·3, aber auch 6 = 1·1·1·2·3 etc.

Ein anderer Grund ist die Definition: Eine Primzahl ist nur durch 1 und sich selbst teilbar. Dabei ist die 1 der eine Teiler und durch sich selbst der andere Teiler, wobei es um zwei verschiedene Teiler geht. Die Zahl 1 hat nur den einen Teiler 1 und nicht zwei verschiedene.

Merken wir uns: Die 1 ist keine Primzahl und per Definition ausgeschlossen.

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