Wissen: Proportionalität und Dreisatz

Was ist Proportionalität?

Klären wir zunächst einmal, was genau Proportionalität heißt. Das Wort Proportion besteht aus den Wörtern „pro“ und „portion“. Übersetzt heißt dies so viel wie „je Anteil“. Eine Proportion beschreibt damit ein Verhältnis zwischen zwei Dingen/Werten. Machen wir uns die Bedeutung von Proportionalität an einem Beispiel klar:

Sagen wir, dass am Kiosk ein Schokoriegel 1,50 € kostet. Dies beschreibt eine Proportion. Die Proportionalität besteht zwischen den beiden Größen „Menge der Schokoriegel“ und „Preis“. Der Preis der Schokoriegel hängt von der Menge ab. Kaufen wir mehr Schokoriegel, so müssen wir auch mehr bezahlen. Zwei Schokoriegel kosten nun 3 €. Machen wir uns eine kleine Tabelle mit den Preisen von bis zu 5 Schokoriegeln:

Menge Preis Preis pro Menge Menge pro Preis
1 Stück 1,50 € 1,50 €/Stück 0,6666… Stück/€
2 Stück 3,00 € 1,50 €/Stück 0,6666… Stück/€
3 Stück 4,50 € 1,50 €/Stück 0,6666… Stück/€
4 Stück 6,00 € 1,50 €/Stück 0,6666… Stück/€
5 Stück 7,50 € 1,50 €/Stück 0,6666… Stück/€

Proportionalitätsfaktor

Den Preis pro Menge bzw. die Menge pro Preis erhalten wir, indem wir jeweils die erste Größe durch die zweite Größe teilen. Uns fällt direkt auf, dass Preis pro Menge und Menge pro Preis bei allen Mengen und Preisen gleich ist. Genau das ist das Kennzeichen für Proportionalität, nämlich ein Faktor, der das Verhältnis der beiden Größen beschreibt. Diesen Faktor nennt man Proportionalitätsfaktor. Steigt also einer der beiden Größen, so steigt auch die andere Größe in gleichem Maße. Wir könnten nachdem wir den Proportionalitätsfaktor berechnet haben, auch ganz leicht berechnen, wie viel 20 oder auch 200 Schokoriegel kosten:

20 · 1,50 € = 30 € bzw. ausführlich mit Einheiten notiert: 20 Stück · 1,50 €/Stück = 30 €

200 · 1,50 € = 300 € bzw. ausführlich mit Einheiten notiert: 200 Stück · 1,50 €/Stück = 300 €

Betrachten wir die Berechnung des Proportionalitätsfaktors, dann sehen wir, dass wir diesen Faktor auch als Bruch darstellen können:

$$ \frac{1 \;Stück}{1,50 \;€} = \frac{2 \;Stück}{3,00 \;€} = \frac{3 \;Stück}{4,50 \;€} $$

Das können wir auch schreiben als:

$$ \frac{\color{#00F}{1} · 1 \;Stück}{\color{#00F}{1} · 1,50 \;€} = \frac{\color{#00F}{2} · 1 \;Stück}{\color{#00F}{2} · 1,50 \;€} = \frac{\color{#00F}{3} · 1 \;Stück}{\color{#00F}{3} · 1,50 \;€} $$

Wir erkennen, dass wir einen Faktor haben, mit dem wir Nenner und Zähler unseres Bruches multiplizieren, wenn wir das Verhältnis von einer anderen Menge bestimmen möchten, da das Verhältnis bei Proportionen immer gleich ist.

Zusatz: Wenn wir nun einen Graph zu dieser Tabelle zeichnen würden, egal ob Menge auf der x-Achse und Preis auf der y-Achse oder umgekehrt, so würden wir eine Gerade erhalten, die als Steigung den dazugehörigen Proportionalitätsfaktor besäße. Die Gerade für unser Beispiel hätte die Funktionsgleichung (x-Werte sind Stück, y-Wert sind Euro): f(x) = 1,5/1·x = 1,5·x und sieht so aus:

~plot~ 1,5*x;{1|1,5};{2|3} ~plot~

Dreisatz

Wenn es sich um das Thema Proportionalität handelt, könnte uns eine Aufgabe in der folgenden Form begegnen:

"Für eine Klassenfahrt zahlen 20 Schüler insgesamt 360 Euro. Wie viel Euro müssten 25 Schüler bezahlen?"

Wie gehen wir an so eine Aufgabe heran? Wir wissen, dass der Preis und die Anzahl der Schüler proportional zueinander sind. Für jeden Schüler wird also ein fester Betrag bezahlt.

Wir berechnen also zunächst einmal den Preis für einen Schüler. Das machen wir, indem wir den Preis für 20 Schüler durch 20 teilen:
360 € : 20 Schüler = 18 €/1 Schüler = 18 €/Schüler

Ein Schüler bezahlt also 18 €.

Jetzt können wir auch ganz einfach den Preis für 25 Schüler berechnen:
25 Schüler · 18 €/Schüler = 450 €

25 Schüler müssten also 450 Euro bezahlen.

Dieses Vorgehen nennt man Dreisatz. Es heißt Dreisatz, weil wir drei Schritte machen:

1. Wir haben zunächst einmal ein Verhältnis aufgestellt. (20 Schüler zahlen 360 Euro)

2. Wir haben das Verhältnis für 1 Einheit berechnet. (Preis für einen Schüler)

3. Wir haben den Wert für die gesuchte Anzahl berechnet. (Preis für 25 Schüler)

Wir können uns den zweiten Schritt auch sparen, indem wir unser Problem als Bruch schreiben und direkt den Faktor z bestimmen, mit dem wir von 20 auf 25 Schüler gelangen. Genau so, wie wir es bei dem Proportionalitätsfaktor bei den Schokoriegeln auch gemacht haben:

20 Schüler / 360 € = 25 Schüler / x

x ist unser gesuchter Preis.

Wir wissen nun:

z · 20 Schüler / z· 360 € = 25 Schüler / x

Wir bestimmen unser z mit einer Nebenrechnung:

Nebenrechnung: 20 · z = 25, damit ist z = 20 / 25 = 1,25

Wir kommen also von 20 auf 25, indem wir 20 mit 1,25 multiplizieren. Nun müssen wir genauso unsere 360 € mit diesem Faktor 1,25 multiplizieren und erhalten:

360 € · z = x   | z=1,25
360 € · 1,25 = x
x = 450 €

Zusätzlicher Lösungsweg:

Mit dem Umformen der Gleichung können wir unser Problem auch lösen. Da wir wissen, dass es einen Proportionalitätsfaktor gibt, können wir den Preis pro Schüler bei 20 und bei 25 Schülern gleichsetzen:

20 / 360 = 25 / x

Beide Seiten stellen den Preis pro Schüler dar, wobei x unser gesuchter Preis ist. Wir formen dies um, indem wir auf beiden Seiten den Kehrwert bilden:

360 / 20 = x / 25

Wir multiplizieren beide Seiten mit 25 und erhalten:

360 / 20 · 25 = x

x = 450

Hat man zwei Größen a und b, die proportional zueinander sind so schreibt man: a ~ b

Zusammenfassung

Wiederholung macht den Meister, hier das Wichtigste zusammengefasst:

Für proportional schreibt man: a ~ b. Bei unserem Beispiel 1 Schokoriegel ~ 1,50 Euro heißt das: Erhöht sich die Stückzahl, so erhöht sich der Preis entsprechend.

Den Proportionalitätsfaktor erhalten wir, wenn wir die eine Größe durch die andere teilen. Dabei ist es egal, welche wir als Divisor nutzen, es ergibt sich jeweils ein konstantes Verhältnis. Für unser Beispiel:

2 Schokoriegel : 3 Euro = 0.6667 Schokoriegel/Euro
4 Schokoriegel : 6 Euro = 0.6667 Schokoriegel/Euro

oder

3 Euro : 2 Schokoriegel = 1,50 Euro/Schokoriegel
6 Euro : 4 Schokoriegel = 1,50 Euro/Schokoriegel

Schreibt die Divisionen in Form von Brüchen, dann ist der Zusammenhang leichter zu erkennen (Stichwort Kürzen/Erweitern).

Dreisatz

Der Dreisatz heißt Dreisatz, da man den unbekannten Wert aus 3 gegebenen Werten ermittelt bzw. in 3 Sätzen löst. In Österreich heißt der Dreisatz "Schlussrechnung".

Aufgabe mit Dreisatz lösen:
1. Verhältnis aufstellen.
2. Unbekannten Wert ins Verhältnis setzen.
3. Gesamte Gleichung aufstellen und lösen.

Beispiel-Aufgabe:

12 Menschen trinken pro Tag 22,8 Liter Wasser. Wie viel trinken 34 Menschen?

1. Verhältnis: 12 Menschen = 22,8 Liter

2. Verhältnis für unbekannten Wert: 34 Menschen = x Liter

3. Gesamte Gleichung: 12 Menschen : 22,8 Liter = 34 Menschen : x Liter
oder mittels Kehrwert: 22,8 Liter : 12 Menschen = x Liter : 34 Menschen

Jetzt noch die Gleichung lösen, wir erhalten: x = 64,6 Liter

Der Proportionalitätsfaktor ist übrigens:
22,8 Liter : 12 Menschen = 1,9 Liter/Mensch
64,6 Liter : 34 Menschen = 1,9 Liter/Mensch

Der Begriff "Dreisatz"

Im Video sagten wir, dass der Begriff "Dreisatz" verschieden gedeutet werden kann. Zum einen als drei gegebene Werte, zum anderen als Lösen in drei Sätzen, wobei wir die drei Sätze wählten als 1. Aufstellen einer Relation, 2. Herunterrechnen auf eine Einheit, 3. Heraufrechnen auf die gesuchte Größe. In einigen Lehrbüchern wird der Dreisatz jedoch wie folgt beschrieben:

1. Bedingungssatz (gegeben: 75 kg = 50 Stück)
2. Fragesatz (gesucht: 102 kg = x Stück)
3. Schlusssatz (gelöst: x = 50:75 * 102 = 68 Stück)

* Man spricht übrigens von Zweisatz, wenn nur zwei Größen gegeben sind. Also 1 Stück kostet 3 Euro. Wie viel kosten 10 Stück? Dann müsst ihr einfach 3 Euro x 10 Stück rechnen. Beim Dreisatz hat man den Preis für 1 Stück jedoch nicht gegeben!

Doppelter Dreisatz

Fangen wir mit einem Beispiel an, damit klar wird, was der doppelte Dreisatz ist: 2 Hühner legen in 2 Tagen genau 4 Eier. Wie viele Eier legen dann 6 Hühner in 8 Tagen?

Diese Aufgabe ist nicht ganz so einfach, weil hier mehrere Größen voneinander abhängen. Es stellt sich die Frage, von welcher Größe alle anderen Werte abhängen. Also fragen wir uns: Wenn wir die Tage erhöhen, dann verändert sich was? Richtig: Die Anzahl der Eier, dabei bleiben die Hühner gleich. Wenn wir die Anzahl der Hühner erhöhen, dann verändert sich was? Richtig: Die Anzahl der Eier, dabei bleiben die Tage gleich. Tage und Hühner beeinflussen also die Anzahl der Eier. Stellen wir nun wie folgt auf:

2 Hühner ~ 2 Tage ~ 4 Eier
2·3 Hühner ~ 2 Tage ~ 4·3 Eier
6 Hühner ~ 2 Tage ~ 12 Eier
6 Hühner ~ 2·4 Tage ~ 12·4 Eier
6 Hühner ~ 8 Tage ~ 48 Eier

Lösung: 6 Hühner legen in 8 Tagen also genau 48 Eier.

Kann man auf den Dreisatz verzichten?

Sicher wird es eine Mathematikstunde geben, in der das Wort „proportional“ zum ersten Mal verwendet wird. Meistens geschieht das im Zusammenhang mit dem Dreisatz. Tatsächlich aber ist der Inhalt des Begriffes „proportional“ schon im Rahmen der Bruchrechnung von Schülerinnen und Schülern erahnt worden. Beim Kürzen und Erweitern von Brüchen entstanden nämlich quotientengleiche Zahlenpaare aus Zähler und Nenner, die direkt proportional sind. Schon im Rahmen der Bruchrechnung gab es Aufgaben, in denen ein gegebener Bruch auf einen vorgegebenen Nenner erweitert oder gekürzt werden sollte.

Nur sehr selten war dabei der Faktor für das Erweitern oder der Divisor für das Kürzen eine Bruchzahl, wie etwa in der folgenden Aufgabe: Bestimme x in der Gleichung \( \frac{6}{5} = \frac{x}{7} \). Hier muss mit \( \frac{7}{5} \) erweitert werden, denn \( 5·\frac{7}{5} = 7 \). Da \( 6·\frac{7}{5} = \frac{42}{5} = \frac{84}{10} = 8,4 \) ist, wissen wir x = 8,4. Die Zahlenpaare (6; 5) und (8,4; 7) sind direkt proportional und es gilt \( \frac{6}{5} = \frac{8,4}{7} \).

Die sogenannte Dreisatzaufgabe: „5 kg Äpfel kosten 6 €. Was kosten 7 kg Äpfel?“ fragt nach x in den direkt proportionalen Zahlenpaaren (6; 5) und (x; 7). In der Darstellung der Bruchrechnung ist also die schon bekannte Aufgabe: „Bestimme x in der Gleichung \( \frac{6}{5} = \frac{x}{7} \)“ zu lösen. Aus dieser Sicht der Zusammenhänge ist die Lösungsmethode des Dreisatzes entbehrlich. Ein Rückgriff auf das Kürzen und Erweitern von Brüchen hätte es auch getan.

Der Begriff „proportional“ tritt im Mathematikunterricht immer wieder auf. Zusammenhänge, in denen der Begriff „direkte Proportionalität“ auftaucht, sind (außer Bruchrechnung und Dreisatz):

  • Ursprungsgeraden unter den linearen Funktionen
  • Strahlensätze und Ähnlichkeitssätze, zentrische Streckung
  • Streckenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken sin, cos, etc.
  • Steigung, Steigungsdreieck, Differenzenquotient
  • Proportionalitätsfaktor und Proportionalitätstilde

Eine erste Berührung mit dem Begriff der indirekten Proportionalität erleben Schülerinnen und Schüler bereits im Rahmen der Aufgabenstellung: „Welche Multiplikation hat das Resultat 12?“ Diese Frage stellt sich etwa im Rahmen von Primfaktorenzerlegungen. Im Rahmen von sogenannten Dreisatzaufgaben tauchen etwa feste Vorräte für variable Zeiträume oder Konsumenten auf.

Eine Dreisatzaufgabe aus diesem Zusammenhang ist diese: „Ein Bauer hat für seine 16 Rinder noch Futtervorräte für 105 Tage, als er zwei Rinder verkauft. Wie lange recht der Vorrat jetzt?“ Zunächst muss der Vorrat in Tagesportionen pro Rind angegeben werden. Das sind 16·105 Tagesportionen pro Rind. Da er nach dem Verkauf noch 14 Rinder hat, erhält man die Antwort auf die gestellte Frage durch die Rechnung \( 16·\frac{105}{14} \). An dieser Stelle ist es nun günstig, die oben erwähnten Operationen wie Faktorenzerlegung und Kürzen zu beherrschen. Dann erhält man 8·15 = 120 Tage.

Zusammenhänge, in denen der Begriff „indirekte Proportionalität“ im weiteren Schulleben auftaucht, sind darüber hinaus:

  • Rechtecke gleichen Inhalts
  • Reziproke Funktionen und deren Graphen (Hyperbeln)
  • Proportionalität zwischen Messgröße und Kehrwerten anderer Messgrößen.

Den Dreisatz kann man also entbehren, wenn man im Falle direkter Proportionalität das Erweitern auch mit Bruchzahlen (als Erweiterungsfaktoren) beherrscht und im Falle indirekter Proportionalität eine Zahl (Produkt zweier Faktoren) in zwei andere Faktoren zerlegen kann, von denen einer schon bekannt ist.

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