G16: Prozente / Prozentrechnung

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Video: Einführung Prozente

Einführung Prozent

Zunächst ist verständlich zu machen, was Prozent überhaupt ist. Das Wort „Prozent“ kommt aus dem Lateinischen („pro centum“) und lässt sich wie folgt übersetzen:

„pro“ = für/von

„centum“ = hundert

Das Wort "Prozent" kann man sich also als "je Hundert" merken. Prozente sind somit ein Anteil von 100. Als 100 ist jeweils eine Gesamtmenge zu bezeichnen. Hat man zum Beispiel eine Gesamtmenge von 10 Litern, so sind diese 10 Liter 100 Prozent. Die Prozentrechnung befasst sich nun mit Anteilen von diesen Gesamtmengen (in diesem Fall: mit Anteilen von 10 Litern).

Das Prozentzeichen % geht aus der Abkürzung „cto“ hervor, was „per cento“ heißt (italienisch). Diese drei Buchstaben wurden leicht umgeformt und bilden somit das Prozentzeichen. Man schreibt anstelle von 100 Prozent kurz 100 %

Es ist hilfreich, sich vorab bereits Folgendes zu merken:
- Die Gesamtmenge ist 100 %.
- Die Hälfte der Gesamtmenge ist 50 %.
- Besitzt man keinen Anteil an der Gesamtmenge, so hat man 0 %. Also nichts.

Mathematische Betrachtung

Betrachte man:

1 %

Dies bedeutet 1 von Hundert bzw. 1 Teil von 100 Teilen, also:

1 von 100

Aus der Bruchrechnung ist bekannt, dass man 1 von 100 auch als Division schreiben kann:

1/100

Wir müssen uns an dieser Stelle unbedingt merken: 1 % = 1/100

Das Prozentzeichen lässt sich als :100 verstehen.

Auf diese Art kann man jede beliebige Prozentzahl umwandeln. Ein Beispiel:

5 % = 5 · 1 % = 5 · 1/100 = 5/100

Und im Allgemeinen erhält man so:

x % = x · 1 % = x · 1/100 = x/100

Umwandlung von Brüchen/Zahlen zu Prozentzahlen

Es ist möglich, Brüche und Zahlen als Prozentzahlen darzustellen und umgekehrt, wie im Folgenden gezeigt:

Vom Bruch zur Prozentzahl

Hat man einen Bruch vorliegen und möchte diesen in eine Prozentzahl umwandeln, so muss man Zähler und Nenner so erweitern oder kürzen, dass man im Nenner eine 100 zu stehen hat. Nun lässt sich die Prozentzahl ablesen.

Beispiel:

1 / 2

Man erweitert mit 50, indem man Zähler und Nenner mit 50 multipliziert:

1 / 2 = (1 · 50) / (2 · 50) = 50 / 100 = 50 %

Zu merken: 50 % ist gleich 1/2. Und genauso 1/2 = 0,5 = 50 %

Von einer beliebigen Zahl zur Prozentzahl

Hat man eine Prozentzahl, so schreibt man diese zunächst als Division auf. Anschließend schreibt man diese Division als Bruch, siehe Beispiel:

0,2
= 2 : 10
= 2 / 10
= (2 · 10) / (10 · 10)
= 20 / 100
= 20 %

Alternativ multipliziert man die Zahl mit 100 / 100 (also mit einer 1) und formt wie folgt um:

0,2
= 0,2 · 1
= 0,2 · 100 / 100
= (0,2 · 100) / 100
= 20 / 100
= 20 %

Prozente und Kommazahlen

Liegt eine Kommazahl vor, bei der vor dem Komma nur eine 0 steht, so geben die ersten beiden Zahlen hinter dem Komma den ganzzahligen Teil der dazugehörigen Prozentzahl an.

Beispiel:

0,63 → 63 %

Befindet sich nur eine Zahl hinter dem Komma, so hängt man noch eine weitere 0 hinten dran:

Beispiel:
0,4 = 0,40 → 40 %

Man verschiebt somit das Kommazeichen um zwei Ziffern nach rechts und hat somit den gesuchten Prozentwert.

Hinweis: Dies ist auch bei Zahlen möglich, die mehrere Nachkommastellen haben:

Beispiel:

0,935

Verschiebt man das Kommazeichen nun 2 Stellen nach rechts, so erhält man:

93,5 → 93,5 %

Mit Prozenten rechnen

Zu klären sind als erstes einmal die Grundbegriffe der Prozentrechnung. Am Besten lassen sich diese mit Hilfe einer Aufgabe verdeutlichen:

24 von 200 Käfer sind rot. Berechne den Anteil der roten Käfer.

Die Rechnung:

24 von 200
= 24 : 200
= 24 / 200
= (24 : 2) / (200 : 2)
= 12 / 100
= 12 %

Die Gesamtmenge "200 Käfer" wird Grundwert G genannt.
Der Anteil "24 Käfer" wird Prozentwert W genannt.
Der Prozentwert 12 % wird Prozentsatz p genannt.

Man wird meistens Aufgaben bearbeiten müssen, bei denen zwei dieser Werte gegeben sind und der dritte fehlende Wert gesucht wird. Im Folgenden werden diese drei verschiedenen Fälle an dem bereits bekannten Beispiel vorgestellt:

1. Fall: Grundwert gesucht

Gegeben: Prozentwert W = 24 und Prozentsatz p = 12 %
Gesucht: Grundwert G (100 %) = x

Der Grundwert G wird durch eine unbekannte Variable x ersetzt. Man erhält somit:

24 Käfer von einer Gesamtmenge x ist 12 %

24 von x ist 12 %

24 = 12 %

Jetzt wendet man den Dreisatz an, indem man die folgenden Rechenoperationen auf beiden Seiten der Gleichung ausführt:

12 % = 24 | :12

12:12 % = 24:12

1 % = 2 | · 100

100 % = 200

Somit erhält man den Grundwert G von 200.

Wenn man nun die rechte Seite der Gleichung betracht und die Rechenoperationen in einer Zeile zusammenfasst erhält man:

24 : 12 · 100 = 200

Dies kann man nun umformen zu:

24 · 100 : 12 = 200

Jetzt lässt sich die Division 100 : 12 als Bruch darstellen:

24 · 100 / 12 = 200

Teilt man durch einen Bruch so multipliziert man mit dessen Kehrwert. Diese Eigenschaft wird nun rückwärts angewendet und der Bruch wird als Prozentwert aufgefasst:

24 : (12 / 100) = 200

24 : 12 % = 200

Nun lassen sich alle drei Elemente der Prozentrechnung in dieser Gleichung wiederfinden. Setzt man nun verallgemeinert die Abkürzungen für das jeweilige Element ein erhält man:

24 : 12 % = 200

W : p = G

Und damit hat man eine Formel gefunden, mit der sich dieses Problem schnell lösen lässt.

G = W / p

2. Fall: Prozentwert gesucht

Gegeben: Grundwert G = 200 und Prozentsatz p = 12 %
Gesucht: Prozentwert W = x

Auch hier wendet man den Dreisatz an und verfährt wie bereits beim ersten Fall.

200 = 100 % | : 100
2 = 1 % | · 12
24 = 12 %

Mit den Rechenoperationen auf der linken Seite erhält man:

200 : 100 · 12 = 24
200 · 12 : 100 = 24
200 · (12/100) = 24
200 · 12 % = 24

Verallgemeinert ergibt dies:
G · p = W

Die zweite wichtige Formel lautet somit:

W = G · p

3. Fall: Prozentsatz gesucht

Gegeben: Grundwert G = 200 und Prozentwert W = 24
Gesucht: Prozentsatz p = x

Auch hier geht man so vor, wie bei den beiden anderen Fällen und wendet den Dreisatz an:

100 % = 200 | : 200
0,5 % = 1 | · 24
12 % = 24

Fassen wir auch hier die Rechenoperationen zusammen:

100 % : 200 · 24 = 12 %

Nun setzt man erneut die allgemeinen Bezeichnungen ein:

100 % : G · W = p

Da 100 % = 100 / 100 = 1 ist erhält man:

1 : G · W = p

Schreibt man nun die Division als Bruch:

1 / G · W = p

Zuletzt multipliziert man die linke Seite noch aus:

W / G = p

So kommen wir auf die letzte der drei wichtigen Formeln:
p = W / G

Die wichtigsten drei Formeln

Grundwert G = W / p   (der Wert, der 100 % sein soll, z. B. 500 kg)

Prozentwert W = G · p   (der Zahlenwert für den Anteil, z. B. 50 kg)

Prozentsatz p = W / G   (die Prozentangabe für den Anteil, z. B. 10 %)

Tipp: Es reicht aus eine dieser Formeln auswendig zu lernen, da man durch Umformen die jeweils anderen Formeln erhält. Die Formel für den Prozentwert W mit W = G · p bietet sich hierfür sehr gut an.

Aufgaben zur Übung

An diesen Textaufgaben soll das zuvor gelernte noch einmal gefestigt werden.

Übungsaufgabe 1:

Es gibt 20 % Rabatt auf 120 Euro teure Schuhe. Welcher Betrag muss gezahlt werden?

Lösung:

G = 120 €

p = 20 %

W ist gesucht

W = 120 € · 20 % = 120 € · 20 / 100 = 2400 / 100 € = 24 €

Antwort: Es gibt 24 Euro Rabatt, also müssen 120 Euro - 24 Euro = 96 Euro bezahlt werden.

Alternativer Lösungsweg:

20 % Rabatt heißt, dass nur 80 % bezahlt werden müssen. Berechnet man nun 80 % von 120 Euro so erhält man:

120 € · 80 %
= 120 € · 80/100
= 120 € · 0,8
96 €

Übungsaufgabe 2:

Eine Fahrradtour endet mit einem Platten. Die letzten 15 % der Strecke müssen gelaufen werden, das sind 6 km. Wie lang ist die Gesamtstrecke?

Lösung:

W = 6 km

p = 15 %

G ist gesucht.

G = 6 km : 15 %
= 6 km : 0,15
= 40 km

Antwort: Die Gesamtstrecke ist 40 km lang.

Übungsaufgabe 3:

Der Kilopreis für Gold ist von 25.500 € auf 26.520 € gestiegen. Gib die Wertsteigerung in Prozent an.

Lösung:

Wichtig ist, dass hier die Wertänderung betrachtet werden muss. Der Prozentwert W ist also die Differenz zwischen dem Goldpreis vor und dem Goldpreis nach der Wertänderung.

G = 25.500 €

W = 26.520 € - 25.500 € = 1.020 €

p ist gesucht.

p = W / G
= 1.020 € / 25.500 €
= 0,04
= 4 %

Antwort: Die Wertsteigerung beträgt 4 %.

Prozentzahlen über 100 %

Es kommt häufig vor, dass ein Prozentwert über 100 % vorzufinden ist. Hat man zum Beispiel einen Prozentwert von 200 %, dann ist dies:

200 % = 200 / 100 = 2

Der Grundwert wird also verdoppelt.

Im Allgemeinen bedeuten Prozentzahlen über 100 %, dass man in dem jeweiligen Sachverhalt mit etwas (einem "Anteil") zu tun hat, dass größer als der Grundwert ist.

Beispiel:

400 % von 500 kg

p = 400 %

G = 500 kg

W ist gesucht

W = 500 kg · 400 %
= 500 kg · 400 / 100
= 500 kg · 4
= 2000 kg

Bequeme Prozentsätze

Hier einige Prozentsätze, die sich einfach als Bruch schreiben lassen:

50 % = 1 / 2

33,333… % = 1 / 3

25 % = 1 / 4

12,5 % = 1 / 8

10 % = 1 / 10

Häufige Fehlerquellen

1. Fehlerquelle

Erhöht man einen Grundwert um einen bestimmten Prozentsatz und vermindert man das Ergebnis um den gleichen Prozentsatz, so muss man darauf achten, dass nicht mehr der Grundwert herauskommt. Ein Beispiel soll dies verdeutlichen:

Ein Wert wird um 10 % erhöht, danach um 10 % vermindert. Bleibt der Wert gleich?

Antwort: Nein, wenn der Wert ungleich 0 ist.

Beispiel:

200 € + 200 € · 10 % = 200 € + 20 € = 220 €

220 € - 220 € · 10 % = 220 € - 22 € = 198 €

198 € ist nicht gleich 200 € (!)

2. Fehlerquelle

Je nach Aufgabenstellung kann auch ein Wert gegeben sein, der nicht dem Grundwert entspricht, aber mit dem man den Grundwert berechnen kann. Häufig kommt es vor, dass dies dem Schüler nicht auffällt, und somit sofort eine der drei Formeln benutzt wird, obwohl diese noch nicht zulässig sind.

Beispiel:

Der Zahlbetrag beläuft sich auf 35 Euro. Wie hoch ist der Nettobetrag und die Mehrwertsteuer (19 %)?

Lösung:

p = 19 %

Gesucht ist W.

Wichtig ist nun: 35 Euro entsprechen nicht dem Grundwert.

Dazu macht man sich einmal die Bedeutung von Brutto und Netto klar:
Netto = 100 %
Brutto = 100 % + MwSt = 100 % + 19 % = 119 %

Da hier der Bruttobetrag gegeben ist, also 119 % muss man zunächst einmal den Grundwert berechnen:

G · 119 % = 35 Euro
G = 35 Euro : 119 %
G = 29,41 Euro (das entspricht dem Nettobetrag)

Nun lässt sich auf zwei Arten die Höhe der Mehrwertsteuer berechnen, also der Prozentwert:

W = 29,41 € · 19 % = 29,41 Euro · 0,19 = 5,59 Euro

oder

W = 119 % - 100 %
= 35 - 29,41 Euro
= 5,59 Euro (das entspricht 19 % Mehrwertsteuer)

Antwort: Die Mehrwertsteuer beträgt 5,59 Euro.

Zusatz:

In Lehrbücher findet man häufig die selben drei Formeln mit einer kleinen Änderung:

Grundwert G = W / p · 100

Prozentwert W = G · p / 100

Prozentsatz p = W / G · 100

Zu beachten ist jedoch, dass hier der Prozentsatz p als Dezimalzahl aufgefasst wird.

Statt p = 5 % findet setzt man hier p = 5 ein.

Promille

Des weiteren gibt es noch das Promillezeichen . Dieses Zeichen ähnelt dem Prozentzeichen, jedoch drückt es das Verhältnis zu 1000 aus.

Spricht man von 1 Promille so gilt:

1 ‰ = 1 /1000 = 0,001

Abschließender Hinweis

Wichtig für die Prozentrechnung ist, dass ihr richtig festlegt, was die 100 % (das Gesamte) sein sollen.

Danach wendet ihr die erlernten Formeln an:

$$ p = \frac{ W }{ G } = \frac{ Prozentwert }{ Grundwert } \\ \hspace{4pt} \\ W = G · p = Grundwert · Prozentsatz \\ \hspace{2pt} \\ G = \frac { W }{ p } = \frac { Prozentwert }{ Prozentsatz } $$

Wie im Video Teil 4 erklärt, steht in manchen Lehrbüchern noch eine ·100 bzw. :100. Dies wird jedoch nur geschrieben, wenn ihr für p eine Zahl (ohne %) einsetzt. Also z. B. anstatt 20 % (welche im Wert 0,2 ist), nur die 20 ohne Prozentzeichen, also als ganze Zahl.

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