F06: Quadratische Funktionen (Parabeln)

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Video: Einführung Parabel

Einführung quadratische Funktionen

Eine quadratische Funktion wird als solche bezeichnet, wenn eine Funktion in der Form f(x) = a·x² + b·x + c vorliegt. Das bedeutet, dass der höchste Exponent eine 2 sein muss, wie hier der Fall. Die vorgestellte Funktion liegt dabei in der sogenannten Allgemeinform vor. Später werden wir noch weitere Formen kennen lernen.

Man kann den Begriff „quadratische Funktion“ auch als Beschreibung der Parabel mit einer Funktionsgleichung verstehen. Der Begriff „Parabel“ meint den zugehörigen Graphen. Eine Parabel sieht so aus:

Normalparabel

Bei der Parabel oben handelt es sich um einen Spezialfall, die Parabel trägt daher den besonderen Namen "Normalparabel", die die kurze Funktionsgleichung f(x) = x2 aufweist.

Parabel

Erarbeiten wir uns anhand der Normalparabel, was es für Besonderheiten bei der Parabel gibt. Dabei berücksichtigen wir, dass die Allgemeinform f(x) = a·x²+b·x+c lautet, wobei für die Normalparabel a = 1, b = 0, sowie c = 0 ist und sich damit für den Spezialfall Normalparabel ergibt: f(x) = 1·x²+0·x+0 = x²

Parameter a

Konzentrieren wir uns deshalb zu Beginn, was eine Änderung des Koeffizienten a (Koeffizient ist immer der Parameter/die Zahl vor dem x) bei f(x) = a·x² bewirkt.

Fall: a > 0
Ist a > 0, dann sind alle Werte der Parabel größer 0, denn bei f(x) = a·x2 ist für jedes x das x² positiv. Erinnert euch daran, dass eine negative Zahl ins Quadrat ebenfalls positiv wird. Da nun auch a positiv ist (mit a > 0) und wir eine Multiplikation haben, ist auch das Produkt stets positiv (oder 0). Zeichnet man diese Funktion ergibt sich eine nach oben geöffnete Parabel.

Fall: a < 0
Hier liegen die gleichen Gedanken zu Grunde. Wiederum ist x² bei f(x) = a·x2 stets positiv. Nun aber ist der Vorfaktor (also der Koeffizient) negativ, was dazu führt, dass die Werte immer kleiner gleich 0 sind. Die Parabel ist also nach unten geöffnet.

Schauen wir uns den Koeffizienten a genauer an, so stellen wir fest, dass man folgende Unterscheidungen machen kann:
1. a > 1
2. a = 1
3. 0 < a < 1
4. -1 < a < 0
5. a = -1
6. a < -1

1. Fall: a > 1
Setzt man ein paar Zahlen ein, oder vergleicht den Graphen mit einer Normalparabel, dann fällt auf, dass für a > 1 die Parabel „schmaler“ wird. Man spricht auch von „in y-Richtung gestreckt“.

2. Fall: a = 1
Für a = 1 haben wir die nach oben geöffnete Normalparabel.

3. Fall: 0 < a < 1
Setzt man ein paar Zahlen ein oder vergleicht den Graphen mit einer Normalparabel, dann fällt auf, dass für 0 < a < 1 die Parabel „breiter“ wird. Man spricht auch von „in y-Richtung gestaucht“.

4. Fall: -1 < a < 0
Es ergibt sich Entsprechendes wie beim 3. Fall, nur ist die gestauchte Parabel nach unten geöffnet.

5. Fall: a = -1
Hier haben wir die nach unten geöffnete Normalparabel.

6. Fall: a < -1
Es ergibt sich Entsprechendes wie beim 1. Fall, nur ist die gestreckte Parabel nach unten geöffnet.

Die Fälle mit allen a > 0 nachstehend veranschaulicht in einem Schaubild:

Gestreckte und gestauchte Parabel sowie Normalparabel

Parameter b

Der Parameter b ist bei f(x) = a·x² + b·x + c der am schwierigsten zu fassende Parameter. Er hat keine direkte Beziehung, die es sich abzulesen lohnen würde. Mit anderen Worten, verändert ihr den Parameter b, so verschiebt sich zwar die Parabel, aber die Verschiebung ist nicht so einfach wie beim Parameter c.

Parameter c

Der Parameter c ist bei f(x) = a·x² + b·x + c insofern wichtig, als dass er uns erlaubt den y-Achsenabschnitt sofort abzulesen. Zur Erinnerung: Der y-Achsenabschnitt beschreibt den Schnittpunkt mit der y-Achse, also an der Stelle x = 0. Für c > 0 haben wir demnach eine nach oben verschobene Parabel. Für c = 0 eine Parabel, die durch den Nullpunkt geht und für c < 0 haben wir eine nach unten verschobene Normalparabel.

Scheitelpunktform

Neben der Allgemeinform f(x) = a·x²+b·x+c gibt es noch eine weitere Form, die sehr wichtig ist. Dies ist die Scheitelpunktform. Dabei ist zu wissen, dass jede Parabel einen Hochpunkt bzw. einen Tiefpunkt hat. Hochpunkt meint, der Punkt ist der höchste Punkt der Parabel. Tiefpunkt meint, der Punkt ist der tiefste Punkte der Parabel. Welcher Punkt vorliegt, kann man übrigens direkt am Vorzeichen des ersten Koeffizienten erkennen, also am a·x². Denn wenn a > 0 ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. Sie geht also „unendlich“ weit nach oben aber es gibt irgendwo einen Tiefpunkt. Entsprechendes gilt für a < 0. Diese besonderen Punkte haben auch eine besondere Bezeichnung und heißen „Scheitelpunkt“. Hat man nun die Scheitelpunktform vorliegen, so kann man den Scheitelpunkt direkt an dieser ablesen. Diese lautet:

f(x) = a·(x - v)² + n, wobei der Scheitelpunkt S(v|n) lautet.

Hat man also nun die quadratische Funktion mit f(x) = 4·(x-3)² + 2 vorgegeben, so kann der Scheitelpunkt direkt mit S(3|2) abgelesen werden. Achtet bitte immer darauf, dass ihr beim (x - v) ein Minus vor dem v zu stehen habt, demnach achtet bitte darauf, das richtige Vorzeichen bei S(v|n) zu wählen.

Abbildung der Beispielfunktion (eine verschobene gestreckte Parabel):

Verschobene gestreckte Parabel

Quadratische Ergänzung

Um mit dem Scheitelpunkt arbeiten zu können, sprich Aufgaben à la „Bestimme den Scheitelpunkt aus der Allgemeinform“ bestimmen zu können, ist es sicher hilfreich, über das Mittel der Quadratischen Ergänzung zu verfügen. Um quadratisch ergänzen zu können, muss man sich der Binomische Formeln bewusst sein. Zeigen wir anhand eines Beispiels, wie das auszusehen hat:

Es sei eine Funktion in Allgemeinform gegeben: f(x) = 3·x² + 6·x + 5. Die Aufgabe laute nun, dass man mit Hilfe der Scheitelpunktform den Scheitelpunkt bestimmen soll.

Schrittweises Vorgehen zur Lösung:

3·x²+6·x+5 | nach rechts schreiben des konstanten Glieds
3·x²+6·x+5 | “vorne“ ausklammern der 3
3·(x²+2·x)+5 | in der Klammer ergänzen, sodass man eine Binomische Formel bilden kann

Es ist hier wichtig, dass man die 1, die man hinzuaddiert, um eine binomische Formel zu erhalten, auch gleich wieder subtrahiert. Sonst würde man die Funktion ändern, also eine andere Funktion erschaffen.

3·(x²+2·x+1-1)+5 | aus dem Term in der Klammer (ohne die -1) die Binomische Formel bilden
3·((x+1)² - 1)+5 | ausmultiplizieren
3·(x+1)² - 3·1 +5 | verrechnen
3·(x+1)² + 2

Die Funktion f(x) = 3·x²+6·x+5 kann also auch durch 3·(x+1)²+2 ausgedrückt werden. Hier kann der Scheitelpunkt direkt abgelesen werden. Er lautet S(-1|2), wenn wir uns daran erinnern, dass sich dieser ergibt aus:

f(x) = a·(x-v)² + n, wobei der Scheitelpunkt S(v|n) lautet.

Hinweis: Ist man nicht in der Lage, die passende Ergänzung zur binomischen Formel zu erkennen, so sei hier noch eine Alternative für die Berechnung genannt.

Wir hatten gerade den Klammerinhalt von x²+2x vor uns. Zudem kennen wir die binomische Formel zu a²+2ab+b² = (a+b)²

Vergleichen wir das:
a²+2·a·b+b²
x²+2·x

Es muss aus dem ersten Summanden im Vergleich gelten:
a² = x²
a = x

Damit wissen wir aus dem folgenden Summanden:
2·a·b = 2·x | da a = x bekannt ist, können wir das weglassen bzw. x=a setzen und dann :a dividieren
2·b = 2 | :2
b = 1

Wir können also b zu 1 identifizieren, indem wir den zweiten Summanden gleichgesetzt haben. Aus der binomischen Formel ergibt sich damit: (x+1)², genau wie wir es oben hatten.

Nullstellen

Eine der häufigsten Aufgaben wird es sein, die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu suchen, also die Schnittpunkte mit der x-Achse anzugeben. Es gibt bei quadratischen Funktionen viele Möglichkeiten diese zu untersuchen.

Nullstellen aus der Scheitelpunktform

Die Nullstellenbestimmung sei wieder anhand eines Beispiels erklärt: „Bestimme die Nullstellen von f(x) = 3·(x-1)² - 3.“

Das erste, was nun gemacht wird, ist die Funktion 0 zu setzen. Warum dies nötig ist, haben wir bereits in den Videos kennengelernt, zur Wiederholung, wenn f(x) = 0, dann ist die Höhe also 0 und damit wird der Punkt auf der x-Achse liegen:

3·(x-1)² - 3 = 0 | +3
3·(x-1)² = 3 |:3
(x-1)² = 1 | ±√ nun wird die Wurzel gezogen. Doppeltes Vorzeichen beachten.
√(x-1)² = ±√1
x-1 = ±1 | +1
x = 1±1
x1,2 = 1±1

Es ergibt sich: x1 = 1 + 1 = 2 und x2 = 1 - 1 = 0

Nochmals kurz die Lösungsschritte zusammengefasst:
1. Funktion 0 setzen, f(x) = … = 0
2. Konstantes Glied (also ohne x) nach rechts bringen
3. Durch etwaigen Vorfaktor vor der Klammer dividieren
4. Wurzel ziehen (dabei Plus-Minus-Vorzeichen berücksichtigen)
5. Lösungen ausrechnen und aufschreiben

Nullstellen mit Hilfe der pq-Formel

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Eine Alternative zur Nullstellenbestimmung ist die pq-Formel. Hierfür muss die Funktionsgleichung allerdings in Normalform vorliegen. Die Normalform einer quadratischen Gleichung ist x²+p·x+q = 0. Wichtig ist dabei, dass der Koeffizient von x² eine 1 ist, erst dann ist es eine Normalform. Auch eine Gleichung in Allgemeinform kann in die Normalform überführt werden. Man muss nur durch a dividieren.

Die pq-Formel lautet:

$$ {x}_{1,2}=-\left(\frac{p}{2}\right) \pm \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q} $$

Machen wir wieder eine Beispielaufgabe:

„Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x) = 3x²+6x-9 mit Hilfe der pq-Formel.“

Das erste was nun gemacht wird, ist die Funktion 0 zu setzen:
3·x² + 6·x - 9 = 0 | :3, denn wir müssen dafür sorgen, dass vor x² eine 1 steht
3·x²:3 + 6·x:3 - 9:3 = 0:3
1·x² + 2·x - 3 = 0 | pq-Formel anwenden, wobei p = 2 und q = -3

$$ { x }_{ 1,2 } = -\left(\frac { 2 }{ 2 } \right) \pm \sqrt { \left(\frac { 2 }{ 2 } \right)^{ 2 }-(-3) } $$

x1,2 = -1 ± √( 1 + 3) = -1 ± √4 = -1 ± 2

Es ergibt sich: x1 = -1 + 2 = 1 und x2 = -1 - 2 = -3

Nochmals kurz zusammengefasst:
1. Funktion 0 setzen, f(x) = … = 0
2. Etwaigen Vorfaktor von x² durch dividieren entfernen (bzw. er wird 1)
3. pq-Formel zur Lösung verwenden
4. Lösung aufschreiben

Nullstellen bei speziellen quadratischen Funktionen

Es gibt Situationen, in denen man weder die Scheitelpunktform noch die pq-Formel braucht, um eine Lösung anzugeben, da es anderweitig viel einfacher geht. Einige seien nachstehend kurz vorgestellt.

Nullstellen bei f(x) = ax² - c (kein lineares Glied)

a·x² - c = 0 | +c
a·x² = c | :a
x² = c / a | ± Wurzel ziehen
x1,2 = ±√( c / a )

Nullstellen bei f(x) = ax² + bx (kein konstantes Glied)

Anstatt mit der pq-Formel zu arbeiten (was auch gehen würde), kann man sich hier an das Ausklammern erinnern:
a·x² + b·x = 0
x·(a·x+b) = 0

Nun denke man an den „Satz vom Nullprodukt“, der besagt, dass ein Produkt dann 0 ist, wenn nur ein Faktor 0 ist. Damit können wir die Gleichung faktorweise anschauen:
x·(a·x+b) = 0

Entweder ist x1 = 0
oder aber a·x+b = 0   →   a·x = -b   →   x2 = – b / a

Linearfaktoren

Der gerade erwähnte „Satz vom Nullprodukt“ ist sehr hilfreich, wenn man eine Funktion in Linearfaktoren aufschreiben will. Denn die Linearfaktordarstellung ist nichts weiter als die Aneinanderreihung der Nullstellen.

Wird die Aufgabe gestellt, die Linearfaktordarstellung von f(x) = x²+2x-3 anzugeben, so kann man die Nullstellen mit der pq-Formel oder der quadratischen Ergänzung errechnen. Diese seien hier zu x1 = -3 und x2 = 1 bestimmt. Damit lautet die Linearfaktordarstellung der Funktion:
f(x) = x²+2x-3 = (x+3)·(x-1)

Man beachte, dass, wenn man nun die Nullstellen einsetzt, das Produkt jeweils 0 ist. Also aufpassen, dass man die Nullstellen im Vorzeichen „gedreht“ einsetzt.

Weiterhin ist Vorsicht geboten, wenn man von beispielsweise f(x) = 3x²+6x-9 die Nullstellen bestimmen soll. Wir hatten die Aufgabe ja oben bereits gelöst und zur Anwendung der pq-Formel zuvor durch 3 dividiert. Das muss bei der Angabe der Linearfaktoren berücksichtigt werden. Die Nullstellen waren ja: x1 = 1 und x2 = -3. Damit ergibt sich nun für die Linearfaktordarstellung:
f(x) = 3·x²+6·x-9 = 3·(x+3)·(x-1)

Der Vorfaktor ist dabei leicht zu erkennen, es ist der Vorfaktor zugehörig zu dem x².

Formelübersicht

Nachfolgend in Kürze alle Formeln, scrollt weiter nach unten, um zu den ausführlichen Erklärungen zu kommen.

Scheitelpunktform: f(x) = a·(x - v)2 + n

Bitte beachtet, dass euch die Variable n nicht wie bei den linearen Funktionen den Schnittpunkt mit der y-Achse angibt, sondern die y-Koordinate des Scheitelpunktes S(v|n). Damit ihr hier nichts verwechselt, empfehlen wir die Schreibweise mit: S(xS|yS) und f(x) = a·(x - xS)2 + yS

Allgemeinform: f(x) = a·x2 + b·x + c

Normalform: 0 = x2 + p·x + q

p-q-Formel:

$$ { x }_{ 1,2 } = -\left(\frac { p }{ 2 } \right) \pm \sqrt { \left(\frac { p }{ 2 } \right)^{ 2 }-q } $$

Diskriminante:

$$ D = \left(\frac { p }{ 2 } \right)^{ 2 }-q $$

Satz von Vieta: p = –(x1 + x2) und q = x1 · x2

Quadratische Funktion in Linearfaktoren: f(x) = (x - x1) · (x - x2)

Quadratische Funktion in Linearfaktoren mit Streckung/Stauchung a: f(x) = a·(x - x1) · (x - x2)

In den Videoteilen 4 - 7 erfahrt ihr Folgendes:

Umwandlung von der Allgemeinform in die Scheitelpunktform bei der quadratischen Gleichung f(x) = 4x² - 16x + 14,5 mittels quadratischer Ergänzung. Und die Ermittlung von Nullstellen aus einer gegebenen Scheitelpunktform mittels Wurzelziehen.

Wir lernen die Normalform einer quadratischen Gleichung kennen:

0 = x2 + p·x + q

Wir leiten die p-q-Formel her, mit der sich die Nullstellen bei der Allgemeinform (bzw. Normalform) schnell finden lassen, und wenden sie an:

$$ { x }_{ 1,2 } = -\left(\frac { p }{ 2 } \right) \pm \sqrt { \left(\frac { p }{ 2 } \right)^{ 2 }-q } $$

Außerdem betrachten wir Sinn und Zweck der Diskriminante, die uns die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung verrät (zwei, eine oder keine Lösungen):

$$ D = \left(\frac { p }{ 2 } \right)^{ 2 }-q $$

Und wir werden sehen, wie uns der Satz von Vieta helfen kann, der aus zwei Aussagen für p und q besteht:

p = -(x1 + x2)

q = x1 · x2

Zusätzlich lernen wir in Teil 7 die Schreibweise einer quadratischen Funktion in Linearfaktoren kennen:

f(x) = (x - x1) · (x - x2)

Auch unter Berücksichtigung einer Streckung a:

f(x) = a·(x - x1) · (x - x2)

Falls ihr die abc-Formel (sogenannte Mitternachtsformel) in den Videos vermisst, diese findet ihr sehr gut erklärt in der Lektion G26: Quadratische Gleichungen. Die Formel lautet:

$$ { x }_{ 1,2 }=\frac { -b\pm \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac}}{2a}$$

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