F04: Schnittpunkt von zwei linearen Graphen

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Video: Einführung Schnittpunkt linearer Graphen

Schnittpunkte bei linearen Funktionen

Wie bereits bekannt ist, ist die Normalform einer linearen Funktion anzugeben als:

f(x) = m·x + n

Wenn man nun zwei lineare Funktionen hat, kann man die gegenseitige Lage zueinander untersuchen. Es ergeben sich drei Fälle:

  1. Genau einen Schnittpunkt
  2. Keinen Schnittpunkt
  3. Unendlich viele Schnittpunkte

Schauen wir uns die Fälle genauer an.

Lösungsmöglichkeiten

Hat man zwei lineare Graphen und ist an ihrer Lage zueinander interessiert, so müssen die Funktionsgleichungen gleichgesetzt werden. Gleichsetzen heißt, ihr müsst sie in Form einer Gleichung nebeneinander schreiben: f(x) = g(x). Löst man die sich daraus ergebende Gleichung, können mehrere Fälle auftreten:

1. Es kommt genau eine Lösung heraus. → Wir haben genau einen Schnittpunkt.

2. Die Gleichung ist unwahr (keine Lösung). → Wir haben keinen Schnittpunkt. Man spricht von parallel.

3. Die Gleichung ist immer wahr (unendlich viele Lösungen). → Die Geraden sind identisch.

Im Folgenden ein paar Beispiele um alle Fälle durchzusprechen:

1. Eine Lösung

f(x) = 2·x + 4 und g(x) = 7·x + 2 sind gegeben. Um die Lage zueinander zu überprüfen wird nun gleichgesetzt.

f(x) = g(x)
2·x + 4 = 7·x + 2 |-2 - 2·x
5·x = 2 |:5
x = 0,4

Die Gleichung hat also genau eine Lösung. Das spricht für einen Schnittpunkt. Wir haben bisher den x-Wert des Punktes gefunden. Um den gemeinsamen Punkt vollständig anzugeben, muss man den x-Wert in eine der beiden Geradengleichungen einsetzen (in welche ist egal, bei beiden kommt das gleiche heraus, probiere es einfach aus).

f(0,4) = 2·0,4 + 4 = 4,8
Der gemeinsame Punkt lautet also: S(0,4 | 4,8).

2. Keine Lösung

f(x) = 2·x + 4 und h(x) = 2·x + 1 sind gegeben. Um die Lage zueinander zu überprüfen wird nun wieder gleichgesetzt.

f(x) = h(x)
2·x + 4 = 2·x + 1 |-2·x
4 = 1

Die Aussage passt so nicht, sie ist falsch, die Gleichung hat also keine Lösung. Graphisch bedeutet dies, dass die beiden Geraden parallel zueinander liegen. Das hätte man auch direkt zu Beginn daran gesehen, dass beide lineare Funktionen in der Normalform vorliegen (also f(x) = m·x + n) und die Steigung bei beiden dieselbe ist mit m=2, während sich der y-Achsenabschnitt unterscheidet. Das sollte man sich merken, da das ein gleichsetzen unnötig macht. Schau also zuerst direkt auf die Steigung m und sieh dir den y-Achsenabschnitt n an.

3. Unendlich viele Lösungen

f(x) = 2·x + 4 und k(x) = 2·x + 4 sind gegeben. Setzen wir beide wieder gleich:
f(x) = k(x)
2·x + 4 = 2·x + 4
0 = 0

Diese Gleichung ist also für jedes x erfüllt, das heißt, egal welchen x-Wert wir einsetzen, auf beiden Seiten der Gleichung kommt immer der gleiche Wert heraus. Wie man auch direkt zu Beginn gesehen hat, sind die beiden Funktionen genau gleich. Die Geraden sind also identisch.

Veranschaulichung am Graphen

In der folgenden Abbildung sind alle Funktionsgraphen zu sehen.

Schnittpunkt linearer Graphen

Spezialfall: Zueinander orthogonale Geraden

Ein besonderer Fall bei sich schneidenden Graphen soll noch erwähnt werden. Wenn bei einem Schnittpunkt die beiden linearen Graphen (die Geraden) senkrecht zueinander stehen, so spricht man von "orthogonal" zueinander (Orthogonalität von Geraden). In diesem besonderen Fall gilt m1·m2 = -1. Das heißt, wenn es Aufgabe ist, auf Orthogonalität zu überprüfen, dann müsst ihr überprüfen, ob das Produkt der beiden Steigungen m1·m2 = -1 ist.

Ein Beispiel:

Orthogonale Graphen

f(x) = 2·x + 4 und p(x) = -0,5·x - 2 sind gegeben. Überprüfen wir, ob ein Schnittpunkt vorliegt und ob die beiden Geraden orthogonal zueinander stehen (also senkrecht zueinander sind).

f(x) = p(x)
2·x + 4 = -0,5·x - 2 |-4 +0,5·x
2,5·x = -6 |:2,5
x = -2,4

Sie haben also einen gemeinsamen Schnittpunkt an der Stelle x = -2,4. Ermitteln wir noch den y-Wert, indem wir den x-Wert einsetzen: f(-2,4) = 2·(-2,4) + 4 = -0,8 und erhalten damit P(-2,4|-0,8).

Da wir einen Schnittpunkt haben, können wir nun noch auf Orthogonalität prüfen. Dazu multiplizieren wir die Steigungen und schauen, ob sich -1 ergibt.
mf·mg = 2·(-0,5) = -1

Tatsächlich liegen die beiden Geraden orthogonal (senkrecht) zueinander. Dies ist bei P(-2,4|-0,8) der Fall.

Zueinander orthogonale Geraden: Herleitung der Orthogonalitätsbedingung

Zum Nachweis, dass zwei Geraden senkrecht zueinander stehen (orthogonal sind) haben wir die Formel mf · mg = -1 verwendet. In Worten ausgedrückt: Wir müssen beide Steigungen multiplizieren und es muss -1 herauskommen, dann sind die Geraden senkrecht zueinander. Dass das gilt, können wir auf verschiedene Arten nachweisen. Dazu gibt es mehrere Herangehensweisen. Zwei Varianten seien vorgestellt:

Beweis 1:

Mit Hilfe des Höhensatzes von Euklid, den wir in Lektion Rechtwinklige Dreiecke und Satz des Pythagoras kennengelernt haben, können wir den Nachweis führen. Der Höhensatz lautet h² = p · q. Schauen wir uns im Folgenden eine Dreiecksgrafik an, bei der die Höhe h und die Teilstrecken p und q eingetragen sind. Dabei haben wir das rechtwinklige Dreieck gedreht, was keine Auswirkungen auf den Höhensatz hat:

Höhensatz des Euklid

Wenn man sich die beiden Teildreiecke anschaut, so kann man diese als zwei Steigungsdreiecke interpretieren. Legen wir das Dreieck an den Schnittpunkt von zwei sich schneidenden Geraden:

Lineare Geraden und Steigungsdreiecke

Wenn wir ein Steigungsdreieck haben, so wird oft der Teil auf der x-Achse mit 1 gewählt (unsere Strecke h in der Grafik). Tun wir das auch hier (dieser gewählte Fall hat keinen Einfluss auf den Gesamtbeweis, er gilt auch für andere Fäll, man sagt übrigens dazu "ohne Beschränkung der Allgemeinheit"). Setzen wir also h = 1. Dann entsprechen p und q direkt unseren Steigungen, die nach oben oder unten abgetragen werden: mf und mg. Da mg nach unten orientiert ist, versehen wir es mit einem negativen Vorzeichen. An dieser Stelle kann man sich merken, dass eine um 90° gedrehte Gerade stets einen Vorzeichenwechsel erfährt, daher werden mf und mg immer Plus- und Minus-Vorzeichen haben. Wir können nunmehr festhalten:

Lineare Geraden und Höhensatz

Stellen wir den Höhensatz auf:

h² = p · q   | p = mf und q = -mg
h² = mf · (-mg)
(1)² = mf · (-mg)
1 = mf · (-mg)

Das können wir noch umformen, indem wir durch (-1) dividieren, wir erhalten: -1 = mf · mg, was genau der bereits genutzten Bedingung für Orthogonalität entspricht.

Beweis 2:

Haben wir eine beliebige Gerade f (blau), so können wir die Steigung dieser Geraden mit \( m_f = \frac{\color{blue}{\triangle y}}{\color{red}{\triangle x}} \) angeben (Steigungsdreieck). Wenn wir nun diese Gerade nehmen und um 90° drehen, so können wir wiederum ein Steigungsdreieck einzeichnen.

Es fällt auf, dass sich hier gerade \(\color{red}{\triangle x}\) und \(\color{blue}{\triangle y}\) vertauschen (dreht diese mit um 90°). Zudem ändert das Steigungsdreieck seine Richtung und damit die Steigung ihr Vorzeichen. Die neue Gerade g (grün) hat also die Steigung \(m_g = -\frac{\color{red}{\triangle x}}{\color{blue}{\triangle y}}\). Wenn man nun beide Steigungen durch Multiplikation in Beziehung bringt, so erhält man:

$$ m_f\cdot m_g = \frac{\color{red}{\triangle x}}{\color{blue}{\triangle y}}\cdot \left(-\frac{\color{blue}{\triangle y}}{\color{red}{\triangle x}}\right) = -1 $$

Dies ist der zweite Nachweis für die Orthogonalitätsbedingung bei Geraden.

Nun haben wir zwei Beweise kennengelernt, die uns den Nachweis für die Orthognalität über \(m_g \cdot m_f = -1\) tatsächlich erlaubt.

Übung macht den Meister

Wiederholen wir das Wissen noch einmal, formulieren jedoch ein wenig kürzer: Um den Schnittpunkt zweier Graphen zu ermitteln, müsst ihr deren Gleichungen gleichsetzen. Das heißt, ihr müsst sie in Form einer Gleichung nebeneinander schreiben:

f(x) = g(x)

Dann setzt ihr die bekannten Gleichungen ein. Als Beispiele seien gegeben: f(x) = 3·x + 4 und g(x) = 1·x - 2. Ihr schreibt demnach:

f(x) = g(x)
3·x + 4 = 1·x - 2

Danach umformen, wie wir es in der Lektion Terme, Termumformung, Gleichungen umstellen gelernt hatten, sodass wir den x-Wert für unseren Schnittpunkt erhalten:

3·x + 4 = 1·x - 2
2·x + 4 = -2
2·x = -6
x = -3

Anschließend erhalten wir den y-Wert für den Schnittpunkt, indem wir den errechneten x-Wert (x = -3) in die Gleichung für f oder g einsetzen und ausrechnen:

f(x) = 3·x + 4
f(-3) = 3·(-3) + 4
f(-3) = -9 + 4
f(-3) = -5

Oder alternativ für die Funktionsgleichung von g:

g(x) = 1·x - 2
g(-3) = 1·(-3) - 2
g(-3) = -3 - 2
g(-3) = -5

Wie ihr seht, kommt für beide Gleichungen ein y-Wert von -5 heraus.

Der Schnittpunkt ist also: S ( -3 | -5 )

Und nicht vergessen:

Stellt ihr zwei Funktionsgleichungen gegenüber und erhaltet keinen Wert für x (wie im 2. Videoteil gezeigt), dann:

Variante A - Liegen die beiden Geraden aufeinander (ihre Gleichungen führen für jedes x zum selben Ergebnis y). Beim Umformen der Gleichung aus f(x) = g(x) bleibt kein x übrig. Außerdem sind die Werte gleich, die auf beiden Seiten der Gleichung übrig bleiben! Beispielsweise 3 = 3.

Variante B - Sind die beiden Geraden parallel zueinander. Ihr werdet nach dem Umformen der Gleichung aus f(x) = g(x) kein x mehr haben, sondern nur zwei Werte, die sich voneinander unterscheiden. Also zum Beispiel 4 = 1.

Frage: Warum bleibt bei beiden Gleichungen eigentlich kein x übrig?
Richtig, weil die Steigungen bei beiden Gleichungen gleich sind und sich somit beim Umstellen "wegsubtrahieren".

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