TRI02: Sinus und Kosinus

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Video: Einführung Sinus und Kosinus

Einleitung

Vorab sei erwähnt, dass wir in dieser Lektion nur rechtwinklige Dreiecke betrachten. Ein Winkel im Dreieck muss also 90° groß sein, meist wird er als Gamma γ bezeichnet, damit sind die beiden anderen Winkel Alpha α und Beta β kleiner als 90°. Erinnert euch an den Innenwinkelsummensatz: α + β + γ = 180° und wenn γ = 90°, dann α + β + 90° = 180° und α + β = 90°.

Bezeichnungen am rechtwinkligen Dreieck: Hypotenuse, Gegenkathete und Ankathete

Vielen Schülern fällt der Einstieg in die Trigonometrie schwer, da sie schon bei den Bezeichnungen am Dreieck Schwierigkeiten haben. Klären wir also einfach auf:

Die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck wird immer "Hypotenuse" genannt (der Begriff bedeutet "die Ausgestreckte"). Die anderen beiden Seiten werden allgemein "Katheten" genannt.

Dreieck mit Hypotenuse und Katheten

Jetzt kommt es darauf an, welchen Winkel α oder β wir uns betrachten. Je nach gewähltem Winkel kann jede Kathete entweder Ankathete oder Gegenkathete heißen.

Wählen wir uns Beta β aus, dann ergibt sich:

Dreieck mit Beta und Gegenkathete und Ankathete

Wir erkennen, dass die Seite, die dem Winkel β direkt gegenüber liegt, die Gegenkathete ist. Und dass die Seite, die dem Winkel β anliegt die Ankathete ist.

Wählen wir uns Alpha α aus, dann ergibt sich:

Dreieck mit Alpha und Gegenkathete und Ankathete

Wir erkennen, dass die Seite, die dem Winkel α direkt gegenüber liegt, die Gegenkathete ist. Und dass die Seite, die dem Winkel α anliegt die Ankathete ist.

Bedenkt, dass wir die Dreiecke auch drehen können und die Bezeichnungen dabei gleich bleiben:

Dreieck Ankathete Gegenkathete Animation

Merkt euch: An einem Winkel liegen stets Ankathete und Hypotenuse an. Die Gegenkathete berührt den Winkel nie!

Der längsten Seite, der Hypotenuse liegt immer der rechte Winkel gegenüber. Bzw. dem rechten Winkel liegt immer die längste Seite gegenüber.

Verhältniswerte am rechtwinkligen Dreieck (Sinus)

Wenn wir uns ein Dreieck nehmen und die Winkel gleich lassen, jedoch die Größe des Dreiecks ändern (die Seitenlängen verändern sich), stellen wir fest:

Dreiecke mit Winkel 30 Grad

dass das Verhältnis von Gegenkathete zur Hypotenuse immer gleich bleibt. Zur Erinnerung: Um ein Verhältnis zu bilden, dividiert man, in unserem Fall die Gegenkathete durch die Hypotenuse, also GK / HY.

Für das obige Beispiel haben wir bei einem Winkel von 30° die Verhältnisse: GK / HY = 3 cm / 6 cm = 4 cm / 8 cm = 5 cm / 10 cm = 0,5. Also immer 0,5 und zwar egal, welche Dreiecksgröße wir wählen.

Dreieck Verhältniswerte Sinus

Dieses Verhältnis nennt man nun den Sinuswert und man schreibt: sin(30°) = 0,5

Die Formel für den Sinus lautet allgemein:
sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse

Das Schöne ist, dass dieser Wert uns angibt, wie lang die Gegenkathete im Vergleich zur Hypotenuse ist. Haben wir einen Winkel von 30° und wir wissen, die Hypotenuse ist 8 cm lang, so können wir aufstellen: sin(30°) = 0,5 = GK/HY. Damit GK = 0,5·HY. Die Gegenkathete ist also 0,5 mal so lang wie die Hypotenuse (0,5 = 50 % von ihrer Länge). Mit den Werten: GK = 0,5·HY = 0,5·8 cm = 4 cm (Länge der Gegenkathete).

Verhältniswerte am rechtwinkligen Dreieck (Kosinus)

Jetzt können wir statt dem Verhältnis Gegenkathete / Hypotenuse das Verhältnis aufstellen: Ankathete / Hypotenuse.

Werfen wir noch einmal einen Blick auf die Werte bei den verschiedengroßen Dreiecken, die alle den Winkel Beta 30° gemeinsam haben:

Dreiecke mit Winkel 30 Grad

Es zeigen sich folgende Verhältniswerte: AK / HY = 5,19 cm / 6 cm = 6,92 cm / 8 cm = 8,67 cm / 10 cm ≈ 0,867. Also immer 0,867 und zwar egal, welche Dreiecksgröße wir wählen.

Dreieck Verhältniswerte Kosinus

Dieses Verhältnis nennt man nun den Kosinuswert und man schreibt: cos(30°) ≈ 0,867

Die Formel für den Kosinus lautet allgemein:
cos(α) = Ankathete / Hypotenuse

Auch hier gibt uns der Wert an, wie lang die Ankathete im Vergleich zur Hypotenuse ist. Haben wir einen Winkel von 30° und wir wissen, die Hypotenuse ist 10 cm lang, so können wir aufstellen: cos(30°) = 0,867 = AK/HY. Damit AK = 0,867·HY. Die Ankathete ist also 0,867 mal so lang wie die Hypotenuse (0,867 = 86,7 % von ihrer Länge). Mit den Werten: AK = 0,867·HY = 0,867·10 cm = 8,67 cm (Länge der Ankathete).

Formeln für Sinus und Kosinus

Wir haben also ermittelt:

Formel für den Sinus: sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse

Formel für den Kosinus: cos(α) = Ankathete / Hypotenuse

Sinustabelle von 0° bis 90°

sin(30°) = GK/HY = 0,5 hatten wir berechnet. Tatsächlich gibt es für jeden Winkel einen Sinuswert. Die folgende Tabelle zeigt uns die Sinuswerte von 0° bis 90° in Zehnerschritten:

Winkel Sinuswert Sinuswert gerundet
0,0000,000
10°0,173648177666930,174
20°0,3420201433256690,342
30°0,5000,500
40°0,6427876096865390,643
50°0,7660444431189780,766
60°0,8660254037844390,866
70°0,9396926207859080,940
80°0,9848077530122080,985
90°1,0001,000

Bei einem Winkel von 0° hat die Gegenkathete eine Länge von 0 cm. Wir berechnen sin(0°) = GK / HY = 0 / HY = 0. Daher ist sin(0°) = 0.

Bei einem Winkel von 90° ist die Gegenkathete genauso lang wie die Hypotenuse. Das heißt, wir berechnen sin(90°) = (GK) / HY = (HY) / HY = 1. Daher ist sin(90°) = 1.



Kosinustabelle von 0° bis 90°

cos(30°) = AK/HY ≈ 0,867 hatten wir berechnet. Tatsächlich gibt es für jeden Winkel einen Kosinuswert. Die folgende Tabelle zeigt uns die Kosinuswerte von 0° bis 90° in Zehnerschritten:

Winkel Kosinuswert Kosinuswert gerundet
1,0001,000
10°0,9848077530122080,985
20°0,9396926207859080,940
30°0,8660254037844390,866
40°0,7660444431189780,766
50°0,6427876096865390,643
60°0,5000,500
70°0,3420201433256690,342
80°0,173648177666930,174
90°0,0000,000

Bei einem Winkel von 0° ist die Ankathete genauso lang wie die Hypotenuse. Das heißt, wir berechnen cos(0°) = (AK) / HY = (HY) / HY = 1. Daher ist cos(90°) = 1.

Bei einem Winkel von 90° hat die Ankathete eine Länge von 0 cm. Wir berechnen cos(0°) = AK / HY = 0 / HY = 0. Daher ist cos(90°) = 0.


Merkt euch: Jeder Winkel hat einen eindeutigen Sinuswert bzw. Kosinuswert.


Hypotenuse mit Länge 1

Interessant wird es übrigens, wenn wir die Hypotenuse auf die Länge = 1 festlegen, denn dann lassen sich die Sinus- und Kosinuswerte an den Längen der Katheten ablesen. Das macht man sich insbesondere beim Einheitskreis zu nutze.

sin(α) = GK / HY = GK / 1 = GK

cos(α) = AK / HY = AK / 1 = AK


Arkussinus - Winkel aus gegebenem Sinuswert bestimmen

Wenn ihr einen Sinuswert kennt, könnt ihr sofort mit Hilfe des Arkussinus den Winkel berechnen. Der Arkussinus ist die Umkehrfunktion des Sinus. Der Sinus wandelt einen Winkel in einen Sinuswert, der Arkussinus wandelt einen Sinuswert in einen Winkel.

Man schreibt arcsin, asin oder sin-1, alle drei Schreibweisen meinen das gleiche. Beachtet bitte, dass sin-1 nicht 1/sin1 wie bei den Potenzen bedeutet. Es meint die Umkehrfunktion, also die Umkehrung von Sinus.

Kennen wir den Sinuswert von 0,342 und wollen den dazugehörigen Winkel bestimmen, schreiben wir arcsin(0,342) = α und geben das wie folgt in den Taschenrechner ein: SHIFT, dann SIN, dann 0,342, dann =. Hier eine Animation:

Taschenrechner Eingabe Arkussinus

Das Ergebnis ist rund 20°.


Arkuskosinus - Winkel aus gegebenem Kosinuswert bestimmen

Wenn ihr einen Kosinuswert kennt, könnt ihr sofort mit Hilfe des Arkuskosinus den Winkel berechnen. Der Arkuskosinus ist die Umkehrfunktion des Kosinus. Der Kosinus wandelt einen Winkel in einen Kosinuswert, der Arkuskosinus wandelt einen Kosinuswert in einen Winkel.

Man schreibt arccos, acos oder cos-1, alle drei Schreibweisen meinen das gleiche.

Kennen wir den Kosinuswert von 0,94 und wollen den dazugehörigen Winkel bestimmen, schreiben wir arccos(0,985) = α und geben das wie folgt in den Taschenrechner ein: SHIFT, dann COS, dann 0,985, dann =. Hier eine Animation:

Taschenrechner Eingabe Arkuskosinus

Das Ergebnis ist rund 10°.


Sinus- und Kosinuswerte bei "runden" Winkeln als Brüche

Es gibt bestimmte Verhältniswerte, die man mit Hilfe von Brüchen darstellen kann. Diese kann man herleiten, indem man sich das Dreieck am Einheitskreis betrachtet. Erinnert euch auch an die Chordwerte bei der Einführungslektion, wo ebenfalls Dreiecke verwendet wurden.

Winkel Sinus Kosinus
$$ 0^\circ $$$$\frac { \sqrt{0} }{ 2 }$$ $$\frac { \sqrt{4} }{ 2 }$$
$$ 30^\circ $$$$\frac { \sqrt{1} }{ 2 }$$ $$\frac { \sqrt{3} }{ 2 }$$
$$ 45^\circ $$$$\frac { \sqrt{2} }{ 2 }$$ $$\frac { \sqrt{2} }{ 2 }$$
$$ 60^\circ $$$$\frac { \sqrt{3} }{ 2 }$$ $$\frac { \sqrt{1} }{ 2 }$$
$$ 90^\circ $$$$\frac { \sqrt{4} }{ 2 }$$ $$\frac { \sqrt{0} }{ 2 }$$


Anwendung von Sinus zur Dreiecksberechnung

Wenn ihr eine Aufgabe bekommt, bei der eine Seite des rechtwinkligen Dreiecks bekannt ist und ein Winkel, dann könnt ihr die unbekannten Seiten bestimmen.

Beispielaufgabe: Gegeben sind Winkel α = 70° und Seite a = 5 cm

Lösungschritte:

1. Zuerst das Dreieck anschauen, wo liegen der Winkel α und die Seite a.

Rechtwinkliges Dreieck mit Punkten, Seiten, Winkeln

2. Wir sehen, dass Seite a dem Winkel α gegenüberliegt, also ist Seite a die Gegenkathete von Winkel α. Wir kennen also Winkel und Gegenkathete und nehmen daher den Sinus.

3. Stellen wir auf: sin(α) = GK / HY

4. Setzen wir die Werte ein und rechnen aus:
sin(α) = GK / HY
sin(α) = a / c
sin(70°) = 5 cm / c   | nun stellen wir die Gleichung um
sin(70°) = 5 cm / c   | · HY
sin(70°) · c = 5 cm   | : sin(70°)
c = 5 cm : sin(70°)   | das in den Taschenrechner eingeben: 5 * SIN 70 (darauf achten, dass DEG und nicht RAD eingestellt sind)
c = 5,3208888623795607... cm
c ≈ 5,321 cm

Die Eingabe sei kurz am Taschenrechner gezeigt (dort seht ihr auch, wo man den Modus "DEG" einstellen muss):

Sinusaufgabe Eingabe Taschenrechner

DEG steht übrigens für DEGree und meint das Gradmaß (Kreis in 360° eingeteilt). RAD steht für RADiant und meint das Bogenmaß (Kreis in 2·π rad eingeteilt).

Jetzt haben wir Seite a und c sowie Winkel α vorzuliegen. Wir wissen außerdem, dass Winkel γ = 90° ist. β können wir über den Innenwinkelsummensatz bestimmen:

5. Winkel β berechnen
α + β + γ = 180°
70° + β + 90° = 180°
β = 180° - 70° - 90°
β = 20°

Fehlt nur noch die Seite b. Hier können wir nun wieder den Sinus nehmen, und zwar (blickt auf die Dreiecksgrafik oben) ist b die Gegenkathete von Winkel β. Die Hyoptenuse c ist uns bekannt. Wir stellen also auf:

6. Seite b berechnen:
sin(β) = GK / HY
sin(β) = b / c
sin(20°) = b / 5,321 cm   | · 5,321 cm
b = sin(20°)·5,321 cm   | das in den Taschenrechner eingeben: SIN 20 * 5,321 (darauf achten, dass DEG und nicht RAD eingestellt sind)
b = 1,81988918263588333... cm
b ≈ 1,82 cm

7. Fertig, wir haben alle Winkel und Seiten bestimmt: α = 70°, β = 20°, γ = 90°, a = 5 cm, b = 1,82 cm, c = 5,321 cm

8. Wer sich unsicher ist, gibt drei der berechneten Werte hier im Dreiecksrechner ein und prüft, ob sich die anderen Werte ergeben. Dies ist bei uns der Fall, wir haben richtig gerechnet.

Analog lassen sich mit Kosinus die Berechnungen für die Dreiecksseiten ausführen.

Wortherkunft: Sinus

Kurz sei erwähnt, woher das Wort Sinus überhaupt kommt.

"jya-ardha" ist ein Wort aus dem Sanskrit und heißt "Sehne-halbe". Daraus entwickelte sich das Wort "jiva". Arabische Gelehrte haben das Wort ins Arabsiche direkt übernommen und aus "jiva" wurde dann "jb" (also "jiba" oder "jaib"). Dieses Wort hat im Arabischen jedoch eine andere Bedeutung, und zwar "Busen/Bogen" (jaib). Dieses Wort wurde wiederum ins Lateinische direkt übertragen und "Bogen" heißt auf Lateinisch "Sinus". So wurde also durch die fehlerhafte Übersetzung aus der "halben Sehne" der "Bogen".

Wortherkunft: Kosinus

Vorab sei gesagt, man schreibt "Kosinus" oder "Cosinus", wobei die Variante mit "K" vom Duden empfohlen wird. Die Schreibvariante Cosinus ist jedoch häufiger an Hochschulen zu finden.

Kosinus ist eine Kombination aus Ko- und Sinus. Ko- steht dabei für Komplementär, also bedeutet Kosinus = Komplementär-Sinus. Das meint den Sinus des Komplementärwinkels. Der Komplementärwinkel ist der Winkel, der mit einem anderen Winkel zusammen 90° ergibt. α + β = 90°. α ist Komplementärwinkel von β, und β ist Komplementärwinkel von α.

sin(30°) = 0,5 und cos(60°) = 0,5
sin(30°) = cos(60°) = 0,5
sin(30°) = cos(90° - 30°) = 0,5

Berechnung der Sinus- und Kosinuswerte

Die Werte von Sinus und Kosinus können nicht so einfach berechnet werden. Hierzu ist höhere Mathematik notwendig, und zwar benutzt man dazu meist die sogenannten Taylorreihen oder die Produktentwicklung. Die meisten Taschenrechner haben die Sinus- und Kosinuswerte als Tabellen im internen Speicher hinterlegt.

Sinus und Kosinus im Alltag

Auch wenn es uns nicht oft auffällt, viele technische Geräte, viele Mechanismen benutzen die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus. Genauso wie viele mathematische Verfahren. Ein paar Beispiele:

  • GPS - Global Positioning System (Positionsbestimmung mit Hilfe von Satelliten)
  • Computergrafiken in 3D und 2D
  • drehendes Objekt im Computerspiel
  • Spracherkennung
  • Landvermessungen
  • Fourier Transformation (z. B. Anwendung beim Spektroskop für Chemiker)
  • Astronomen nutzten Spektroskope, um chemische Zusammensetzungen von weit entfernten Planeten zu bestimmen
  • FFT - Fast Fourier Transformation für Bildkompression, Audioverarbeitung, mp3-Algorithmus, seismische Datenverarbeitung etc.

Die Trigonometrie findet nahezu in allen Wissenschaften Anwendung.

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