TRI03-1: Sinussatz

Einführung: Sinus und Kosinus bei allgemeinen Dreiecken

Wir hatten in der Lektion Sinus und Kosinus gelernt, dass der Sinus/Kosinus nur für rechtwinklige Dreiecke definiert ist. Jetzt fragt sich, ob wir Sinus und Kosinus auch bei allgemeinen Dreiecken verwenden können. Zur Erinnerung: Ein allgemeines Dreieck ist ein beliebiges Dreieck, bei dem die Winkel beliebige Werte annehmen können. Zum Beispiel:

Beim Betrachten von allgemeinen Dreiecken fällt auf, dass wir jedes allgemeine Dreieck durch das Einzeichnen einer Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke aufteilen können:

Damit lässt sich jedes allgemeine Dreieck über die beiden rechtwinkligen Teildreiecke berechnen, also dessen Seiten, Winkel und Flächen. Wir können uns diese Arbeit aber abkürzen:

Herleitung vom Sinussatz

Erinnern wir uns, wie der Sinus definiert ist: sin(α) = Gegenkathete / Hypothenuse = GK / HY. Wer sich nicht daran erinnert, schaut sich unbedingt die Sinus-Lektion jetzt noch mal an.

Wenn wir nun den Sinus für die beiden rechtwinkligen Teildreiecke in der Abbildung aufstellen, so erhalten wir:

sin(α) = GK / HY = hc / b

sin(β) = GK / HY = hc / a

Lasst uns beide Gleichungen nach hc umstellen:

sin(α) = hc / b → hc = b·sin(α)

sin(β) = hc / a → hc = a·sin(β)

Als nächstes setzen wir hc gleich:

hc = hc

b·sin(α) = a·sin(β) | umstellen mit : sin(α)

b = a·sin(β) : sin(α) | umstellen mit : sin(β)

b:sin(β) = a:sin(α)

a / sin(α) = b / sin(β)

Und das ist schon der erste Teil des Sinussatzes.

Bringen wir Seite c und sin(γ) noch in die Gleichung hinein. Wir zeichnen die Höhe ha ein und stellen danach die entsprechende Gleichung auf:

sin(γ) = GK / HY = ha / b → ha = sin(γ) · b

sin(β) = GK / HY = ha / c → ha = sin(β) · c

ha = ha

sin(γ) · b = sin(β) · c | :b und :c

sin(γ) / c = sin(β) / b | Kehrwert

c / sin(γ) = b / sin(β)

Und jetzt können wir in Zusammenhang bringen, wenn:

a / sin(α) = b / sin(β) und c / sin(γ) = b / sin(β), dann gilt:

a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ)

Der Sinussatz

$$ \frac{a}{sin(α)} = \frac{b}{sin(β)} = \frac{c}{sin(γ)} $$

Und genau das ist der Sinussatz. Man kann ihn formulieren als: Die Dreiecksseiten verhalten sich wie die Sinuswerte ihrer Gegenwinkel.

Die Herleitung in einer Grafik zusammengefasst:

Sinussatz Herleitung komplett

An dieser Stelle kann man gleichsetzen und erhält:

h = h

sin(γ) · a = sin(α) · c

Dann noch umstellen und wir erhalten den Sinussatz für a und c:

sin(γ) · a = sin(α) · c    | :a und :c

sin(γ) : c = sin(α) : a    | :a und :c

Noch als Bruch notiert:

sin(γ) / c = sin(α) / a

Entsprechend leitet man sich das Verhältnis für b und Winkel β her.

Sinus bei Winkeln über 90°

Wir hatten in der Lektion Sinus und Kosinus gesehen, dass man Sinus/Kosinus an rechtwinkligen Dreiecken definiert, dadurch ist man beschränkt auf einen 90°-Winkel und zwei Winkel zwischen 0° und 90°. Jetzt fragt sich, ob es eine Möglichkeit gibt, den Sinus auch für Winkel größer als 90° zu berechnen und wie man dies definiert.

Hierzu definiert man die Höhe des Dreiecks als Gegenkathete, auch wenn sie außerhalb liegen sollte (wie bei einem stumpfwinkligen Dreieck):

So erhält man ein rechtwinkliges Referenzdreieck, das uns hilft, den Sinus zu bestimmen. Nun wird festgelegt:

sin(α') = hc / b = sin(α)

Der Sinuswert für den überstumpfen Winkel α (α > 90°) wird also über Winkel α' beim "außenliegenden" rechtwinkligen Dreieck bestimmt.

Zum Beispiel ist bei sin(130°) der Sinuswert sin(130°) = sin(180°-130°) = sin(50°) = 0,766. Anders ausgedrückt: Die Gegenkathete hc ist 0,766 mal so lang wie die Hypotenuse b.

Identitäten beim Dreieck

Mit diesem Wissen kommen wir zu den sogenannten Identitäten. Beispiel:

Identität für Sinus:
sin(60°) = sin(120°) → sin(180°-60°)
sin(50°) = sin(130°) → sin(180°-50°)
sin(40°) = sin(140°) → sin(180°-40°)

sin(α) = sin(180° - α)

Weitere Identität für Sinus:
sin(120°) = sin(60°) → sin(90° + 30°) = sin(90° - 30°)
sin(130°) = sin(50°) → sin(90° + 40°) = sin(90° - 40°)
sin(140°) = sin(40°) → sin(90° + 50°) = sin(90° - 50°)

sin(90° + α) = sin(90° - α)

Identität für Kosinus:
cos(120°) = -0,5
cos(90°+30°) = 0,5
cos(60°) = 0,5 | ·(-1)
-cos(60°) = -0,5 = cos(120°)
-cos(90°-30°) = -0,5 = cos(90°+30°)
cos(90° - α) = cos(90° + α)

Die Identitäten lernen wir genauer in der Lektion TRI07 Einheitskreis kennen.

Wichtig ist jedoch, dass wir uns merken, dass ein Sinuswert zwei Winkeln (bei 0° bis 180°) zugeordnet werden kann. Als Beispiel: sin(45°) = 1 = sin(135°) = sin(180° - 45°)

Sinussatz oder Kosinussatz anwenden?

Je nach den gegebenen Werten in der Aufgabe muss man entscheiden, welchen Satz man anwendet. Hierzu eine kleine Tabelle:

Gegeben Direkt zu berechnen Lösungsweg
3 Seiten (SSS) 1 Winkel Kosinussatz
2 Seiten und eingeschlossener Winkel 1 Seite Kosinussatz
2 Seiten und gegenüberliegender Winkel (SSWg) 1 Winkel (gegenüber der kleineren Seite) Sinussatz
1 Seite und 2 Winkel (SWW) 1 Seite Sinussatz
3 Winkel (WWW) nicht lösbar, unendlich viele Möglichkeiten -

Die nächste Übersicht zeigt konkret auf, welche gegebenenen Werte wir haben und wie wir zu der fehlenden Seite bzw. Winkel gelangen:

Alle Seiten und Winkel am Dreieck: a, b, c, α, β, γ

Fall 1: Gegeben 3 Seiten

a b c
α    
a b c
  β  
a b c
    γ

Lösung: Kosinussatz

Fall 2: Gegeben 2 Seiten und eingeschlossener Winkel

a b c
γ
a b c
β
a b c
α

Lösung: Kosinussatz

Fall 3: Gegeben 2 Seiten und 1 gegenüberliegender Winkel

a b
α β
a b
α β
b c
β γ
b c
β γ

Lösung: Sinussatz

Fall 4: Gegeben 2 Winkel und gegenüberliegende Seite

a b
α β
a b
α β
b c
β γ
b c
β γ

Lösung: Sinussatz

Fall 5: Gegeben 3 Winkel und keine Seite

a b c
     

Lösung: nicht lösbar, unendlich viele Möglichkeiten für a, b, c

Übersicht: Sinussatz

Im Folgenden der Sinussatz:

Sinussatz

Sinustabelle bis 180°

Winkel Sinuswert Sinuswert gerundet
0,0000,000
10°0,173648177666930,174
20°0,3420201433256690,342
30°0,5000,500
40°0,6427876096865390,643
50°0,7660444431189780,766
60°0,8660254037844390,866
70°0,9396926207859080,940
80°0,9848077530122080,985
90°1,0001,000
100°0,9848077530122080,985
110°0,9396926207859080,940
120°0,8660254037844390,866
130°0,7660444431189780,766
140°0,6427876096865390,643
150°0,5000,500
160°0,3420201433256690,342
170°0,1736481776669310,174
180°0,0000,000

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