Wissen: Sinussatz

Der Sinussatz ist ein Hilfsmittel, um schnell fehlende Seiten und Winkel in allgemeinen Dreiecken über Verhältnisse auszurechnen. Er spielt in der Dreiecksberechnung und der Trigonometrie eine wichtige Rolle.

Sinus und Kosinus bei allgemeinen Dreiecken

Wir hatten bei Sinus und Kosinus gelernt, dass der Sinus/Kosinus nur für rechtwinklige Dreiecke definiert ist. Jetzt fragt sich, ob wir Sinus und Kosinus auch bei allgemeinen Dreiecken verwenden können. Zur Erinnerung: Ein allgemeines Dreieck ist ein beliebiges Dreieck, bei dem die Winkel beliebige Werte annehmen können. Zum Beispiel:

Beim Betrachten von allgemeinen Dreiecken fällt auf, dass wir jedes allgemeine Dreieck durch das Einzeichnen einer Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke aufteilen können:

Damit lässt sich jedes allgemeine Dreieck über die beiden rechtwinkligen Teildreiecke berechnen, also dessen Seiten, Winkel und Flächen. Wir können uns diese Arbeit aber abkürzen:

Herleitung vom Sinussatz

Erinnern wir uns, wie der Sinus definiert ist: sin(α) = Gegenkathete / Hypothenuse = GK / HY. Wer sich nicht daran erinnert, schaut sich unbedingt die Sinus-Lektion jetzt noch mal an.

Wenn wir nun den Sinus für die beiden rechtwinkligen Teildreiecke in der Abbildung aufstellen, so erhalten wir:

sin(α) = GK / HY = hc / b

sin(β) = GK / HY = hc / a

Lasst uns beide Gleichungen nach hc umstellen:

sin(α) = hc / b → hc = b·sin(α)

sin(β) = hc / a → hc = a·sin(β)

Als nächstes setzen wir hc gleich:

hc = hc

b·sin(α) = a·sin(β) | umstellen mit : sin(α)

b = a·sin(β) : sin(α) | umstellen mit : sin(β)

b:sin(β) = a:sin(α)

a / sin(α) = b / sin(β)

Und das ist schon der erste Teil des Sinussatzes.

Bringen wir Seite c und sin(γ) noch in die Gleichung hinein. Wir zeichnen die Höhe ha ein und stellen danach die entsprechende Gleichung auf:

sin(γ) = GK / HY = ha / b → ha = sin(γ) · b

sin(β) = GK / HY = ha / c → ha = sin(β) · c

ha = ha

sin(γ) · b = sin(β) · c | :b und :c

sin(γ) / c = sin(β) / b | Kehrwert

c / sin(γ) = b / sin(β)

Und jetzt können wir in Zusammenhang bringen, wenn:

a / sin(α) = b / sin(β) und c / sin(γ) = b / sin(β), dann gilt:

a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ)

Der Sinussatz

$$ \frac{a}{sin(α)} = \frac{b}{sin(β)} = \frac{c}{sin(γ)} $$

Und genau das ist der Sinussatz. Man kann ihn formulieren als: Die Dreiecksseiten verhalten sich wie die Sinuswerte ihrer Gegenwinkel.

Die Herleitung in einer Grafik zusammengefasst:

Sinussatz Herleitung komplett

An dieser Stelle kann man gleichsetzen und erhält:

h = h

sin(γ) · a = sin(α) · c

Dann noch umstellen und wir erhalten den Sinussatz für a und c:

sin(γ) · a = sin(α) · c    | :a und :c

sin(γ) : c = sin(α) : a    | :a und :c

Noch als Bruch notiert:

sin(γ) / c = sin(α) / a

Entsprechend leitet man sich das Verhältnis für b und Winkel β her.

Sinus bei Winkeln über 90°

Wir hatten in der Lektion Sinus und Kosinus gesehen, dass man Sinus/Kosinus an rechtwinkligen Dreiecken definiert, dadurch ist man beschränkt auf einen 90°-Winkel und zwei Winkel zwischen 0° und 90°. Jetzt fragt sich, ob es eine Möglichkeit gibt, den Sinus auch für Winkel größer als 90° zu berechnen und wie man dies definiert.

Hierzu definiert man die Höhe des Dreiecks als Gegenkathete, auch wenn sie außerhalb liegen sollte (wie bei einem stumpfwinkligen Dreieck):

So erhält man ein rechtwinkliges Referenzdreieck, das uns hilft, den Sinus zu bestimmen. Nun wird festgelegt:

sin(α') = hc / b = sin(α)

Der Sinuswert für den überstumpfen Winkel α (α > 90°) wird also über Winkel α' beim "außenliegenden" rechtwinkligen Dreieck bestimmt.

Zum Beispiel ist bei sin(130°) der Sinuswert sin(130°) = sin(180°-130°) = sin(50°) = 0,766. Anders ausgedrückt: Die Gegenkathete hc ist 0,766 mal so lang wie die Hypotenuse b.

Identitäten beim Dreieck

Mit diesem Wissen kommen wir zu den sogenannten Identitäten. Beispiel:

Identität für Sinus:
sin(60°) = sin(120°) → sin(180°-60°)
sin(50°) = sin(130°) → sin(180°-50°)
sin(40°) = sin(140°) → sin(180°-40°)

sin(α) = sin(180° - α)

Weitere Identität für Sinus:
sin(120°) = sin(60°) → sin(90° + 30°) = sin(90° - 30°)
sin(130°) = sin(50°) → sin(90° + 40°) = sin(90° - 40°)
sin(140°) = sin(40°) → sin(90° + 50°) = sin(90° - 50°)

sin(90° + α) = sin(90° - α)

Identität für Kosinus:
cos(120°) = -0,5
cos(90°+30°) = 0,5
cos(60°) = 0,5 | ·(-1)
-cos(60°) = -0,5 = cos(120°)
-cos(90°-30°) = -0,5 = cos(90°+30°)
cos(90° - α) = cos(90° + α)

Die Identitäten lernen wir genauer in der Lektion Einheitskreis kennen.

Wichtig ist jedoch, dass wir uns merken, dass ein Sinuswert zwei Winkeln (bei 0° bis 180°) zugeordnet werden kann. Als Beispiel: sin(45°) = 1 = sin(135°) = sin(180° - 45°)

Sinussatz oder Kosinussatz anwenden?

Je nach den gegebenen Werten in der Aufgabe muss man entscheiden, welchen Satz man anwendet. Hierzu eine kleine Tabelle:

Gegeben Direkt zu berechnen Lösungsweg
3 Seiten (SSS) 1 Winkel Kosinussatz
2 Seiten und eingeschlossener Winkel 1 Seite Kosinussatz
2 Seiten und gegenüberliegender Winkel (SSWg) 1 Winkel (gegenüber der kleineren Seite) Sinussatz
1 Seite und 2 Winkel (SWW) 1 Seite Sinussatz
3 Winkel (WWW) nicht lösbar, unendlich viele Möglichkeiten -

Die nächste Übersicht zeigt konkret auf, welche gegebenenen Werte wir haben und wie wir zu der fehlenden Seite bzw. Winkel gelangen:

Alle Seiten und Winkel am Dreieck: a, b, c, α, β, γ

Fall 1: Gegeben 3 Seiten

a b c
α    
a b c
  β  
a b c
    γ

Lösung: Kosinussatz

Fall 2: Gegeben 2 Seiten und eingeschlossener Winkel

a b c
γ
a b c
β
a b c
α

Lösung: Kosinussatz

Fall 3: Gegeben 2 Seiten und 1 gegenüberliegender Winkel

a b
α β
a b
α β
b c
β γ
b c
β γ

Lösung: Sinussatz

Fall 4: Gegeben 2 Winkel und gegenüberliegende Seite

a b
α β
a b
α β
b c
β γ
b c
β γ

Lösung: Sinussatz

Fall 5: Gegeben 3 Winkel und keine Seite

a b c
     

Lösung: nicht lösbar, unendlich viele Möglichkeiten für a, b, c

Übersicht: Sinussatz

Im Folgenden der Sinussatz:

Sinussatz

Sinustabelle bis 180°

Winkel Sinuswert Sinuswert gerundet
0,0000,000
10°0,173648177666930,174
20°0,3420201433256690,342
30°0,5000,500
40°0,6427876096865390,643
50°0,7660444431189780,766
60°0,8660254037844390,866
70°0,9396926207859080,940
80°0,9848077530122080,985
90°1,0001,000
100°0,9848077530122080,985
110°0,9396926207859080,940
120°0,8660254037844390,866
130°0,7660444431189780,766
140°0,6427876096865390,643
150°0,5000,500
160°0,3420201433256690,342
170°0,1736481776669310,174
180°0,0000,000
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