VEK05: Skalarmultiplikation

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Video: Skalarmultiplikation

Was ist ein Skalar?

Der Begriff "Skalar" gilt auf den Mathematiker William Rowan Hamilton zurück. Er sagte, der Skalar skaliert (also vergrößert bzw. verkleinert) den Vektor bzw. die Vektorlänge.

Skalarmultiplikation

Merkt euch die in den Videos aufgeführten Fälle für die Skalarmultiplikation s·v = r mit:

s = 1 keine Skalierung
s > 1 Vektorstreckung
0 < s < 1 Vektorstauchung
s = 0 Nullvektor
-1 < s < 0 gestauchter Gegenvektor
s = -1 Gegengevektor
s < -1 gestreckter Gegenvektor

Wenn der Skalar positiv ist, bleibt die Vektorrichtung unverändert. Ist der Skalar negativ, kehrt sich die Vektorrichtung um, der Vektor zeigt dann in die entgegengesetzte Richtung.

Multiplizieren wir den Vektor mit dem Skalar s = 0, so erhalten wir den Nullvektor:

Nullvektor via Skalarmultiplikation

Multiplizieren wir unseren Vektor mit dem Skalar s = (-1), dann erzeugen wir seinen Gegenvektor:

Gegenvektor

Bei jeder Multiplikation mit einem negativen Skalar, dreht sich der Vektor um 180°, das heißt seine Richtung wird umgekehrt.

Richtungsänderung Skalarmultiplikation

Bei der Skalarmultiplikation muss der Skalar stets mit allen Komponenten des Vektors multipliziert werden:

Skalarmultiplikation Beispiel

Rechengesetze

Die Rechengesetze Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz gelten ebenfalls für die Skalarmultiplikation:

Rechengesetze Skalarmultiplikation

Grafisch können wir das Distributivgesetz so darstellen:

Skalarmultiplikation Distributivgesetz

Wie auch im Video gezeigt, erlauben uns die Rechengesetze für Vektoren ebenfalls wie folgt zu rechnen: (-s)·v = s·(-v) = -(s·v)

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