G34: Summen und Summenzeichen

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Video: Einführung Summen und Summenzeichen

Was ist eine Summe?

Eine Summe ist grundsätzlich das Ergebnis einer Addition. Wir hatten die Bezeichnungen in der Lektion Grundrechenarten kennen gelernt: Summand + Summand = Summe.

In dieser Lektion führen wir jedoch Summen ein, die aus einer Vielzahl von Summanden bestehen. Zum Beispiel: 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100. Um diese 100 Summanden nicht ausschreiben zu müssen, nutzen wir das sogenannte Summenzeichen ∑ (griechischer Buchstabe für "S", er heißt Sigma) als Abkürzung. Merken als ∑umme.

Schreibweise mit dem Summenzeichen

Eine lange Summierung kann mit dem Summenzeichen wie folgt notiert werden:

$$ 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100 = \sum_{n=1}^{100}{n} $$

n=1 ist der Startwert
100 ist der Endwert
n ist die Laufvariable

Summenzeichen Begriffe

$$ \sum_{n=1}^{100}{n} $$

heißt also, wir gehen von 1 bis 100 in Einerschritten (n) und addieren jede auftretende Zahl, die sich für n ergibt.

∑ bis n = 1 → 1
∑ bis n = 2 → 1 + 2
∑ bis n = 3 → 1 + 2 + 3
∑ bis n = 100 → 1 + 2 + 3 + … + 100

Wie gut zu erkennen ist, können wir diese recht lange Summe: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 + 31 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36 + 37 + 38 + 39 + 40 + 41 + 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + 47 + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + 57 + 58 + 59 + 60 + 61 + 62 + 63 + 64 + 65 + 66 + 67 + 68 + 69 + 70 + 71 + 72 + 73 + 74 + 75 + 76 + 77 + 78 + 79 + 80 + 81 + 82 + 83 + 84 + 85 + 86 + 87 + 88 + 89 + 90 + 91 + 92 + 93 + 94 + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 viel kürzer notieren mit:

$$ \sum_{n=1}^{100}{n} $$

Weitere Beispiele für Summen

Oben hatten wir eine Summe, die von 1 bis 100 in Einerschritten ging und dabei jedes n mit sich addierte. Es kann jedoch passieren, dass wir statt einer Funktion mit n beispielsweise die Funktion 2·n haben:

$$ \sum_{n=1}^{100}{2 \cdot n} $$

Dadurch wird jeder Wert verdoppelt. Das sieht dann wie folgt aus:

∑ bis n = 1 → 1
∑ bis n = 2 → 1 + 2
∑ bis n = 3 → 1 + 2 + 3
∑ bis n = 100 → 1 + 2 + 3 + … + 100

Nehmen wir noch eine andere Summe und berechnen diese:

$$ \sum_{n=1}^{5}{n^2} $$

Die Funktion besagt, wir sollen n einsetzen und quadrieren, tun wir das:

$$ \sum_{n=1}^{5}{n^2} = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 $$

Was ist eine Doppelsumme?

Eine Summe einer Summe wird Doppelsumme genannt. Was das bedeutet, macht ein Beispiel deutlich:

$$ \sum_{n=1}^{3} \sum_{k=1}^{2}{n·k^2} $$

Wir benutzen die Bezeichnungen "Äußere Summe" und "Innere Summe" wie hier gut zu erkennen ist:

Doppelsumme mit Äußerer Summe und Innerer Summe

Wir legen für n den Startwert fest und laufen dann k ab. Anschließend wählen wir das nächste n und laufen k wieder ab. Und so weiter. Tun wir das für unser n·k2:

$$ \sum_{\color{blue}{n=1}}^{\color{blue}{3}} \sum_{\color{green}{k=1}}^{\color{green}{2}}{\color{blue}{n}·\color{green}{k}^2} $$

∑∑ mit n = 1 → 1·12 + 1·22
∑∑ mit n = 2 → 1·12 + 1·22   +   2·12 + 2·22
∑∑ mit n = 3 → 1·12 + 1·22   +   2·12 + 2·22   +   3·12 + 3·22

$$ \sum_{\color{blue}{n=1}}^{\color{blue}{3}} \sum_{\color{green}{k=1}}^{\color{green}{2}}{\color{blue}{n}·\color{green}{k}^2} = 30 $$

Weiteres Beispiel für Doppelsummen

Wählen wir eine schwierigere Doppelsumme und lösen diese:

$$ \sum_{\color{blue}{i=2}}^{\color{blue}{4}}\sum_{\color{red}{j=1}}^{\color{red}{4}}{ (i-1) \cdot 3^j } $$

Um es uns einfacher zu machen, schreiben wir die Funktion (also die Berechnungsvorschrift für die Summanden) 4 mal (j = 1, 2, 3, 4) nebeneinander und 3 mal (i = 2, 3, 4) untereinander:

$$ (i-1) \cdot 3^j + (i-1) \cdot 3^j + (i-1) \cdot 3^j + (i-1) \cdot 3^j \\ (i-1) \cdot 3^j + (i-1) \cdot 3^j + (i-1) \cdot 3^j + (i-1) \cdot 3^j \\ (i-1) \cdot 3^j + (i-1) \cdot 3^j + (i-1) \cdot 3^j + (i-1) \cdot 3^j = $$

Dann können wir die Werte für i einsetzen, je Zeile: i=2, i=3, i=4:

$$ (\color{blue}{2}-1) \cdot 3^j + (\color{blue}{2}-1) \cdot 3^j + (\color{blue}{2}-1) \cdot 3^j + (\color{blue}{2}-1) \cdot 3^j \\ (\color{blue}{3}-1) \cdot 3^j + (\color{blue}{3}-1) \cdot 3^j + (\color{blue}{3}-1) \cdot 3^j + (\color{blue}{3}-1) \cdot 3^j \\ (\color{blue}{4}-1) \cdot 3^j + (\color{blue}{4}-1) \cdot 3^j + (\color{blue}{4}-1) \cdot 3^j + (\color{blue}{4}-1) \cdot 3^j = $$

Als nächstes setzen wir die Werte für die Laufvariable j ein mit j=1, j=2, j=3, j=4:

$$ (\color{blue}{2}-1) \cdot 3^\color{red}{1} + (\color{blue}{2}-1) \cdot 3^\color{red}{2} + (\color{blue}{2}-1) \cdot 3^\color{red}{3} + (\color{blue}{2}-1) \cdot 3^\color{red}{4} \\ (\color{blue}{3}-1) \cdot 3^\color{red}{1} + (\color{blue}{3}-1) \cdot 3^\color{red}{2} + (\color{blue}{3}-1) \cdot 3^\color{red}{3} + (\color{blue}{3}-1) \cdot 3^\color{red}{4} \\ (\color{blue}{4}-1) \cdot 3^\color{red}{1} + (\color{blue}{4}-1) \cdot 3^\color{red}{2} + (\color{blue}{4}-1) \cdot 3^\color{red}{3} + (\color{blue}{4}-1) \cdot 3^\color{red}{4} = $$

Das müssen wir noch ausrechnen und kommen auf:

$$ (1) \cdot 3 + (1) \cdot 9 + (1) \cdot 27 + (1) \cdot 81 \\ (2) \cdot 3 + (2) \cdot 9 + (2) \cdot 27 + (2) \cdot 81 \\ (3) \cdot 3 + (3) \cdot 9 + (3) \cdot 27 + (3) \cdot 81 = 720 $$

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