Wissen: Symmetrie bei Funktionen

Achsensymmetrie

Die Formel für die Symmetrie zur y-Achse lautet (Achsensymmetrie):

f(x) = f(-x)

Das heißt, jeder Wert für x und dessen im Vorzeichen umgedrehter Wert -x haben den gleichen y-Wert.

Ein Beispiel hierfür wäre die Parabel f(x) = x². Wählt man beispielhaft den x-Wert x = 2, so erhält man den y-Wert f(2) = 2² = 4 = y. Wie oben beschrieben, muss das Gleiche auch für x = -2 gelten. So ist f(-2) = (-2)² = 4 und damit liegt derselbe y-Wert vor.

f(x) = f(-x)
f(2) = f(-2)
4 = 4

Punktsymmetrie

Die Formel für die Symmetrie zum Koordinatenursprung lautet (Punktsymmetrie):

f(x) = -f(-x)

Jetzt werden nicht nur die x-Werte umgekehrt, sondern auch die dazugehörigen y-Werte.

Ein Beispiel hierfür wäre die Gerade f(x) = x. Wählt man beispielhaft den x-Wert x = 2, so erhält man den y-Wert f(2) = 2 = y. Nimmt man nun den x-Wert mit dem entgegengesetzten Vorzeichen x = -2 wird der y-Wert -2 erwartet (also ebenfalls umgekehrten Vorzeichen), was tatsächlich auch so ist f(-2) = -2.

f(x) = -f(-x)
f(2) = -f(-2)
4 = -(-4)
4 = 4

Achsensymmetrie zu einer beliebigen Senkrechten

In der Schule weniger geläufig, aber weiterhin wichtig: Die Formel für die Symmetrie zu einer beliebigen Senkrechten lautet (Achsensymmetrie):

f(a+x) = f(a-x)

Mit dem a berücksichtigen wir die Verschiebung der Symmetrieachse.

Für die Verschiebung der Parabel um 2 nach rechts erhalten wir die Funktionsgleichung f(x) = (x-2)². Der y-Wert für x = 1 ist f(1) = (1-2)² = 1 = y. Mit der obigen Formel können wir den Punkt finden, der ebenfalls den y-Wert 1 besitzt. Es gilt f(a+x) = f(a-x), wobei a = 2. Da wir uns bereits x = 1 angeschaut haben, wird nun x = 1 eingesetzt: f(2+1) = f(2-1) => f(3) = f(1). An der Stelle x = 3 finden wir also ebenfalls den y-Wert y = 1. Das sieht man auch im Graphen:

f(a+x) = f(a-x)
f(2+1) = f(2-1)
f(3) = f(1)
1 = 1

Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt

Die Formel für die Symmetrie zu einem beliebigen Punkt lautet (Punktsymmetrie):

f(a+x)-b = -f(a-x)+b

Hier berücksichtigen wir mit b die Verschiebung des Graphen nach oben oder unten.

Das Symmetriezentrum S(a|b) ist der Punkt, an dem sich die Symmetrie orientiert. Für die Symmetrie zum Koordinatenursprung ist es Z(0|0).

Um ein Beispiel anzuführen nehmen wir die kubische Funktion f(x) = (x - 2)³ - 3 (Graph siehe unten). Der Symmetriepunkt liegt somit bei S(2|-3). Der y-Wert zu x = 1 ist f(1) = (1 - 2)³ - 3 = -4. Den y-Wert, welcher bei x = 3 zu erwarten ist, also 1 Einheit rechts vom Symmetriezentrum, errechnen wir mittels obiger Formel. Dabei ist x = 1, a = 2 und b = -3.

f(a+x) - b = -f(a-x) + b
f(2+1) - (-3) = -f(2-1) + (-3)
f(3) + 3 = -f(1) - 3
f(3) + 3 = -(-4) - 3
f(3) + 3 = 1    | -3
f(3) = -2

Wir sehen bereits in der zweiten Zeile, dass die gleiche Entfernung zum Symmetriezentrum vorliegt (1 nach links, 1 nach rechts). Für x = 3 erhalten wir f(3) = (3-2)³ - 3 = -2. Das sieht man auch gut am Graphen:

Gerade Funktionen / Ungerade Funktionen

Eine gerade Funktion ist eine Funktion, die nur gerade Exponenten hat (also alle ganzzahligen Exponenten sind durch 2 teilbar, ohne Rest). Eine ungerade Funktion ist hingegen eine Funktion, die nur ungerade Exponenten besitzt.

Gerade Funktionen sind stets achsensymmetrisch (zum Beispiel f(x) = x² oder auch g(x) = x⁴ + x² + x⁰ = x⁴ + x² + 1). Ungerade Funktionen sind stets punktsymmetrisch (zum Beispiel f(x) = x³ + x).

Die Koeffizienten (also die Zahlen in Multiplikation vor den Variablen, wie 3·x²) beeinflussen die Symmetrieart nicht.

Die Achsensymmetrie kann auch als Spiegelung an der Symmetrieachse verstanden werden. Die Punktsymmetrie kann als 180°-Drehung des Graphen um das Symmetriezentrum verstanden werden.