Wissen: Symmetrie bei Funktionen
Inhaltsverzeichnis
[Verbergen]Achsensymmetrie
Die Formel für die Symmetrie zur y-Achse lautet (Achsensymmetrie):
f(x) = f(-x)
Das heißt, jeder Wert für x und dessen im Vorzeichen umgedrehter Wert -x haben den gleichen y-Wert.
Ein Beispiel hierfür wäre die Parabel f(x) = x2. Wählt man beispielhaft den x-Wert x = 2, so erhält man den y-Wert f(2) = 22 = 4 = y. Wie oben beschrieben, muss das Gleiche auch für x = -2 gelten. So ist f(-2) = (-2)2 = 4 und damit liegt derselbe y-Wert vor.
f(x) = f(-x)
f(2) = f(-2)
4 = 4

Punktsymmetrie
Die Formel für die Symmetrie zum Koordinatenursprung lautet (Punktsymmetrie):
f(x) = -f(-x)
Jetzt werden nicht nur die x-Werte umgekehrt, sondern auch die dazugehörigen y-Werte.
Ein Beispiel hierfür wäre die Gerade f(x) = x. Wählt man beispielhaft den x-Wert x = 2, so erhält man den y-Wert f(2) = 2 = y. Nimmt man nun den x-Wert mit dem entgegengesetzten Vorzeichen x = -2 wird der y-Wert -2 erwartet (also ebenfalls umgekehrten Vorzeichen), was tatsächlich auch so ist f(-2) = -2.
f(x) = -f(-x)
f(2) = -f(-2)
4 = -(-4)
4 = 4

Achsensymmetrie zu einer beliebigen Senkrechten
In der Schule weniger geläufig, aber weiterhin wichtig: Die Formel für die Symmetrie zu einer beliebigen Senkrechten lautet (Achsensymmetrie):
f(a+x) = f(a-x)
Mit dem a berücksichtigen wir die Verschiebung der Symmetrieachse.
Für die Verschiebung der Parabel um 2 nach rechts erhalten wir die Funktionsgleichung f(x) = (x-2)2. Der y-Wert für x = 1 ist f(1) = (1-2)2 = 1 = y. Mit der obigen Formel können wir den Punkt finden, der ebenfalls den y-Wert 1 besitzt. Es gilt f(a+x) = f(a-x), wobei a = 2. Da wir uns bereits x = 1 angeschaut haben, wird nun x = 1 eingesetzt: f(2+1) = f(2-1) => f(3) = f(1). An der Stelle x = 3 finden wir also ebenfalls den y-Wert y = 1. Das sieht man auch im Graphen:
f(a+x) = f(a-x)
f(2+1) = f(2-1)
f(3) = f(1)
1 = 1

Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt
Die Formel für die Symmetrie zu einem beliebigen Punkt lautet (Punktsymmetrie):
f(a+x)-b = -f(a-x)+b
Hier berücksichtigen wir mit b die Verschiebung des Graphen nach oben oder unten.
Das Symmetriezentrum S(a|b) ist der Punkt, an dem sich die Symmetrie orientiert. Für die Symmetrie zum Koordinatenursprung ist es Z(0|0).
Um ein Beispiel anzuführen nehmen wir die kubische Funktion f(x) = (x - 2)3 - 3 (Graph siehe unten). Der Symmetriepunkt liegt somit bei S(2|-3). Der y-Wert zu x = 1 ist f(1) = (1 - 2)3 - 3 = -4. Den y-Wert, welcher bei x = 3 zu erwarten ist, also 1 Einheit rechts vom Symmetriezentrum, errechnen wir mittels obiger Formel. Dabei ist x = 1, a = 2 und b = -3.
f(a+x) - b = -f(a-x) + b
f(2+1) - (-3) = -f(2-1) + (-3)
f(3) + 3 = -f(1) - 3
f(3) + 3 = -(-4) - 3
f(3) + 3 = 1 | -3
f(3) = -2
Wir sehen bereits in der zweiten Zeile, dass die gleiche Entfernung zum Symmetriezentrum vorliegt (1 nach links, 1 nach rechts). Für x = 3 erhalten wir f(3) = (3-2)3 - 3 = -2. Das sieht man auch gut am Graphen:

Gerade Funktionen / Ungerade Funktionen
Eine gerade Funktion ist eine Funktion, die nur gerade Exponenten hat (also alle ganzzahligen Exponenten sind durch 2 teilbar, ohne Rest). Eine ungerade Funktion ist hingegen eine Funktion, die nur ungerade Exponenten besitzt.
Gerade Funktionen sind stets achsensymmetrisch (zum Beispiel f(x) = x2 oder auch g(x) = x4 + x2 + x0 = x4 + x2 + 1). Ungerade Funktionen sind stets punktsymmetrisch (zum Beispiel f(x) = x3 + x).
Die Koeffizienten (also die Zahlen in Multiplikation vor den Variablen, wie 3·x2) beeinflussen die Symmetrieart nicht.
Die Achsensymmetrie kann auch als Spiegelung an der Symmetrieachse verstanden werden. Die Punktsymmetrie kann als 180°-Drehung des Graphen um das Symmetriezentrum verstanden werden.
Weitere Artikel:
- Wissen: Kartesisches Koordinatensystem
- Wissen: Lineare Funktionen - Einführung
- Wissen: Lineare Funktionen in Normalform
- Wissen: Schnittpunkt von zwei linearen Graphen
- Wissen: Gleichung einer Linearen Funktion bestimmen
- Wissen: Lineare Gleichungssysteme
- Wissen: Quadratische Funktionen / Parabeln
- Wissen: Symmetrie bei Funktionen
- Wissen: Monotonie bei Funktionen
- Wissen: Beschränktheit bei Funktionen
- Wissen: Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
- Wissen: Potenzfunktionen
- Wissen: Definitionsbereich einer Funktion
- Wissen: Exponentialfunktionen