G22: Teilbarkeit und Teilbarkeitsregeln

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Video: Einführung Teilbarkeit

Zusammenfassung der Teilbarkeitsregeln

:0 → nicht definiert (also nicht möglich)
:1 → jede Zahl ist :1 teilbar
:2 → jede gerade Zahl ist :2 teilbar
:3 → Quersumme muss :3 teilbar sein
:4 → letzten 2 Ziffern der Zahl müssen :4 teilbar sein
:5 → Zahl muss mit 0 oder 5 enden
:6 → Zahl muss :2 und :3 teilbar sein
:7 → Summe (letzten 2 Ziffern + 2*alle vorderen Ziffern) muss : 7 teilbar sein
:8 → letzten 3 Ziffern der Zahl müssen :8 teilbar sein
:9 → Quersumme muss :9 teilbar sein
:10 → Zahl muss mit 0 enden

Warum ist die Division durch Null nicht definiert?

Dass es zu Widersprüchen kommt, wenn wir die Division durch Null erlauben würden, kann man sich mit dem Umstellen folgender Gleichung vor Augen führen:

3 : 0 = z
3·1 : 0 = z
3 · (1:0) = z
3 · (1/0) = z
3 · (1/0) = z | :(1/0)
3 = z : (1/0)
3 = z · (0/1)
3 = z · 0
Widerspruch, denn: z · 0 = 0
3 ≠ z · 0 = 0

Null dividiert durch eine Zahl

Die Null ist übrigens durch jede Zahl (außer der Null selbst) teilbar. Das erkennt ihr, wenn ihr folgende Gleichung umformt:

0 · n = 0
// :n auf beiden Seiten
0 · n : n = 0 : n
0 · 1 = 0 : n
0 = 0 : n
// Seiten tauschen
0 : n = 0

Dass man durch Null nicht teilen darf, haben wir im 1. Video gesehen. Es gibt hierzu auch eine kleine Eselsbrücke, die einfach zu merken ist: "Du kannst alles im Leben teilen, aber nicht durch Null!"

Ergänzungen zur Teilbarkeit

Schreibweise für Teilbarkeit lautet: 6 | 18
das bedeutet nichts weiter als "6 ist Teiler von 18"

Die Teilermenge T meint die Auflistung aller Teiler einer Zahl.
Bei der Zahl 4 wäre die Teilermenge {1,2,4}

Eine Zahl durch sich selbst dividiert ist immer 1, also
a:a = 1 → zum Beispiel 3:3 = 1

Es ist stets möglich, die Teilbarkeit über den Rest zu ermitteln.
Als Beispiel nehmen wir 345 : 3
= (300 + 40 + 5) : 3
= 300:3 + 40:3 + 5:3
= 100 + 39 + 1
Rest: 0 + 1 + 2 = 3
⇒ Rest 3 ist :3 teilbar, also ist auch 345 durch :3 teilbar

Die Teilbarkeit durch Sechs kann auch anders beschrieben werden. Im Video sagten wir, dass eine Zahl z :6 teilbar ist, wenn die Zahl z auch durch :2 und :3 teilbar ist. Dies kann man auch einfacher ausdrücken: "Ist die Quersumme einer geraden Zahl :3 teilbar, dann ist die Zahl :6 teilbar."

Interessant sind die Teilbarkeitsregeln für Sieben! Neben der in der Video-Lektion vorgestellten gibt es noch weitere, z. B.:

1. Über die alternierende 3er Quersumme
alternierend = von Zahl zu Zahl wechselndes Vorzeichen

Beispiel:
7770784 = 7 + 770 - 784 = -7
⇒ (-7) ist : 7 teilbar, also ist auch 7770784 durch :7 teilbar

2. Mithilfe der Variante: Subtraktion des doppelten der letzten Ziffer von allen vorderen Ziffern, unter jeweiliger Wegnahme der letzten Ziffer (als Iteration)

Beispiel:
770784 → 77078 - 2*4 = 77070
77070 → 7707 - 2*0 = 7707
7707 → 770 - 2*7 = 756
756 → 75 - 2*6 = 63
⇒ 63 ist : 7 teilbar, also ist 770784 auch :7 teilbar

Die Regel heißt: "Eine Zahl 10a + b ist genau dann durch 7 teilbar, wenn a − 2b durch 7 teilbar ist."

Teilbarkeit durch Zwei, Vier, Acht, etc.
Wenn ihr euch die Teilbarkeit von 2, 4, 8 etc. anschaut, könnt ihr Folgendes ableiten:

z:2 = z:2¹ → zu testen: letzte 1 Ziffer :2
z:4 = z:2² → zu testen: letzten 2 Ziffern :4
z:8 = z:2³ → zu testen: letzten 3 Ziffern :8

Allgemein: z:2n → zu testen sind die letzten n Ziffern :2n

...es gibt viele Teilbarkeitsregeln, wenn ihr Interesse habt, noch tiefer einzusteigen, schaut in unserem Mathe-Expertenforum vorbei.

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