Wissen: Teilbarkeit und Teilbarkeitsregeln

Zusammenfassung der Teilbarkeitsregeln

:0 → nicht definiert (also nicht möglich)
:1 → jede Zahl ist :1 teilbar
:2 → jede gerade Zahl ist :2 teilbar
:3 → Quersumme muss :3 teilbar sein
:4 → letzten 2 Ziffern der Zahl müssen :4 teilbar sein
:5 → Zahl muss mit 0 oder 5 enden
:6 → Zahl muss :2 und :3 teilbar sein
:7 → Summe (letzten 2 Ziffern + 2*alle vorderen Ziffern) muss : 7 teilbar sein
:8 → letzten 3 Ziffern der Zahl müssen :8 teilbar sein
:9 → Quersumme muss :9 teilbar sein
:10 → Zahl muss mit 0 enden

Warum ist die Division durch Null nicht definiert?

Dass es zu Widersprüchen kommt, wenn wir die Division durch Null erlauben würden, kann man sich mit dem Umstellen folgender Gleichung vor Augen führen:

3 : 0 = z
3·1 : 0 = z
3 · (1:0) = z
3 · (1/0) = z
3 · (1/0) = z | :(1/0)
3 = z : (1/0)
3 = z · (0/1)
3 = z · 0
Widerspruch, denn: z · 0 = 0
3 ≠ z · 0 = 0

Null dividiert durch eine Zahl

Die Null ist übrigens durch jede Zahl (außer der Null selbst) teilbar. Das erkennt ihr, wenn ihr folgende Gleichung umformt:

0 · n = 0
// :n auf beiden Seiten
0 · n : n = 0 : n
0 · 1 = 0 : n
0 = 0 : n
// Seiten tauschen
0 : n = 0

Dass man durch Null nicht teilen darf, haben wir im 1. Video gesehen. Es gibt hierzu auch eine kleine Eselsbrücke, die einfach zu merken ist: "Du kannst alles im Leben teilen, aber nicht durch Null!"

Zahl durch sich selbst

Eine Zahl durch sich selbst dividiert ist immer 1, also
a:a = 1 → zum Beispiel 3:3 = 1

Teilbarkeit über den Rest

Es ist stets möglich, die Teilbarkeit über den Rest zu ermitteln.
Als Beispiel nehmen wir 345 : 3
= (300 + 40 + 5) : 3
= 300:3 + 40:3 + 5:3
= 100 + 39 + 1
Rest: 0 + 1 + 2 = 3
⇒ Rest 3 ist :3 teilbar, also ist auch 345 durch :3 teilbar

Schreibweise für Teilbarkeit

Schreibweise für Teilbarkeit lautet: 6 | 18
das bedeutet nichts weiter als "6 ist Teiler von 18"

Teilermenge

Die Teilermenge T meint die Auflistung aller Teiler einer Zahl.
Bei der Zahl 4 wäre die Teilermenge {1,2,4}

Teilbarkeit durch 6

Die Teilbarkeit durch Sechs kann auch anders beschrieben werden. Im Video sagten wir, dass eine Zahl z :6 teilbar ist, wenn die Zahl z auch durch :2 und :3 teilbar ist. Dies kann man auch einfacher ausdrücken: „Ist die Quersumme einer geraden Zahl :3 teilbar, dann ist die Zahl :6 teilbar.“

Teilbarkeit durch 7

Interessant sind die Teilbarkeitsregeln für Sieben. Neben der in der Video-Lektion vorgestellten gibt es noch weitere, zum Beispiel:

1. Über die alternierende 3er Quersumme
alternierend = von Zahl zu Zahl wechselndes Vorzeichen

Beispiel:
7770784 → -7 + 770 - 784 = -21
⇒ (-21) ist :7 teilbar, also ist auch 7770784 durch :7 teilbar

2. Mithilfe der Variante: Subtraktion des doppelten der letzten Ziffer von allen vorderen Ziffern, unter jeweiliger Wegnahme der letzten Ziffer (als Iteration)

Beispiel:
770784 → 77078 - 2*4 = 77070
77070 → 7707 - 2*0 = 7707
7707 → 770 - 2*7 = 756
756 → 75 - 2*6 = 63
⇒ 63 ist : 7 teilbar, also ist 770784 auch :7 teilbar

Die Regel heißt: "Eine Zahl 10a + b ist genau dann durch 7 teilbar, wenn a − 2b durch 7 teilbar ist."

Letzte Ziffern testen (Teilbarkeit durch 2, 4, 8)

Teilbarkeit durch Zwei, Vier, Acht, etc.
Wenn ihr euch die Teilbarkeit von 2, 4, 8 etc. anschaut, könnt ihr Folgendes ableiten:

z:2 = z:2¹ → zu testen: letzte 1 Ziffer :2
z:4 = z:2² → zu testen: letzten 2 Ziffern :4
z:8 = z:2³ → zu testen: letzten 3 Ziffern :8

Allgemein: z:2n → zu testen sind die letzten n Ziffern :2n

Es gibt viele Teilbarkeitsregeln, wenn ihr Interesse habt, noch tiefer einzusteigen, schaut in unserem Mathe-Forum nach entsprechenden Aufgaben und Lösungen.

Alternierende Quersumme

Für die Überprüfung der Teilbarkeit einer Zahl z durch 11 gibt es eine einfache Regel: Man schreibt zwischen je zwei Ziffern der Zahl z von links nach rechts abwechselnd + und – beginnend mit + zwischen den Zehnern und den Einern und rechnet die so entstandene Aufgabe aus. Sollte das Ergebnis beim Teilen durch 11 einen Rest r haben, so hat auch z:11 den Rest r.

Ein Beispiel: z = 537591 soll auf Teilbarkeit durch 11 geprüft werden. Wir rechnen –5 + 3 – 7 + 5 – 9 + 1 = -12 und -12 entspricht dem positiven Rest 10. Also lässt 537591 beim Teilen durch 11 den Rest 10. Die Summe –5 + 3 – 7 + 5 – 9 + 1 heißt „alternierende Quersumme“.

Für den Fall, dass die alternierende Quersumme 0 ergibt oder durch 11 teilbar ist, ist die untersuchte Zahl z ebenfalls durch 11 teilbar. So ist z.B. 537581 durch 11 teilbar.

Um zu verstehen, wo diese Regel herkommt, benötigen wir einige Sätze über Zahlenpaare mit gleichem Rest.

(1) Die Summe der Zahl z und der Zahl 11a hat den gleichen Rest beim Teilen durch 11, wie die Zahl z. Begründung: Die Addition einer durch 11 teilbaren Zahl ändert den Rest von z beim Teilen durch 11 nicht.

(2) Eine zweistellige Zahl z=10x+y hat beim Teilen durch 11 den gleichen Rest, wie die Differenz ihrer Ziffern d = y-x. denn z-d = 11x. Und Zahlen, deren Differenz durch t teilbar ist, lassen beim Teilen durch t den gleichen Rest. Dabei können negative Reste auftreten. Zu einem negativen Rest muss man so lange 11 addieren, bis ein positiver Rest entsteht.

(3) Eine Zahl z und ihr 100-faches 100z haben den gleichen Rest beim Teilen durch 11. Begründung: 100z=99z+z. 99z ist durch 11 teilbar. Nach (1) hat dann 100z den gleichen Rest beim Teilen durch 11, wie z.

(4) z1 habe beim Teilen durch 11 den Rest r1 und z2 habe beim Teilen durch 11 den Rest r2. Dann hat z1+z2 beim Teilen durch 11 den gleichen Rest, wie r1+r2.

Wir wollen diese Sätze auf die Zahl 654321 anwenden. 654321=65·10000+43·100+21.
21 hat beim Teilen durch 11 den Rest – 2 + 1 = –1.
43·100 hat beim Teilen durch 11 den Rest – 4 +3 = –1.
65·100·100 hat beim Teilen durch 11 den Rest –6+ 5 = –1.
65·10000+43·100+21 hat beim Teilen durch 11 den Rest –6+5–4+3–2+1=–3, restgleich mit 8.

Beachte, dass zur Bestimmung des Restes die alternierende Quersumme zwischen Zehner und Einer mit + beginnt und dann in Richtung der größeren Stellenwerte abwechselt, während zur bloßen Prüfung der Teilbarkeit durch 11 auch ein Beginn mit – möglich ist.

Wenn man nun die Zeichen + und – so setzt, dass gleichgroße Blöcke abgeteilt werden, entstehen alternierende k-Quersummen, wobei k die Länge jedes Blockes ist. Der manchmal unvollständige Block ganz links kann mit Nullen aufgefüllt werden. Beispiel 1234567 hat die alternierende 3-Quersumme 001 – 234 + 567. Eine Zahl z lässt beim Teilen durch 7, 11 oder 13 den gleichen Rest, wie ihre alternierende 3-Quersumme. Beispiel 1234567 hat die alternierende 3-Quersumme 334 (Achtung: zwischen den beiden Blöcke ganz rechts mit + beginnen!). Sowohl 1234567 als auch 334 lassen beim Teilen durch 7 den Rest 5, beim Teilen durch 11 den Rest 4 und beim Teilen durch 13 den Rest 9. Auch hier müssen wir zum Verständnis einige Sätze vorausschicken und wissen, dass 7·11·13=1001.

(1) Eine sechsstellige Zahl aus zwei identischen Dreierblöcken ist durch 1001 und damit auch durch 7, 11 und 13 teilbar. Begründung: a·105+b·104+c·103+a·102+b·10+c = a·102·(103+1)+b·10·(103+1)+c·(103+1)=( a·102+b·10+c)·1001.

(2) Subtrahiert man von einer sechsstelligen Zahl z eine durch 1001 teilbare Zahl x, so bleibt der Rest beim Teilen der Differenz z–x durch 1001 unverändert gegenüber dem Rest von z. Wählt man für x eine Zahl aus zwei identischen Dreierblöcken, die beide gleich dem ersten Dreierblock von z sind, entsteht die alternierende 3-Quersumme von z. Beispiel: 364592 – 364364= – 364 + 592=228. 364592 und 228 lassen beim Teilen durch 1001 den gleichen Rest, nämlich 228. Dieser Rest ist weder durch 7, noch durch 11 oder 13 teilbar, sodass auch 364592 diese Primfaktoren nicht hat.

(3) 1000000z und z lassen beim Teilen durch 1001 den gleichen Rest. Begründung 1000000z – z = 999999z und 999999 ist durch 1001 teilbar (besteht aus zwei identischen Dreierblöcken).
(4) z1 habe beim Teilen durch 1001 den Rest r1 und z2 habe beim Teilen durch 1001 den Rest r2. Dann hat z1+z2 beim Teilen durch 1001 den gleichen Rest, wie r1+r2.

Wir wollen diese Sätze auf die Zahl 304938257 anwenden:
304938257 = 304000000+938257
304000000 hat beim Teilen durch 1001 den gleichen Rest, wie 304.
938257 hat beim Teilen durch 1001 den gleichen Rest, wie – 938+257
304938257 hat beim Teilen durch 1001 den gleichen Rest, wie 304 – 938 + 257 = -377.
Da -377 durch 13 teilbar ist, nicht aber durch 7 oder durch 11, gilt das Gleiche auch für 304938257.

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