G24: Terme und Gleichungen umformen

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Video: Einführung Terme und Gleichungen

Allgemein

Um Terme oder auch Gleichungen zu vereinfachen, stehen viele Möglichkeiten offen. In dieser Lektion soll besonderes Augenmerk auf das Distributivgesetz und die binomischen Formeln gelegt werden.

Ausmultiplizieren

Für das Ausmultiplizieren verwendet man das Distributivgesetz, es lautet:

$$a\cdot (b + c) = a\cdot b + a\cdot c$$

Mit dem Distributivgesetz kann man also Klammern direkt auflösen. Nehmen wir dafür ein Beispiel:

$$3\cdot(5+2) = 3\cdot 5 + 3\cdot2 = 15 + 6 = 21$$

Wir haben also in die obige Formel eingesetzt: a = 3, b = 5 und c = 2 und dann mit dem Distributivgesetz ausgerechnet. Zur Kontrolle können wir in diesem Fall auch schnell den Klammerinhalt errechnen (5+2) und dann mit dem Vorfaktor (3) multiplizieren:

$$3\cdot(5+2) = 3\cdot7 = 21$$

Das Distributivgesetz wird besonders gerne bei Termen verwendet, wo verlangt ist, das Ergebnis als Summe aufzuschreiben. Eine Beispielaufgabe sei nachstehend gezeigt. Schreibe folgenden Term als Summe:

$$3\cdot(x+5) = \ldots$$ $$3\cdot(x+5) = 3\cdot x + 3\cdot5 = 3x + 15$$

und schon hat man die Summe mit den Summanden 3x und 15.

Das Distributivgesetz kann ebenfalls umgekehrt verwendet werden und auch deshalb ist es besonders wichtig. Ihr erinnert euch sicher, dass bei einem Bruch nur gekürzt werden darf, wenn dieselben Faktoren im Zähler und Nenner vorkommen. Wie können wir dann folgenden Bruch kürzen?

$$\frac{2+6}{1+3}$$

Wir kürzen diesen Bruch, indem wir das Distributivgesetz anwenden, also gemeinsame Faktoren in jedem Summanden erkennen, die ausgeklammert werden dürfen. Hierfür schreiben wir 6 = 2·3 und schon kann die 2 ausgeklammert werden. Beachte: 2 = 2·1

$$\frac{2+6}{1+3} = \frac{2\cdot1+2\cdot3}{1+3} = \frac{2\cdot(1+3)}{1\cdot(1+3)} = \frac21 = 2$$

Wie wir sehen, hat das Distributivgesetz den Zähler so umgeformt, dass nun ein Produkt entstanden ist aus 2 mal (1+3). Die (1+3) im Zähler und im Nenner haben wir miteinander gekürzt. Es ist dabei übrigens sinnvoll, im Nenner eine 1 in Multiplikation heranzuschreiben, wie oben geschehen. Mit etwas Erfahrung erkennt man übrigens solche Produkte (die aus Summen bestehen) schnell und kann entsprechende Faktoren in Zähler/Nenner gegeneinander kürzen.

Unser Ergebnis oben kann nochmals mathematisch im Werte auf Richtigkeit geprüft werden:

$$\frac{2+6}{1+3} = \frac84 = 2$$

Besonderen Einsatz findet das Distributivgesetz bei Termen mit Unbekannten, wo nicht so einfach zusammenaddiert werden kann, wie beim vorangegangenen Beispiel. Möglicherweise lautet eine Aufgabe:

Vereinfache folgenden Term weitmöglichst:

$$\frac{12x + 36x^2}{3+9x}$$

Um hier zu kürzen, wird wieder versucht gemeinsame Faktoren zu bilden. Dafür werden die Summanden auf gemeinsame Faktoren untersucht, um auszuklammern, also das Distributivgesetz anwenden zu können.

Zähler: 12x + 36x² = 3·4·x + 9·4·x·x = 1·3·4·x + 3·3·4·x·x = 3·4·x · (1 + 3·x)
Nenner: 3 + 9x = 3·1 + 3·3·x = 3 · (1 + 3·x)

Im Zähler beim ersten Term 12x = 1·3·4·x wurde noch eine 1 hinzugefügt, um diese nachher ausklammern zu können. Erinnern wir uns, dass man eine ·1 an jeden Term schreiben kann, denn sie ist das neutrale Element der Multiplikation (verändert den Wert des Terms also nicht). Im Nenner finden wir keine ·1 notiert, eine 1 muss aber nach dem vollständigen Kürzen dort stehen bleiben. Schreiben wir nun den faktorisierten Bruch auf:

$$ \frac{12x + 36x^2}{3+9x} = \frac{\color{red}{3\cdot4\cdot x}\cdot(1+3\cdot x)}{\color{red}{3}\cdot (1+3\cdot x)} = \frac{4\cdot x\cdot\color{blue}{3\cdot(1+3\cdot x)}}{\color{blue}{3\cdot (1+3\cdot x)}} = \frac{4\cdot x}{1} = 4\cdot x $$

So haben wir unseren ersten Bruch deutlich vereinfacht auf 4·x, der zuerst jedoch so aussah, als ob er sich nicht kürzen lässt, weil der Zähler eine Summe beinhaltete. Doch mittels des Distributivgesetzes haben wir aus der Summe ein Produkt gemacht und ein Kürzen wurde möglich.

Binomische Formeln

Die binomischen Formeln sind aus Lektion G07 bereits bekannt. Sie seien hier nochmals aufgeführt:

1. (a+b)² = a² + 2ab + b²

2. (a-b)² = a² - 2ab + b²

3. (a+b)·(a-b) = a² - b²

Die binomischen Formeln sind ein weiteres mächtiges Werkzeug, um Terme zu vereinfachen oder Gleichungen zu lösen. Eine Aufgabenstellung hierzu könnte lauten: Vereinfache den folgenden Term mittels der binomischen Formeln.

$$\frac{4 - 9}{2 - 3}$$

Hier ist es knifflig, eine binomische Formel zu erkennen. Doch schreibt man 4 = 2² und 9 = 3², dann erkennt man im Zähler die dritte binomische Formel, also das a² - b², und kann schließlich mit dem Nenner kürzen.

$$\frac{4-9}{2-3} = \frac{2^2-3^2}{2-3} = \frac{(2+3)(2-3)}{(2-3)} = 2+3 = 5$$

Lasst uns den Wert wieder ohne binomische Formel überprüfen:

$$\frac{4-9}{2-3} = \frac{-5}{-1} = 5$$

Die binomischen Formeln, insbesondere die dritte binomische Formel, stellen eine Bereicherung an Hilfsmittel dar, mit der Terme einfach gekürzt werden können. Ein weiteres Beispiel:

$$\frac{4x^2-1}{2x+1}$$

Es ist sehr wichtig zu erkennen, dass 1 = 1² ist, denn nur dann versteht man, dass sich hier die dritte binomische Formel verbirgt: 4x²-1 = 2·2·x·x - 1·1 = 2·x·2·x - 1·1 = (2x)² - 1² = (2x+1)·(2x-1). Damit ergibt sich also:

$$\frac{4x^2-1}{2x+1} = \frac{(2x+1)\cdot(2x-1)}{(2x+1)} = 2x-1$$

Und wiederum haben wir einen Term vereinfacht, der zuerst den Anschein vermittelt hatte, nicht gekürzt werden zu können.

Anwendung bei Gleichungen

Das Distributivgesetz sowie die binomischen Formeln finden nicht nur Anwendung beim Kürzen von Termen, sondern werden auch beim Ermitteln von Lösungen bei Gleichungen eingesetzt. Ein typisches Beispiel für die Anwendung der binomischen Formeln ist bei der Nullstellenfindung:

$$x^2 + 2x + 1 = 0\quad \text{|Erkennen der ersten binomischen Formel}$$ $$(x+1)^2 = 0$$

Hier können nun direkt die Nullstellen abgelesen werden, denn ist die Klammer 0, dann ist auch der Term 0 und somit die linke Seite der Gleichung. Dies ist der Fall, wenn x1,2 = -1 ist.

Alternativ hätte man hier die pq-Formel (oder abc-Formel) bemühen müssen, was durch die Anwendung der binomischen Formel aber erspart werden konnte.

Satz vom Nullprodukt

Im Video Teil 2 haben wir für die Gleichung x·(x + 13) = 0 die Lösung mit x1=0 und x2=-13 bestimmt. Wir sagten, wenn einer der beiden Terme x oder (x+13) Null wird, so ist auch der gesamte Term x·(x + 13) Null. Diesen Sachverhalt nennt man Satz vom Nullprodukt. Er besagt: "Ist bei einer Multiplikation einer der Faktoren 0, so ist das Produkt gleich 0."

Allgemein gilt:
Faktor · Faktor = Produkt
→ Faktor · 0 = 0
→ 0 · Faktor = 0

Auf diesen Satz werdet ihr beim Lösen vieler Gleichungen stoßen. Es ist also hilfreich, wenn ihr euch diese Regel merken könnt.

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