TRI01: Trigonometrie Einführung

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Video: Einführung Trigonometrie

Was ist Trigonometrie?

Trigonometrie kann sinngemäß übersetzt werden als Dreiecksvermessung. Das Wort ist zusammengesetzt aus drei Teilen, die wir einzeln übersetzen können:

tri - drei
gono - Eck
metrie - Maß

Trigon heißt auf Griechisch "Dreieck".

Das Wort "Trigonometrie" wurde erstmals von Bartholomeo Pitiscus im Buch "Trigonometria" (Ausgabe 1595) benutzt bzw. schriftlich festgehalten.

Man unterscheidet zwischen Ebener Trigonometrie (zweidimensional, d. h. wir benötigen 2 Koordinaten, um einen Punkt zu bestimmen) und Sphärischer Trigonometrie (dreidimensional, 3 Koordinaten sind notwendig, um die Position festzustellen).

Verhältniswerte (Chordwerte)

Die Verhältniswerte (siehe Matheprogramm) ergeben sich, indem man die Sehnenlänge durch die Radiuslänge dividiert. In der folgenden Tabelle haben wir die Winkel in 10° Schritten den Verhältniswerten gegenübergestellt.

Verhältniswert = Sehne / Radius

Die Zuordnung der Winkel zu den Verhältniswerten nennt man auch Sehnen-Funktion oder Chord-Funktion, von chorda (lat. Sehne).

Tabelle von Chordwerten (Verhältniswerten)

WinkelChordwertChordwert gerundet
0,00000,000
10°0,174311485495316350,174
20°0,34729635533386070,347
30°0,517638090205041520,518
40°0,684040286651337470,684
50°0,845236523481398870,845
60°1,0001,000
70°1,147152872702092191,147
80°1,285575219373078651,286
90°1,414213562373095051,414
100°1,532088886237956071,532
110°1,638304088577983581,638
120°1,732050807568877291,732
130°1,812615574073299931,813
140°1,879385241571816771,879
150°1,931851652578136571,932
160°1,969615506024416121,970
170°1,992389396183491061,992
180°2,0002,000

Wie wir im Video gesehen haben, erhalten wir beim Bilden des Verhältniswertes (Sehne dividiert durch Radius) stets den gleichen Wert für den aktuell gewählten Winkel, unabhängig von der Länge des Radius. Voraussetzung hierfür ist, dass es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt. Im Video waren die beiden gleichlangen Schenkel jeweils der Radius, die Grundseite war die Sehne.

Die Trigonometrie beruht auf solchen Verhältniswerten, wie wir uns im Verlauf der nächsten Videos noch genauer betrachten werden.

Durch die Trigonometrie werden also Winkel und Seitenverhältnisse in Dreiecken in Verbindung gebracht. So lassen sich Dreiecke aus wenigen Angaben berechnen (ein Dreieckswinkel und eine Seite reichen).

Historisches / Entstehung

Der erste Mathematiker, der die Chord-Verhältnisse nachweisbar dokumentiert hat, war Hipparchos (190 - 120 v.Chr.). Er gilt damit als Vater der Trigonometrie. Mehr als 600 Jahre nach ihm, hatte der Mathematiker Aryabhata (476 - 550 n.Chr.) dieses Prinzip auf rechtwinklige Dreiecke übertragen, von der unsere moderne Trigonometrie abstammt. Die Sehne am Kreis als halbe Sehne ist der Vorgänger des modernen Sinus.

Die Ägypter nutzt bereits 2000 v. Chr. primitive Formen der Trigonometrie (Verhältnisse), um ihre Pyramiden zu bauen.

Der amerikanische Vordenker Thomas Paine (1737-1809) schrieb einst: "Die wissenschaftlichen Prinzipien, die der Mensch einsetzt, um eine Sonnenfinsternis vorherzusagen, oder irgend etwas anderes in Bezug auf die Bewegung der Himmelskörper, sind hauptsächlich in dem Teil der Wissenschaft, die Trigonometrie genannt wird, enthalten. Wendet man die Trigonometrie mit den Eigenschaften eines Dreiecks auf die Studien der Himmelskörper an, so wird sie "Astronomie" genannt. Wenn man sie benutzt, um den Kurs eines Schiffes auf dem Meer zu bestimmen, wird sie "Navigation" genannt. Wenn man sie auf den Bau von Figuren mit Lineal und Zirkel anwendet, so spricht man von der "Geometrie". Bei Konstruktionsplänen von Gebäuden spricht man von "Architektur". Wenn man sie auf die Messung eines Teils der Erdoberfläche anwendet, so spricht man von "Landvermessung". Die Trigonometrie ist die Seele der Wissenschaft. Eine ewige Wahrheit: Die Trigonometrie zeigt uns die Mathematik auf, von der die Menschheit spricht, und das Ausmaß ihres Nutzens ist noch unbekannt.

Anwendung der Trigonometrie

Die Trigonometrie ist in vielen Lebensbereichen vorzufinden, wobei wir sie meist gar nicht bemerken. Ein paar Anwendungsbeispiel sind:

  • Landvermessung
  • Höhenmessung
  • Astronomie (sphärische Trigonometrie)
  • Physik, z. B. Schwingung eines Pendels
  • GPS (Global Positioning System)

Die Liste kann noch viel weiter geführt werden. Hier weitere wissenschaftliche Bereiche, in denen man Trigonometrie vorfindet: Akustik, Architektur, Astronomie, Kartographie, Tiefbau, Geophysik, Kristallographie, Elektrotechnik, Elektronik, Landvermessung und Geodäsie, viele Naturwissenschaften, Maschinenbau, Verarbeitung, medizinische Bildgebung, Zahlentheorie, Ozeanographie, Optik, Pharmakologie, Wahrscheinlichkeitstheorie, Seismologie , Statistiken und visuelle Wahrnehmung.

In der Ozeanographie zum Beispiel ist das Ähnlichkeit zwischen den Wellenformen und dem Graphen der Sinusfunktion kein Zufall.

~plot~ sin(x) ~plot~

Verschiedene Gleichungstypen können übrigens mit Hilfe der Trigonometrie gelöst werden.

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