VEK02: Vektoren bestimmen

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Video: Einführung Vektor bestimmen

Verbindungs- und Verschiebungsvektor

Der Verbindungsvektor verbindet 2 Punkte miteinander. Der Verschiebungsvektor verschiebt einen Punkt auf einen anderen. Grundsätzlich handelt es sich bei den beiden Vektoren um den gleichen Vektor, es ist jedoch uns überlassen, welchen Begriff wir wählen, um den Vektor zu beschreiben.

Verbindungsvektor

Ortsvektor

Jeder Punkt kann mit einem Vektor, sogenannter Ortsvektor, beschrieben werden. Der Ortsvektor p(x, y) hat die gleichen Werte wie der Punkt P(x|y), das heißt die Komponenten des Vektors entsprechen den Koordinaten des Punktes. Für ein Beispiel siehe Punkt B und Vektor OB in der folgenden Grafik:

Ortsvektor

Der Ursprung (lat. origo) wird mit O (also Großbuchstabe O) bezeichnet.


Nullvektor

Der Nullvektor hat keine Länge und damit auch keine Richtung. Er kann nicht als Pfeil dargestellt werden. Wir müssen ihn definieren, da wir ihn zum Beispiel bei der Vektoraddition und Vektorsubtraktion benötigen.

Nullvektor

Wir notieren ihn mit einem kleinen o und dem Pfeil darüber.

Für Vektoren gilt: v = v + o = o + v = v
sowie: o = v - v = o

Vektorlänge

Die Vektorlänge (auch Vektorbetrag genannt) ermitteln wir mit Hilfe der Komponenten x und y des Vektors. Hierzu verwenden wir den Satz des Pythagoras, siehe Abbildung:

Vektorlänge bestimmen - Vektorbetrag

Die Länge des Vektors notieren wir, indem wir Betragsstriche um den Vektorbuchstaben setzen, z. B. \( |\vec{c}| = 3 \).

Allgemein lautet die Formel zur Berechnung der Vektorlänge also:

$$ |\vec{c}|^2 = x^2 + y^2 \\ \sqrt{|\vec{c}|^2} = \sqrt{x^2 + x^2} \\ |\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2} $$

Vektorlänge berechnen

Im Folgenden ein Beispiel zur Vektorlängenberechnung:

Gegebener Vektor:

$$ \vec{b} = \begin{pmatrix} 5\\7 \end{pmatrix} $$

Die Berechnung der Länge erfolgt wie erwähnt über den Satz des Pythagoras:

$$ |\vec{b}|^2 = 5^2 + 7^2 \\ \sqrt{|\vec{b}|^2} = \sqrt{5^2 + 7^2} \\ |\vec{b}| = \sqrt{25 + 49} \\ |\vec{b}| = \sqrt{74} \\ |\vec{b}| ≈ 8,602 $$

Grafische Darstellung:

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