Wissen: Satz von Vieta

Einleitung

Oft genug kommt es vor, dass Schüler Angst vor der pq-Formel zeigen, um eine quadratische Gleichung zu lösen, dann aber kaum mit Alternativen aufwarten können. Doch deren gibt es mehrere. Unter anderem wäre da die quadratische Ergänzung als naheliegende Wahl zu erwähnen oder auch der Satz von Vieta, welcher sich zumindest bei ganzzahligen Lösungen als sehr stark präsentiert. In diesem Artikel wollen wir auf den Satz von Vieta eingehen und so eine Alternative zur pq-Formel (oder auch Mitternachtsformel) bieten.

Satz von Vieta

Eine quadratische Gleichung hat die allgemeine Form \(ax^2 + bx + c = 0\). Der Satz von Vieta hingegen verlangt die Normalform (wie auch bei der pq-Formel), weswegen wir im Falle von \(a \neq 1\) durch \(a\) dividieren. Damit kommen wir auf die Normalform:

$$ x^2 + \color{red}{p}x + \color{green}{q} = 0 $$

Nun besagt der Satz von Vieta, dass im vorliegenden Fall die beiden Lösungen \(x_{1}\) und \(x_{2}\) folgende Bedingungen erfüllen müssen:

$$ 1.\quad x_{1} + x_{2} = -\color{red}{p} $$ $$ 2.\quad x_{1}\cdot x_{2} = \color{green}{q} $$

Nun hat man die ursprüngliche quadratische Gleichung so heruntergebrochen, dass es sich nun anbietet zu raten (Anmerkung: Raten ist in der Mathematik kein Sakrileg, solange man die Werte im Nachhinein untermauern kann! Beispielsweise durch eine Probe.). Die erste Gleichung bietet hierbei keinen Ansatz, da es unendlich viele ganzzahlige Möglichkeiten gibt, die Gleichung zu erfüllen. In der zweiten Gleichung hingegen kann man sich alleine auf die Teiler von \(q\) konzentrieren. Damit reduziert sich drastisch die Anzahl der Ratemöglichkeiten.

Der aufmerksame Leser mag nun argumentieren, dass man das schon mit \(q\) aus der Normalform machen kann und behält recht. Hingegen müssen die Werte in die komplette quadratische Gleichung eingesetzt und ausgewertet werden. Vieta hingegen hat uns das vereinfacht, in dem er einzig verlangt, die Werte anhand einer Summe zu überprüfen.

Anwendung an zwei Beispielen

Aufgabe 1

Es seien die Lösungen für \(x^2+x-6 = 0\) zu finden. Damit ist der erste Schritt die Identifizierung von \(p\) und \(q\), sowie das Aufstellen der beiden obigen Gleichungen.

$$\color{red}{p} = 1 \text{ und } \color{green}{q} = -6$$

Damit erhalten wir die Gleichungen:

$$1.\quad x_{1} + x_{2} = -\color{red}{1}$$ $$2.\quad x_{1}\cdot x_{2} = \color{green}{-6}$$

Konzentrieren wir uns nun auf die zweite Zeile und finden heraus, welche Teiler die Zahl \(-6\) hat. Das sind \(\pm1; \pm2; \pm3; \pm6\).

Die Möglichkeiten:

\(a. \quad -1\cdot6\)

\(b. \quad 1\cdot(-6)\)

\(c. \quad -2\cdot 3\)

\(d. \quad 2\cdot(-3)\)

Damit haben wir alle möglichen Kombinationen gefunden, welche wir nun relativ leicht mit der ersten Gleichung überprüfen können. Laut dieser Gleichung muss \(-1\) herauskommen, damit es sich um bei \( x_1 \) und \( x_2 \) um eine gültige Lösung handelt.

\(a. \quad -1+6 = 5\)

\(b. \quad 1+(-6) = -5\)

\(c. \quad -2+3 = 1\)

\(d. \quad 2+(-3) = -1\)

Der Fall d ist also der gesuchte. Für \(x_{1} = 2\) und \(x_{2} = -3\) ist sowohl die erste Gleichung mit \( 2+(-3) = -\color{red}{1} \) wie auch die zweite Gleichung mit \(2\cdot(-3) = \color{green}{-6}\) erfüllt.

\(x_{1} = 2\) und \(x_{2} = -3\) sind also Lösungen unserer Gleichung.

Aufgabe 2

Diese unterscheidet sich insofern von der vorigen Aufgabe, als dass wir hier keine Gleichung in Normalform vorzuliegen haben.

Es seien die Lösungen für \(3x^2+3x-12 = 6\) zu finden. Damit ist nun der erste Schritt die Überführung in die Normalform. Dazu bringen wir alles auf eine Seite und dividieren durch den Vorfaktor von \(x^2\), hier also \(3\).

$$3x^2+3x-12 = 6\quad|-6$$ $$3x^2+3x-18 = 0 \quad|:3$$ $$x^2+x-6 = 0$$

Nun haben wir die Gleichung in Normalform überführt und können mit der Identifzierung von \(p\) und \(q\) beginnen. Das können wir uns an dieser Stelle sparen, da wir die Normalform von Aufgabe 1 vorzuliegen haben. Die Lösung haben wir dort beschrieben (siehe oben).

Anwendungsmöglichkeiten

Die Anwendungsmöglichkeit, die wohl als erstes ins Auge sticht, ist die Bestimmung der (ganzzahligen) Lösungen einer quadratischen Gleichung, so wie in den beiden Aufgaben oben vorgeführt. Doch es gibt weitere sinnvolle Verwendungsmöglichkeiten für den Satz von Vieta.

Vieta ist unter anderem auch hilfreich beim Konstruieren quadratischer Gleichungen anhand vorgegebener Lösungen. Hat man beispielsweise die Vorgabe von \(x_{1} = 2\) und \(x_{2} = 5\) ergibt sich sofort \(x^2-7x+10\) als eine mögliche Gleichung.

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