GEO02: Winkel

Was ist ein Winkel?

Die Trigonometrie greift nicht nur auf den Kreis zurück, sondern auch auf die Winkel. Die Winkel werden einheitlich mit griechischen Buchstaben versehen, also zum Beispiel α, β, γ, δ. Auch wenn die Benennung einem frei steht, sollte man sich daran halten. Eine Tabelle mit dem griechischen Alphabet findet ihr zum Üben unten.

Der Winkel selbst ergibt sich, wenn man zwei Strahlen hat, welche von einem gemeinsamen Punkt ausgehen, der als Scheitel oder Scheitelpunkt bezeichnet wird und zwischen den Strahlen liegt. Die Strahlen, die vom Scheitelpunkt abgehen, heißen Schenkel.

Winkel können auf verschiedene Weisen definiert werden:

1. Als Figur, die durch zwei Geraden geformt wird, die von einem gemeinsamen Punkt auseinanderstreben.
2. Als Figur, die von zwei Ebenen geformt wird, die von einer gemeinsamen Geraden auseinanderstreben.
3. Als Rotation, die benötigt wird, um eine der beiden Geraden (oder Ebenen) auf die andere zu legen.
4. Die Fläche zwischen beiden Geraden. Bzw. der Raum zwischen beiden Ebenen.

Der Begriff "Winkel" kommt wahrscheinlich aus dem Indogermanischen und bedeutet "gebogen sein", "auseinander drehen". Man kann einen Winkel mit drei Punkten bestimmen, Scheitelpunkt und zwei weitere Punkte, durch die die beiden abgehenden Strahlen gehen sollen. Mit Hilfe dieser 3 Punkte kann man den Winkel ebenfalls benennen, zum Beispiel ∠ABC, dabei ist der in der Mitte stehende Punkt der Scheitelpunkt, also "B".

Winkelbezeichnungen

Die unterschiedlichen Winkelbezeichnungen sollen nun vorgestellt werden, sie werden mit Hilfe eines Kreises veranschaulicht. Ein Kreis hat dabei 360° (360 Grad), welches die geläufigste Einheit zur Beschreibung eines Winkels ist. Man nennt diese Einheit "Gradmaß".

Nullwinkel (α = 0°)

Der Nullwinkel liegt vor, wenn der Winkel zwischen zwei Strahlen 0° entspricht.

Nullwinkel

Spitzer Winkel (0° < α < 90°)

Liegt der Winkel zwischen 0° und 90°, so liegt ein spitzer Winkel vor.

Spitzer Winkel

Rechter Winkel (α = 90°)

Ein bekannter und wichtiger Winkel ist der rechte Winkel. Hier liegt der eine Strahl senkrecht bzw. orthogonal auf dem anderen Strahl. Der rechte Winkel wird uns noch oft bei der Trigonometrie begegnen, auch beim Satz des Pythagoras spielt er eine wesentliche Rolle.

Rechter Winkel

Stumpfer Winkel (90° < α < 180°)

Spricht man von einem stumpfen Winkel, so liegt der Winkel zwischen 90° und 180°.

Stumpfer Winkel

Gestreckter Winkel (α = 180°)

Ein Halbkreis spannt einen Winkel von 180° auf, der erste Strahl wird also um den zweiten Strahl verlängert.

Gestreckter Winkel

Überstumpfer Winkel (180° < α < 360°)

Hat der Winkel mehr als 180° aber weniger als 360° so wird er überstumpfer Winkel genannt. Aus älterer Zeit mag auch noch „überspitzer Winkel“ geläufig sein, welcher für Winkel über 270° verwendet wurde.

Überstumpfer Winkel

Vollwinkel (α = 360°)

Hat man einen vollen Kreis durchlaufen, spricht man auch von einem Vollwinkel. Dieser entspricht 360°. Hier liegen die beiden Strahlen wieder aufeinander. Es ist also Sache der Interpretation, ob man einen Nullwinkel oder einen Vollwinkel meint.

Vollwinkel

Winkelarten in der Übersicht

Winkelgröße Winkelname
Nullwinkel
zwischen 0° und 90°Spitzer Winkel
90°Rechter Winkel
zwischen 90° und 180°Stumpfer Winkel
180°Gestreckter Winkel
zwischen 180° und 360°Überstumpfer Winkel
zwischen 270° und 360°Überspitzer Winkel (früher)
360°Vollwinkel

Winkel an parallelen Geraden

Winkel können an parallelen Geraden in Beziehung zueinander stehen. Um diese Beziehungen auszudrücken, hat man verschiedene Begriffe entwickelt. Die Wichtigsten folgen:

Scheitelwinkel/Gegenwinkel

Schneiden sich zwei Strecken oder Geraden, so würde man auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt C um A, B, D und E insgesamt 360° ablaufen. Die sich gegenüberliegenden Seiten haben dabei stets den gleichen Winkel. Diese Besonderheit wird Scheitelwinkel oder auch Gegenwinkel genannt.

Scheitelwinkel

Nebenwinkel

Die Winkel, die neben einem zu betrachtenden Winkel liegen, werden Nebenwinkel genannt. Der zu betrachtende Winkel und einer seiner Nebenwinkel ergeben dabei stets 180°.

Nebenwinkel

Stufenwinkel

Wählt man eine Gerade, die parallel zu einer anderen liegt und fügt man eine weitere Gerade hinzu, die die beiden Geraden schneidet, so können wieder Beziehungen zwischen Winkeln ausgemacht werden, und zwar zwischen den Winkeln an den Schnittpunkten. Es ist möglich das Wissen über einen Winkel bei Schnittpunkt A auch bei Schnittpunkt C anzuwenden (siehe Grafik), denn die sogenannten Stufenwinkel (rot) besitzen dieselbe Größe.

Stufenwinkel

Wechselwinkel

Den Wechselwinkel erhält man, indem man den Stufenwinkel nimmt und seinen Scheitelwinkel (Gegenwinkel) bildet. Der rote Winkel an Schnittpunkt C ist also der Scheitelwinkel (Gegenwinkel) vom Stufenwinkel, der sich aus dem roten Winkel am Schnittpunkt A ergibt. Beide sind gleich groß.

Wechselwinkel

Winkelmaß

Es gibt unterschiedliche Einheiten einen Winkel anzugeben. Die bekannteste Einheit wird Grad sein, was dem Gradmaß entspricht (der Modus "DEG" auf dem Taschenrechner, engl. "degree" = Grad). Dabei ergeben 360° einen Vollwinkel, also die komplette Drehung eines Strahles um seinen Anfangspunkt. Steht man im Kreismittelpunkt und möchte eine Kreislinie einmal abschauen, so muss man sich um 360° drehen. Es ist auch möglich, sich mehrfach um sich selbst zu drehen. Das ergibt dann Vielfache von 360°. Dreht man sich bspw. zweimal um sich selbst, dann dreht man sich um 2·360° = 720°.

Eine weitere Möglichkeit, einen Winkel anzugeben, ist das Bogenmaß (der Modus "RAD" auf dem Taschenrechner, RAD steht für Radiant, die Einheit des Bogenmaßes). Der Vollwinkel entspricht 2·π, also 2·3,14159... ≈ 6,2832.

Wie in der Lektion TRI01 kennengelernt, gibt es noch das geodätische Winkelmaß, bei dem ein Vollwinkel 400 gon entspricht.

Es gibt noch deutlich mehr Möglichkeiten, einen Winkel anzugeben. Neben der prozentualen Einteilung (Vollwinkel mit 100 %) sei noch das Zeitmaß erwähnt, hier entsprechen 24 h (Stunden) einem Vollwinkel.

Winkel umrechnen - Von Grad zu Bogenmaß

Oft muss man einen Winkel vom Gradmaß (DEG) ins Bogenmaß (RAD) umrechnen. Hierzu verwendet man eine Verhältnisgleichung, und zwar gilt: 1 Vollkreis = 360°, 1 Vollkreis = 2·Π ≈ 2·3,14159 ≈ 6,2832. Man hat einen Winkel, zum Beispiel 60° und kann nun im Verhältnis aufstellen:

$$ \frac{60°}{360°} = \frac{x}{2·Π} \quad |·2·Π \\ 2·Π·\frac{60°}{360°} = x \\ 2·Π·\frac{1}{6} = x \quad | \text{Anteil ist ein Sechstel von Pi} \\ x ≈ 1,0472 $$

Wir können verallgemeinern:

$$ \frac{\alpha}{360°} = \frac{x}{2·Π} \quad |·2·Π \\ x = 2·Π·\frac{\color{blue}{\alpha}}{360°} $$

Jetzt müssen wir nur noch den Winkel Alpha α in die obige Formel einsetzen und können bequem ausrechnen.

Genauso funktioniert es auch, wenn wir von Bogenmaß zu Gradmaß umrechnen wollen:

$$ \frac{x}{360°} = \frac{\alpha}{2·Π} \quad |·360° \\ x = 360°·\frac{\color{blue}{\alpha}}{2·Π} \\ $$

Jetzt nur noch den Wert für Winkel Alpha α im Bogenmaß einsetzen und Grad ausrechnen.

Winkelnamen in Übersicht

Griechische Kleinbuchstaben: α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ τ υ φ χ ψ ω

Griechische Großbuchstaben: Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω

Die folgende Tabelle listet alle griechischen Buchstaben mit ihrem Namen, ihrem HTML-Code (für den Einsatz in Webseiten) und Ihrem Unicode (wichtig für Programmierer) auf:

NameZeichenHTML-CodeUnicode
alpha α &alpha; &#945;
beta β &beta; &#946;
gamma γ &gamma; &#947;
delta δ &delta; &#948;
epsilon ε &epsilon; &#949;
zeta ζ &zeta; &#950;
eta η &eta; &#951;
theta θ &theta; &#952;
iota ι &iota; &#953;
kappa κ &kappa; &#954;
lambda λ &lambda; &#955;
mu μ &mu; &#956;
nu ν &nu; &#957;
xi ξ &xi; &#958;
omicron ο &omicron; &#959;
pi π &pi; &#960;
rho ρ &rho; &#961;
sigma σ &sigma; &#963;
tau τ &tau; &#964;
upsilon υ &upsilon; &#965;
phi φ &phi; &#966;
chi χ &chi; &#967;
psi ψ &psi; &#968;
omega ω &omega; &#969;
thetasym ϑ &thetasym; &#977;
piv ϖ &piv; &#982;
Alpha Α &Alpha; &#913;
Beta Β &Beta; &#914;
Gamma Γ &Gamma; &#915;
Delta Δ &Delta; &#916;
Epsilon Ε &Epsilon; &#917;
Zeta Ζ &Zeta; &#918;
Eta Η &Eta; &#919;
Theta Θ &Theta; &#920;
Iota Ι &Iota; &#921;
Kappa Κ &Kappa; &#922;
Lambda Λ &Lambda; &#923;
Mu Μ &Mu; &#924;
Nu Ν &Nu; &#925;
Xi Ξ &Xi; &#926;
Omicron Ο &Omicron; &#927;
Pi Π &Pi; &#928;
Rho Ρ &Rho; &#929;
Sigma Σ &Sigma; &#931;
Tau Τ &Tau; &#932;
Upsilon Υ &Upsilon; &#933;
Phi Φ &Phi; &#934;
Chi Χ &Chi; &#935;
Psi Ψ &Psi; &#936;
Omega Ω &Omega; &#937;
sigmaf ς &sigmaf; &#962;
upsih ϒ &upsih; &#978;

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