Wissen: Wurzeln selbst berechnen

Es gibt Methoden bzw. Rechenverfahren, mit denen man Wurzeln näherungsweise berechnen kann. Drei davon werden im Folgenden vorgestellt.

1. Intervallschachtelung durch Annäherung

Bei dieser Methode versucht man eine Wurzel näherungsweise zu berechnen, indem man sich zwei Werte nimmt, die im Quadrat nah an dem Radikanden der gesuchten Wurzel liegen. Diese Werte verringert (oder erhöht) man dann immer wieder um einen kleinen Betrag, sodass man dem gesuchten Wurzelwert näherkommt. Machen wir das anhand eines Beispiels. Berechnen wir:

$$ \sqrt { 5 } = x $$

Wir nehmen uns jetzt als untere Grenze den Wert 2 und als obere Grenze den Wert 3. Wir wissen, dass:

$$ { 2 }^{ 2 } = 4\qquad { 3 }^{ 2 } = 9 $$

Unser gesuchter Wert liegt also zwischen 2 und 3, denn:

$$ \sqrt { 4 } < \sqrt { 5 } < \sqrt { 9 } \\ 2 < x < 3 $$

Wir müssen nun entweder die obere Grenze verringern oder die untere Grenze erhöhen. Man sollte immer den Wert wählen, der im Quadrat näher am Radikanden der Wurzel liegt. Wählen wir die untere Grenze, erhöhen diese und testen die Quadrate der erhöhten Werte. Wir erhöhen im Nachkommastellenbereich, da unsere Zahl zwischen 2 und 3 liegt und somit keine ganze Zahl ist. Also:

$$ { 2,1 }^{ 2 } = 4,41 \qquad { 2,2 }^{ 2 } = 4,84 \qquad { 2,3 }^{ 2 } = 5,29 $$

Wir können uns nun neue Grenzen legen, der gesuchte Wert muss zwischen √4,84 und √5,29 liegen:

$$ \sqrt { 4,84 } < \sqrt { 5 } < \sqrt { 5,29 } \\ 2,2 < x < 2,3\\ $$

Möchten wir noch genauer an den gesuchten Wert gelangen, so müssen wir wieder eine Nachkommastelle anhängen. Wir fahren so fort wie gerade gezeigt. Betrachten wir also die Quadrate der Werte, die etwas größer als die neue untere Grenze sind:

$$ { 2,21 }^{ 2 } = 4,8841 \qquad { 2,22 }^{ 2 } = 4,9248 \qquad { 2,23 }^{ 2 } = 4,9729 \qquad { 2,24 }^{ 2 } = 5,0176 $$

Wir können uns jetzt 2,23 und 2,24 nun als neue Grenzen setzen, da der gesuchte Wert zwischen √4,9729 und √5,0176 liegen muss:

$$ \sqrt { 4,9729 } < \sqrt { 5 } < \sqrt { 5,0176 } \\ 2,23 < x < 2,24 $$

Wenn wir kein noch genaueres Ergebnis haben möchten, können wir sagen, dass:

$$ \sqrt { 5 } \approx 2,24 $$

Soll die gesuchte Zahl aber noch genauer bestimmt werden, so müssten wir mit dem Verfahren weitere Nachkommastellen finden. Angemerkt sei aber, dass die Zahl, die wir suchen, irrational ist. Sie hat unendlich viele Nachkommastellen. Mit dem Verfahren können wir uns irrationalen Zahlen also immer mehr annähern. Wir können sie jedoch nie genau bestimmen. Exakt ist die Angabe des Wurzelwertes nur mit dem Wurzelzeichen als √5 möglich.

2. Intervallschachtelung durch Mittelwertbildung

Diese Methode beruht auf dem selben Prinzip wie die vorherige Methode. Der Unterschied liegt darin, wie wir uns unsere neue Grenze wählen. Haben wir zwei Anfangsgrenzen, so betrachten wir deren Mittelwert und setzen uns diesen als neue obere oder untere Grenze. Wenden wir die Methode auf unser Beispiel an:

$$ \sqrt { 5 } = x $$

Wir wählen wieder 2 und 3 als Grenzen.

$$ \sqrt { 4 } < \sqrt { 5 } < \sqrt { 9 } \\ 2 < x < 3 $$

Wir bilden den Mittelwert der Grenzen:

$$\frac { 2+3 }{ 2 } = 2,5$$

Überprüfen wir das Quadrat des Mittelwertes:

$$ { 2,5 }^{ 2 } = 6,25 $$

Da das Quadrat größer als 5 ist, ist 2,5 unsere neue obere Grenze. Wir erhalten also:

$$\sqrt { 4 } < \sqrt { 5 } < \sqrt { 6,25 } \\ 2 < x < 2,5 $$

Erneut bilden wir jetzt den Mittelwert, um einen genaueren Wert zu erhalten:

$$ \frac { 2+2,5 }{ 2 } = 2,25 $$

Auch hier wird das Quadrat überprüft:

$$ { 2,25 }^{ 2 } = 5,0625 $$

Also haben wir 2,25 als neue obere Grenze und somit:

$$ \sqrt { 4 } < \sqrt { 5 } < \sqrt { 5,0625 } \\ 2 < x < 2,25 $$

Führen wir dieses Verfahren weiter aus, so erhalten wir auch hier ein genaueres Ergebnis.

3. Heron-Verfahren

Das Heron-Verfahren beruht auf einem geometrischem Ansatz. Wir wissen, dass die Seiten eines Quadrates gleichlang sind.

Quadrat

Der Flächeninhalt A lässt sich bei diesem Quadrat mit A = a·a bestimmen. Die Wurzel des Flächeninhaltes ist somit gleich einer Seitenlänge a. (A = a², damit a = √A). Diese Eigenschaft machen wir uns beim Heron-Verfahren zu nutze.

Wir können aus dem Quadrat ein Rechteck mit dem gleichen Flächeninhalt A machen (das Quadrat hat die gleiche Fläche wie das Rechteck):

Rechteck

Den Flächeninhalt berechnen wir mit A = a·b . Soll aus diesem Rechteck jetzt ein Quadrat werden, ohne dass der Flächeninhalt verändert werden soll, so muss die Seite b kleiner werden und die Seite a um den selben Faktor größer. Auf diesen Sachverhalten beruht das Heron-Verfahren. Wenden wir das Verfahren an einem Beispiel an:

$$ \sqrt { 16 } = x $$

Wir wollen nun x berechnen. Also bilden wir ein Rechteck, dessen Flächeninhalt 16 ist. Wir nehmen als Seitenlängen 8 und 2, denn 8·2 = 16.

rechteck 2 mal 8

Die längere Seite muss nun verkleinert werden. Das machen wir, indem wir den Mittelwert der beiden Seiten bilden:

$$ \frac { 8+2 }{ 2 } = 5 $$

Eine der neuen Seitenlängen ist also 5. Da der Flächeninhalt weiterhin gleich bleiben soll muss gelten:

$$ 16 = 5·a $$

Wir bestimmen daraus also die neue zweite Seitenlänge:

$$ 16 = 5·a\\ \frac{16}{5} = a\\ 3,2 = a $$

Unser neues Rechteck sieht also so aus:

rechteck 5 mal 3,2

Da wir jetzt aber noch kein Quadrat erhalten haben, bilden wir erneut den Mittelwert der beiden Seitenlängen und nehmen diesen als neue Seitenlänge. Dann bestimmen wir die dazugehörige zweite Seite des Rechtecks:

$$ \frac { 5+3,2 }{ 2 } = 4,1 $$

Die zweite Seite berechnen:
$$ 16 : 4,1 \approx 3,9 $$

rechteck 4,1 mal 3,9

Wir nähern uns unserem Quadrat immer mehr an. Wiederholen wir den Vorgang noch ein letztes Mal:

$$ \frac { 4,1 + 3,9 }{ 2 } = 4 $$

Wir erhalten jetzt ein Quadrat:

heron verfahren rechteck quadrat

Die Lösung von:

$$ \sqrt { 16 } = x $$

ist also die Seitenlänge des Quadrates. Wir erhalten damit:

$$ \sqrt { 16 } = 4 $$

Damit man sich nicht bei jedem Schritt Rechtecke aufzeichnen oder denken muss, gibt es eine Formel, die bei jedem Schritt verwendet werden kann:

$$ { x }_{ n+1 } = \frac { { x }_{ n } + \frac { A }{ { x }_{ n } } }{ 2 } $$

xn ist jeweils eine Seite unseres jetzigen Rechteckes und xn+1 ist eine Seite des nächsten Rechteckes. Benutzen wir die Formel anhand eines Beispieles. Wir wollen folgendes berechnen bzw. annähern:

$$ \sqrt { 79 } = 8,88819441731558885 ≈ 8,888 $$

Wenden wir jetzt die Formel an und wählen als Startwert: x0 = 10

$$ { x }_{ 1 } = \frac { 10 + \frac { 79 }{ 10 } }{ 2 } = 8,95 $$

Jetzt setzen wir x1 = 8,95 als neuen Wert in die Formel ein:

$$ { x }_{ 2 } = \frac { 8,95 + \frac { 79 }{ 8,95 } }{ 2 } \approx 8,888 $$

Wir sind jetzt bereits nach zwei Schritten fertig, denn:

$$ 8{ 8,888 }^{ 2 } \approx 79 \\ \sqrt { 79 } \approx 8,888 $$

Wir sehen also, dass man mit dem Heron-Verfahren schnell ans Ziel gelangt.

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