Wissen: Wurzelgleichungen

Wiederholung der Wurzeln

Wurzeln haben die Form:

$$ \sqrt [ a ]{ b } =\quad c $$

a nennt man Wurzelexponent.

b nennt man Radikand.

c nennt man Wurzelwert.

Einige wichtige Rechenregeln für Wurzeln haben wir bereits kennengelernt, sie lauten:

$$ \sqrt [ 2 ]{ x } \quad =\quad \sqrt { x } \\ \sqrt [ a ]{ { x }^{ a } } \quad =\quad x \\ \sqrt [ a ]{ { x }^{ b } } \quad =\quad { x }^{ \frac { b }{ a } } \\ \sqrt [ a ]{ { x } } \quad =\quad { x }^{ \frac { 1 }{ a } } $$

Einfache Wurzelgleichungen lösen

1. Beispiel:

Nehmen wir zunächst einmal die Gleichung 3 = 3 und bauen uns aus dieser Gleichung eine Wurzelgleichung. Wir wissen, dass 3·3 = 9 ist und können deswegen auf folgendes schließen:

$$ 3\quad =\quad \sqrt { 9 } $$

Teilen wir jetzt die 9 auf in 9 = 4 + 5 und verstecken die 4, indem wir sie durch ein x ersetzen, so erhalten wir:

$$ 3\quad =\quad \sqrt { 4+5 } \\ 3\quad =\quad \sqrt { x+5 }$$

Wir wissen, dass x = 4 die Gleichung löst. Gehen wir davon aus, dass wir die Lösung dieser Gleichung nicht kennen. Welche Werte könnte x überhaupt annehmen, ohne, dass es zu Problemen kommt. Wir wissen, dass unter der Wurzel (der Radikand) nichts Negatives stehen darf. Also schauen wir uns an, für welche x die Wurzel keinen negativen Ausdruck beinhaltet.

Wir sehen direkt, dass x alle reellen Zahlen annehmen kann, die größer gleich (-5) sind, ohne dass wir Probleme mit der Wurzel bekommen.

Was wir gerade bestimmt haben, nennt man Definitionsmenge. Unsere Aussage schreibt man wie folgt auf:

D = { x ϵ ℝ | x ≥ -5 }

Das heißt so viel wie: Die Definitionsmenge besteht aus allen reellen Zahlen unter der Bedingung, dass x größer gleich (-5) ist.

Möchten wir unsere Gleichung jetzt auflösen, so müssen wir die Gleichung nach x umformen. Uns stört hier jedoch die Wurzel. Wir beseitigen die Wurzel, indem wir beide Seiten quadrieren:

$$ 3\quad =\quad \sqrt { x+5 } \quad |\quad { () }^{ 2 }\\ { 3 }^{ 2 }\quad =\quad { (\sqrt { x+5 } ) }^{ 2 }\\ 9\quad =\quad x\quad +5\quad $$

Wir können diese Gleichung nun wie bereits bekannt auflösen:

$$ 9\quad =\quad x\quad +5\quad |\quad -5\\ x\quad =\quad 4 $$

Wichtig ist jetzt, dass wir unsere Lösung überprüfen. Denn es kann sein, dass unsere Lösung nicht in der Definitionsmenge liegt. Somit wäre unsere vermeintliche Lösung gar keine echte Lösung der Gleichung. Also machen wir die Probe und setzen x = 4 ein:

$$ 3\quad =\quad \sqrt { 4+5 } \quad \\ 3\quad =\quad \sqrt { 9 } \\ 3\quad =\quad 3\\ $$

Unsere Lösung ist also wirklich eine Lösung.

2. Beispiel:

Schauen wir uns jetzt eine andere Wurzelgleichung an:

$$\sqrt { 3·x } =\sqrt { 14\quad +\quad x }$$

Wir haben auf beiden Seiten eine Wurzel stehen. Lösen wir diese Gleichung auf, so quadrieren wir wieder beide Seiten und formen anschließend nach x um:

$$ \begin{align} &\sqrt{3·x} = \sqrt { 14+x } &\vert { () }^{ 2 } \\ &{ (\sqrt { 3·x } ) }^{ 2 } = { (\sqrt { 14+x } ) }^{ 2 } \\ &3·x = 14 + x &\vert -x \\ &2·x = 14 &\vert :2 \\ &x = 7 \end{align} $$

Machen wir auch hier die Probe, so erhalten wir:

$$ \sqrt{3·x} = \sqrt { 14+x } \quad\vert x=3 \\ \sqrt { 3·7 } = \sqrt { 14 + 7 } \\ \sqrt { 21 } = \sqrt { 21 } \\ $$

Unsere Lösung ist also wirklich eine Lösung.

Auch hier können wir die Definitionsmenge bestimmen. Für unsere Definitionsmenge dürfen wir nun in beiden Wurzeln keine Probleme erhalten. Wir haben also auf der linken Seite der Gleichung die Definitionsmenge:
D = { x ϵ ℝ | x ≥ 0 }

Auf der rechten Seite der Gleichung haben wir die Definitionsmenge:

D = { x ϵ ℝ | x ≥ -14 }

Wir müssen aber eine Definitionsmenge für die gesamte Gleichung angeben. Diese finden wir, wenn wir uns anschauen, welche Werte für x in beiden Definitionsmengen liegen. Zum einen x ≥ 0 und zum anderen x ≥ -14. Unsere Definitionsmenge für die gesamte Gleichung ist somit:

D = { x ϵ ℝ | x ≥ 0 }

3. Beispiel:

Lösen wir noch eine dritte Wurzelgleichung:

$$ \sqrt { 15 - 2·x } + 1 = 3,5 $$

Wir können jetzt nicht einfach direkt beide Seiten quadrieren. Wenn wir dies machen würden, so müssten wir die binomische Formel auf der linken Seite der Gleichung anwenden. Das würde unser Problem nicht lösen, da immer noch eine Wurzel enthalten sein würde.

Was wir machen müssen ist ganz simpel. Wir subtrahieren von beiden Seiten den Wert 1. Somit haben wir den Wurzelausdruck alleine auf einer Seite stehen. Wir können dann ganz normal weiter machen:

$$ \begin{align} \sqrt { 15 - 2·x } + 1 = 3,5 &\quad\vert -1 \\ \sqrt { 15 - 2·x } = 2,5 &\quad\vert { () }^{ 2 } \\ 15 - 2·x = 6,25 &\quad\vert -15 \\ -2·x = -8,75 &\quad\vert :(-2) \\ x = 4,375 \end{align} $$

Auch hier machen wir wieder die Probe, indem wir x= 4,375 einsetzen:

$$ \sqrt { 15 - 2·4,375 } + 1 = 3,5\\ \sqrt { 15 - 8,75 } + 1 = 3,5\\ \sqrt { 6,25 } + 1 = 3,5\\ 2,5+1 = 3,5\\ 3,5 = 3,5 $$ Unsere Gleichung ist wahr, also ist unsere Lösung auch richtig.

Probe zum Ausschließen von Scheinlösungen

Bei den vorherigen Beispielen ist die Probe am Ende immer aufgegangen. An den folgenden Beispielen werden wir sehen, warum wir überhaupt eine Probe durchführen müssen und dass diese Probe nicht immer funktioniert.

Beispiel 1

$$ 1+x = \sqrt { 4 - x } $$

Wir verfahren genau so wie bei den anderen Beispielen:

$$ 1+x = \sqrt { 4 - x } \qquad |{ () }^{ 2 }\\ { (1+x) }^{ 2 } = { (\sqrt { 4 - x } ) }^{ 2 } $$

Auf der linken Seite wenden wir nun die binomische Formel an:

$$ \\ 1 + 2·x + { x }^{ 2 }= { 4 - x } $$

Wir bringen die rechte Seite auf die linke Seite und ändern anschließend die Reihenfolge der Summanden:

$$ 1 + 2·x + { x }^{ 2 } = { 4 - x } \qquad |-(4-x)\\ 1 + 2·x + { x }^{ 2 } - 4 + x = 0\\ { x }^{ 2 } + 3·x - 3 = 0 $$

Jetzt sehen wir, dass wir die pq-Formel anwenden können mit p = 3 und q = -3.

$$ { x }_{ 1,2 } = -\frac { 3 }{ 2 } \pm \sqrt { ({ \frac { 3 }{ 2 } ) }^{ 2 } - (-3) } \\ { x }_{ 1,2 } = -\frac{ 3 }{ 2 } \pm \sqrt { 5,25 } $$

Wir nehmen jetzt den Taschenrechner zur Hilfe um die Wurzel zu berechnen und erhalten:

$$ { x }_{ 1 } \approx 0,791 \\ { x }_{ 2 } \approx -3,791 $$

Machen wir mit beiden eventuellen Lösungen jetzt die Probe (auch hier müssen wir den Taschenrechner benutzen):

$$ 1 + x = \sqrt { 4 - x } \qquad | x = 0,791 \\ 1 + 0,791 = \sqrt { 4 - 0,791 } \\ 1,791 = \sqrt { 3,209 } \\ 1,791 = 1,791 $$

x1 = 0,791 ist also eine korrekte Lösung der Gleichung.

Anmerkung: Eigentlich hätten wir hier mit dem nicht gerundeten Wert rechnen müssen, also einsetzen von x1 = (-3/2 + √5,25), da die √3,209 nicht exakt 1,791 ergibt. Der Einfachheit halber haben wir oben jedoch den gerundeten Wert gewählt.

Jetzt fehlt noch die Probe mit der 2. Lösung x2 = -3,791:

$$ 1 - 3,791 = \sqrt { 4 + 3,791 } \\ -2,791 = \sqrt { 7,791 } \\ -2,791 \neq 2,791 $$

Wir sehen, dass unsere zweite angebliche Lösung die Gleichung nicht löst.

Als Lösung haben wir also nur x1 = 0,791.

Ambiguität (Zweideutigkeit) der Wurzel

Warum ist es überhaupt möglich, dass wir eine Scheinlösung erhalten können? Bzw. zwei Lösungen für x? Betrachten wir dazu folgende Gleichung:

$$ { (-5) }^{ 2 } = 25 $$

Wir setzen x = (-5) und verstecken damit unsere (-5):

$${ x }^{ 2 } = 25 $$

Wenn wir das nun erneut auflösen wollen, so ziehen wir die Wurzel auf beiden Seiten. Da aber die Wurzel einer positiven Zahl immer positiv ist, erhalten wir:

$${ x }^{ 2 } = 25 \quad | \sqrt { \phantom{x} } \\ x = +5 $$

Unser x war ursprünglich jedoch (-5). Deshalb müssen wir, wenn wir bei solchen Gleichungen die Wurzel auf beiden Seiten ziehen, vor den Term ein ± setzen, um das negative Ergebnis auch zu berücksichtigen. Wir haben also die Lösung:

$$ { x }^{ 2 } = 25 \quad | \sqrt { \phantom{x} } \\ x = \pm \sqrt {25} \\ x_1 = 5 \quad \text{und} \quad x_2 = -5 $$

In diesen Fällen spricht man von der Ambiguität (Zweideutigkeit) der Wurzel.

Wir sehen also, dass wir beim Quadrieren immer ein positives Ergebnis erhalten. Wollen wir die Rechnung mit Hilfe der Wurzel rückgängig machen, so erhalten wir unter Umständen nicht den ursprünglichen Wert.

Es ist also wichtig, jedes Mal die Probe durchzuführen, um falsche Werte auszuschließen.

Zusatz zur Ambiguität

Der Wert einer Wurzel kann immer nur positiv sein. \( \sqrt{9} = +3 \), jedoch nie -3. Diese Unterscheidung tritt nur bei Wurzelgleichungen auf.

Für die korrekte Schreibweise, um diesen Sachverhalt klar zu machen, verwendet man den Betrag:

$$ x^2 = 9 \quad | \sqrt { \phantom{x} } \\ |x| = +3 \\ x_{1,2} = ±3 $$

Bei \( |x| = 3 \) muss man sich überlegen, welche Zahl für x eingesetzt werden kann, und weiß: Das sind 3 und -3, da der Betrag jede negative Zahl in ihren positiven Wert überführt.

Beispiel 2

$$ \sqrt { x + 20 } = -5 $$

Wir werden sehen, dass wir bei diesem Beispiel keine Lösung erhalten. Versuchen wir diese Gleichung zu lösen:

$$ \sqrt { x + 20 } = -5 \quad |{ () }^{ 2 }\\ x + 20 = 25 \quad \quad | -20\\ x = 5 $$

Wir erhalten also x = 5 als Lösung. Diese Lösung nennt man eine Scheinlösung. Warum wir die Lösung so nennen, sehen wir bei der Probe:

$$\sqrt { x + 20 } = -5 \\ \sqrt { 5 + 20 } = -5 \\ \sqrt { 25 } \neq -5 \\ 5 \neq -5 $$

Die Lösung scheint also nur richtig zu sein, ist es jedoch nicht, wie die Probe bestätigt hat. Die Gleichung hat in Wirklichkeit keine Lösung.

Wir halten dann die leere Lösungsmenge fest mit: L= { }

Beispiel 3

Einen weiteren Fall sehen wir in diesem Beispiel:

$$ \sqrt { 2·x } = \sqrt { x - 1 } $$

Lösen wir dies einmal auf:

$$ \sqrt { 2·x } = \sqrt { x - 1 } \quad |{ () }^{ 2 }\\ 2·x = x-1 \quad \quad |-x \\ x = -1 $$

Auch hier überprüfen wir, ob unsere Lösung richtig ist oder ob nur eine Scheinlösung vorliegt. Wir setzen x = (-1) ein:

$$ \sqrt { 2·x } = \sqrt { x - 1 } \quad | x = -1 \\ \sqrt { 2·(-1) } = \sqrt { (-1) - 1 } \\ \sqrt { -2 } = \sqrt { -2 } $$

Da eine Wurzel aus einem negativen Wert nicht definiert ist, geht unsere Gleichung nicht auf. Unsere Lösung ist also wieder nur eine Scheinlösung. Wir haben somit keine Lösung, also L = { }

Schwierigere Wurzelgleichungen

Auch hier machen wir uns das Lösungsverfahren noch an zwei anspruchsvolleren Gleichungen anschaulich.

1. Beispiel

$$ 4·\sqrt { x } = 100\\ $$

Wir können die Wurzel wieder isolieren, in dem wir beide Seiten durch 4 teilen:

$$4·\sqrt { x } = 100 \quad |:4\\ \sqrt { x } = 25 $$

Dies können wir ganz einfach auflösen. Wir erhalten, nachdem wir quadriert haben:

$$ x = 625 $$

Die Probe zeigt uns, dass unsere Lösung richtig ist:

$$ 4·\sqrt { 625 } = 100\\ 4·25 = 100 \\ 100 = 100 $$

2. Beispiel

$$ 3·\sqrt { x - 16 } = \sqrt { 20 + x } $$

Wir können den Vorfaktor auf der linken Seite nicht einfach entfernen. Wir quadrieren zuerst beide Seiten:

$$ 3·\sqrt { x - 16 } = \sqrt { 20 + x } \quad |{ () }^{ 2 } \\ { (3·\sqrt { x - 16 } ) }^{ 2 } = { (\sqrt { 20 + x } ) }^{ 2 } $$

Wir wenden nunmehr folgendes Potenzgesetz an:

$$ { (a·b) }^{ 2 }= { a }^{ 2 }{ b }^{ 2 } $$

Und erhalten somit:

$$ 3^2·(\sqrt{ x - 16 })^2 = { (\sqrt { 20 + x } ) }^{ 2 } \\ 9·(x - 16) = 20 + x \\ 9·x - 144 = 20 + x \quad |+144 \\ 9·x = 164 + x \quad |-x \\ 8·x = 164 \quad |:8 \\ x = 20,5 $$

Als mögliches Ergebnis haben wir also x = 20,5.

Machen wir auch hier die Probe:

$$ 3·\sqrt { x - 16 } = \sqrt { 20 + x } \quad |x=20,5\\ 3·\sqrt { 20,5 - 16 } = \sqrt { 20 + 20,5 } \\ 3·\sqrt { 4,5 } = \sqrt { 40,5 } \\ 6,364 = 6,364 $$

Unser Ergebnis löst die Gleichung also.

Grafische Lösung

Wenn wir eine Wurzelgleichung vorzuliegen haben, können wir uns auch vorstellen, dass wir zwei Funktionsgleichungen (Linksterm = Rechtsterm) miteinander gleichgesetzt haben. Das macht man im Allgemeinen, wenn man den Schnittpunkt zweier Funktionen bestimmen möchte. Schauen wir uns das genauer an:

$$ \sqrt { 3 + x } = x + 5 $$

In diesem Beispiel wäre dann:
$$ f(x) = \sqrt { 3 + x } \\ g(x) = x + 5 $$

Betrachten wir die dazugehörigen Graphen:

wurzelfunktionen zwei graphen

Wir sehen, dass die Funktionen keinen Schnittpunkt haben. Wenn wir die Gleichung also mit unserem Verfahren auflösen, würden wir mit der Probe erkennen, dass die Gleichung keine Lösung besitzt.

Ändern wir die Gleichung zu:

$$ \sqrt { 3 + x } = x $$

Als Schnittpunktberechnung zweier Funktionen betrachtet, wäre dies:

$$ f(x) = \sqrt { 3 + x } \\ g(x) = x $$

Die Graphen dazu:

wurzelfunktionen mit schnittpunkt

Wir sehen, dass die Graphen sich schneiden. Es muss also eine Lösung existieren. Versuchen wir abzulesen, wo diese Lösung ungefähr liegt, bei etwa x = 2,3.

Rechnen wir nach:

$$\sqrt { 3 + x } = x \quad |{ () }^{ 2 } \\ 3 + x = { x }^{ 2 } \quad |-(3 + x) \\ { x }^{ 2 }- x - 3 = 0 $$

Wenden wir die pq-Formel an:

$$ { x }_{ 1,2 } = -(\frac { -1 }{ 2 } ) \pm \sqrt { { (\frac { -1 }{ 2 } ) }^{ 2 }-(-3) } \\ { x }_{ 1,2 } = -(\frac { -1 }{ 2 } ) \pm \sqrt { 3,25 } $$

Berechnen wir mit dem Taschenrechner die Lösungen:

$$ { x }_{ 1 } = 2,303\\ { x }_{ 2 }= -1,303 $$

Aus dem Graphen wissen wir, dass nur eine Lösung richtig sein kann, nämlich x = 2,303. Auch mit der Probe erhalten wir das selbe Ergebnis.

Verschachtelte Wurzeln lösen

Es können auch Gleichungen auftreten, bei denen in den Wurzeln wieder Wurzeln stehen. Zeigen wir, wie man diese Gleichungen löst:

1.Beispiel

$$ \sqrt { -x+\sqrt { -x + 5 } } = 4 $$

Wir quadrieren beide Seiten und bringen das x auf die rechte Seite:

$$ \sqrt { -x+\sqrt { -x + 5 } } = 4 \quad |{ () }^{ 2 } \\ -x+\sqrt { -x + 5 } = 16 \quad |+x \\ \sqrt { -x + 5 } = 16 + x $$

Wir können nun noch einmal quadrieren und auf der rechten Seite die binomische Formel anwenden:

$$ \sqrt { -x + 5 } = 16 + x \quad | { () }^{ 2 }\\ -x + 5 = 256 + 32·x + { x }^{ 2 } \quad |+x -5 \\ { x }^{ 2 } + 33·x + 251 = 0 $$

Mit der pq-Formel erhalten wir:

$$ { x }_{ 1 } \approx -11,8902\\ { x }_{ 2 } \approx -21,1098 $$

Durch die Probe stellen wir fest, dass nur x = -11,8902 die Gleichung löst.

2. Beispiel

$$ \sqrt { 3·x + 3 } = \sqrt [ 4 ]{ -9·x } $$

Hier müssen wir die vierte Wurzel auflösen. Also beide Seiten mit 4 potenzieren:

$$ \sqrt { 3·x + 3 } = \sqrt [ 4 ]{ -9·x } \quad |{ () }^{ 4 } \\ { (\sqrt { 3·x + 3 } ) }^{ 4 } = {(\sqrt [ 4 ]{ -9·x } ) }^{ 4 } $$

Am Anfang hatten wir gezeigt, dass man die Wurzeln auch als Potenz darstellen kann. Nehmen wir uns diese Schreibweise als Hilfe:

$$ { (\sqrt { 3·x + 3 } ) }^{ 4 } = { (\sqrt [ 4 ]{ -9·x } ) }^{ 4 }\\ { ({ (3·x+3) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }) }^{ 4 } = { -9·x }\\ { (3·x+3) }^{ \frac { 4 }{ 2 } } = -9·x\\ { (3·x+3) }^{ 2 } = -9·x $$

Auch hier können wir ganz normal die binomische Formel anwenden und anschließend die pq-Formel:

$$ { (3·x+3) }^{ 2 } = -9·x \\ 9·{ x }^{ 2 } + 18·x + 9 = -9·x \quad |+9·x \\ 9·{ x }^{ 2 } + 27·x + 9 = 0 \quad |:9 \\ { x }^{ 2 } + 3·x + 1= 0 $$

Mit der pq-Formel erhalten wir als mögliche Lösungen:

$$ { x }_{ 1 } \approx -0,382\\ { x }_{ 2 } \approx -2,618 $$

Mit der Probe stellen wir fest, dass nur x = -0,382 die Gleichung löst.

3.Beispiel

Eine weitere Aufgabe zeigt uns, dass es manchmal hilfreich ist, die Potenzschreibweise zu benutzen:

$$\frac { \sqrt [ 3 ]{ a } ·\sqrt { a } }{ \sqrt [ 3 ]{ { a }^{ 1/2 } } :\sqrt [ 3 ]{ { a }^{ 4 } } } = 49 $$

Die Gleichung sieht sehr kompliziert aus. Benutzen wir jedoch die Potenzschreibweise und vereinfachen Schritt für Schritt, so erhalten wir:

$$ \frac { { a }^{ \frac { 1 }{ 3 } }·{ a }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ { a }^{ \frac { 1/2 }{ 3 } }:{ a }^{ \frac { 4 }{ 3 } } } = 49\\ \frac { { a }^{ \frac { 1 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 2 } } }{ { a }^{ \frac { 1 }{ 6 } }:{ a }^{ \frac { 4 }{ 3 } } } = 49\\ \frac { { a }^{ \frac { 1 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 2 } } }{ { a }^{ \frac { 1 }{ 6 } -\frac { 4 }{ 3 } } } = 49\\ \frac { { a }^{ \frac { 5 }{ 6 } } }{ { a }^{ -\frac { 7 }{ 6 } } } = 49\\ { a }^{ \frac { 5 }{ 6 } -(-\frac { 7 }{ 6 } ) } = 49\\ { a }^{ \frac { 12 }{ 6 } } = 49\\ { a }^{ 2 } = 49\\ { a }_{ 1 } = 7 \quad oder \quad { a }_{ 2 }= -7 $$

Wir haben gesehen, dass die Gleichung mit Hilfe der Potenzschreibweise durch reines Anwenden der Potenzgesetze zu lösen ist.

Anleitung zum Auflösen von Wurzelgleichungen

Zum Schluss nochmal eine kurze Anleitung zum Auflösen von Wurzelgleichungen:

  1. Wurzel allein auf eine Seite der Gleichung bringen (also die Wurzel, die die Unbekannte x enthält)
  2. Gleichung quadrieren (Wurzel fällt weg)
  3. Gleichung nach x auflösen
  4. Probe durchführen

Tipp: Wie man Wurzelwerte selbst berechnen kann, erfahrt ihr in dem Artikel „Wurzeln selbst berechnen“.

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