Zahlenmengen

Einführung Zahlenmengen

Zahlenmengen sind verschiedene Mengen an Zahlen, die bestimmte Eigenschaften aufweisen.

Zur Erinnerung:
Eine Zahl ist ein Zeichen für eine Anzahl. Allgemein ist eine Zahl ein "mathematisches Objekt".
Eine Menge meint eine Zusammenfassung von einzelnen Elementen.

Entstehung der Zahlen

Historisch begannen die Menschen, Anzahlen mit Strichen festzuhalten (zum Beispiel als Einritzungen in einer Wand). Sie zählten mit ihren Fingern, von denen der Mensch an jeder Hand 5 hat, also ingesamt 10 Finger. Man konnte sehr viele Striche verwenden, doch bei größeren Zahlen wurde dies mühselig und unübersichtlich, insbesondere das Nachzählen.

Die Menschen haben dann nach besseren Lösungen gesucht und Zeichen für eine Anzahl von Strichen entwickelt. Damit war sofort überblickbar, wie groß die Zahl ist, ohne Abzählen zu müssen. Verschiedene Zahlensysteme wurden entwickelt, so die Römischen Zahlen und die modern-arabischen Zahlen, die wir heute nutzen.

Gemäß der Anzahl der Striche nutzen wir die Zahlzeichen:

I → 1
II → 2
III → 3
IIII → 4
IIIII → 5
IIIIII → 6
IIIIIII → 7
IIIIIIII → 8
IIIIIIIII → 9

Um nicht für weitere Striche weitere Zeichen erfinden zu müssen, beschränkte man sich auf 1 bis 9 und die 0. Zusätzlich entwickelte man das Stellensystem, also dass die Position der Ziffer in der Zahl eine Zehneranzahl angibt.

Beispiel: Die Ziffer 3 ist an zweiter Stelle bei "2530" (die Zehnerstelle), damit ist ihre Wertigkeit: 3·10, also 30. Die Ziffer 5 ist an dritter Stelle bei "2530" (die Hunderterstelle), damit ist ihre Wertigkeit: 5·100, also 500. Die Ziffer 2 ist an vierter Stelle bei "2530" (die Tausenderstelle), damit ist ihre Wertigkeit: 2·1000, also 2000.

Man kann die Zahl 2530 auch schreiben als: 2000 + 500 + 30 + 0 bzw. 2·1000 + 5·100 + 3·10 + 0·1. Damit kann man die Schreibweise "2530" als Abkürzung dieser Addition anerkennen.

Natürliche Zahlen

Die natürlichen Zahlen (sie kommen "aus der Natur") können mit den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 dargestellt werden, wir benötigen keine Vorzeichen, Kommas oder dergleichen.

Jeder natürliche Zahl hat einen Nachfolger. Beispiele: Die Zahl 5 hat den Nachfolger 6. Die Zahl 110 hat den Nachfolger 111.

Die natürlichen Zahlen sind abzählbar. Für diese Zahlenmenge verwenden wir das Zeichen ℕ.

$$ \mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, 4, 5, \ldots \} $$

Je nach Festlegung kann die Null in die Menge aufgenommen werden oder nicht. Die Schreibweise für die Menge sieht dann so aus:

Natürliche Zahlen inklusive Null: \( \mathbb{N}_0 = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ldots \} \)

Da jede Zahl immer einen Nachfolger hat (mit +1 zu ermitteln), gibt es unendlich viele Natürliche Zahlen.

Ganze Zahlen

Die ganzen Zahlen werden notwendig, da mit den Natürlichen Zahlen keine negativen Werte dargestellt werden können. Höhen können Werte unter Null haben, genauso Temperaturen, Kontostände etc.

Die ganzen Zahlen sind sozusagen die Natürlichen Zahlen und deren Umkehrung (mit negativem Vorzeichen) inklusive der Zahl Null.

Für diese Zahlenmenge verwenden wir das Zeichen ℤ.

$$ \mathbb{Z} = \{ \ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \} $$

Die Natürlichen Zahlen gelten als Teilmenge der Ganzen Zahlen, man schreibt \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \)

Da jede Zahl immer einen Vorgänger (mit -1) und einen Nachfolger hat (mit +1), gibt es unendlich viele Ganze Zahlen. Wenn wir die Vorgänger betrachten, gehen wir Richtung minus unendlich (-∞). Wenn wir die Nachfolger betrachten, gehen wir Richtung plus unendlich (+∞).

Primzahlen - Teilmenge der natürlichen Zahlen

Primzahlen sind natürliche Zahlen, die nur den Teiler 1 und sich selbst haben. Also 7 ist nur durch 1 und 7 teilbar und damit eine Primzahl. Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, …

Für diese Zahlenmenge verwenden wir das Zeichen ℙ bzw. mit Latex \( \mathbb{P} \).

$$ \mathbb{P} = \{ 2, 3, 5, 7, 11, \ldots \} $$

Teilmengen der ganzen Zahlen

Die ganzen Zahlen können nach Eigenschaften in weitere Teilmengen unterteilt werden.

1. Gerade Zahlen

Die geraden Zahlen sind ganze Zahlen, die :2 teilbar sind (also das Ergebnis ist wieder eine ganze Zahl).

Gerade Zahlen sind: …, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, …

Gerade Zahlen können gebildet werden mittels: z = 2·k, wobei k ∈ ℤ.

2. Ungerade Zahlen

Die ungeraden Zahlen sind ganze Zahlen, die bei :2 einen Rest von 1 ergeben. Beispiel: 7:2 = 3 Rest 1

Ungerade Zahlen sind: …, -7, -5, -3, -1, 0, 1, 3, 5, 7, 9, …

Ungerade Zahlen können gebildet werden mittels: z = 2·k+1, wobei k ∈ ℤ.

Übrigens könnnten wir auch bei den natürlichen Zahlen die geraden und ungeraden Zahlen bestimmen.

Rationale Zahlen

Die rationalen Zahlen werden notwendig, wenn wir natürliche oder ganze Zahlen miteinander dividieren, denn durch die Division können Ergebnisse entstehen, die keine natürliche oder ganze Zahl mehr sind.

Beispiele:

10 : 2 = 5
Zwei natürliche Zahlen ergeben eine natürliche Zahl. 5 ist Element von ℤ. Kurz: 5 ∈ ℤ.

10 : 3 = 3,…
Zwei natürliche Zahlen ergeben keine natürliche Zahl mehr. Wir schreiben 10 : 3 als \( \frac{10}{3} \).
Das Ergebnis ist nicht Element von ℤ. Kurz: \( \frac{10}{3} \) ∉ ℤ.

Diese Art von Zahlen, die mit Hilfe von Brüchen dargestellt werden, nennen wir Rationale Zahlen.

Für diese Zahlenmenge verwenden wir das Zeichen ℚ (Q steht für Quotient, das Ergebnis einer Division).

$$ \mathbb{Q} = \{ \ldots, -\frac{10}{9}, -2, -\frac{2}{2}, 0, \frac{1}{2}, \frac{5}{2}, 3, \ldots \} $$

Allgemein ist eine Rationale Zahl eine Zahl der Form \( \frac{a}{b} \), wobei m und n Ganze Zahlen sein müssen. Zudem darf n nicht 0 sein, damit keine Division durch Null auftritt. Allgemeine Notation ("|" bedeutet "unter der Bedingung"):

$$ \mathbb{Q}=\{\frac{a}{b} \; | \; a,b \in \mathbb{Z}, \; b \neq 0\} $$

Es gibt unendlich viele Rationale Zahlen in Richtung minus unendlich (-∞) und in Richtung plus unendlich (+∞). Zudem gibt es unendlich viele Zahlen zwischen zwei rationalen Zahlen. Beispiel: Zwischen \( \frac{1}{2} \) und \( \frac{1}{3} \) finden sich unendlich viele weitere Brüche.

Es ist zu beachten, dass jede Natürliche Zahl und jede Ganze Zahl auch Rationale Zahlen sind. Wir können sie jeweils als Bruch notieren. Zum Beispiel: \( 2 = \frac{2}{1} = \frac{4}{2} \). Vergleiche hierzu auch Brucharten.

Die Natürlichen und Ganzen Zahlen gelten als Teilmenge der Rationalen Zahlen, man schreibt \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \)

Irrationale Zahlen

Auf die irrationalen Zahlen stoßen wir, wenn wir die Wurzeln aus Natürlichen Zahlen ziehen.

Gegenüberstellung von zwei Beispielen:

√25 = 5 ← rationale Zahl
Die Wurzel aus der natürlichen Zahl 25 ergibt die natürliche bzw. rationale Zahl 5, da 5² = 25. Wir können festhalten: √25 und 5 sind Element von ℚ. Kurz: √25 ∈ ℚ, 5 ∈ ℚ.

√26 = 5,0990195… ← irrationale Zahl
Die Wurzel aus der natürliche Zahl 26 ergibt keine rationale Zahl mehr. Wir lassen damit √26 unangetastet als Ergebnis stehen.
Das Ergebnis lässt sich nicht als Bruch darstellen! Es ist damit nicht Element von ℚ. Kurz: √26 ∉ ℚ.
√26 ist eine irrationale Zahl.

Für diese Zahlenmenge verwenden wir das Zeichen I in LaTex: \( \mathbb{I} \)

Irrationale Zahlen haben die folgenden Eigenschaften:

  • sind nicht als Bruch darstellbar
  • haben unendlich viele Nachkommastellen (Dezimaldarstellung bricht nicht ab)
  • haben Nachkommastellen, die nicht periodisch sind

Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen sind keine Teilmenge der irrationalen Zahlen, man schreibt \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \not\subset \mathbb{I} \)

1. Algebraische Zahlen (Irrationale Zahlen)

Es gibt zwei Arten von irrationalen Zahlen, zum einen die algebraischen und die transzendenten Zahlen. Zu den algebraischen zählen zum Beispiel Quadratwurzeln aus Nicht-Quadratzahlen (also √2, √3, √5, √6, √7, √8, √10, …). Zu den transzendenten gehören zum Beispiel Pi und e.

Die algebraischen irrationalen Zahlen sind Zahlen, die Nullstellen eines Polynoms der Form \( f(x) = a_n · x^n + a_{n-1}·x^{n-1} + \ldots + a_1·x + a_0 = 0 \) sind, wobei alle Koeffizienten \( a_k \in \mathbb{Q} \).

Prüfen wir, ob Wurzel 2 algebraisch ist, indem wir für x die √2 einsetzen:

$$ f(x) = x^2 - 2 = y \quad | x = \sqrt{2} \\ f( \sqrt{2} ) = \sqrt{2} ^2 - 2 = 0 $$

√2 ist also Nullstelle eines Polynoms und damit algebraisch.

Wir können für die Menge der algebraischen irrationalen Zahlen das Zeichen \( \mathbb{A} \) verwenden.

2. Transzendente Zahlen (Irrationale Zahlen)

Außerdem gehören die transzendenten Zahlen zu den irrationalen Zahlen. Beispiele von transzendenten Zahlen sind Pi mit π = 3,1415 … oder die Eulersche Zahl e = 2,71828…

Die Besonderheit von transzendenten Zahlen ist, dass sie nicht als Polynom darstellbar sind. Zur Erinnerung: Ein Polynom ist zum Beispiel 3·x²+4·x1-3·x0.

Wurzel 2 ist irrational, aber nicht transzendent, denn wir können √2 als Polynom schreiben: \( x^2 - 2 = 0 \). Setzen wir dort \( x = \sqrt{2} \) ein, so geht die Gleichung auf (mindestens eine Nullstelle existiert).

Die Kreiszahl π (Pi) hingegen ist irrational und transzendent, denn es gibt kein Polynom, das den Wert von π beschreibt.

Merke: Eine Zahl ist transzendent, wenn es kein Polynom gibt, dessen Nullstelle sie ist - mit Koeffizienten aus Q (Rationale Zahlen).

"Transzendent" kommt übrigens von Lateitinisch "transcendentia" und bedeutet "das Überschreiten". Allgemein gilt als transzendent, was außerhalb unserer möglichen Sinneswahrnehmung bzw. Erfahrung liegt.

Wir können für die Menge der algebraischen irrationalen Zahlen das Zeichen \( \mathbb{T} \) verwenden.

Reelle Zahlen

Die reellen Zahlen ergeben sich aus der Menge der rationalen Zahlen \( \mathbb{Q} \) und \( \mathbb{I} \) der irrationalen Zahlen. Für diese Zahlenmenge verwenden wir das Zeichen ℝ.

$$ \mathbb{R} = \{ \ldots, -2,5, -2, -1, -0,\overline{3}, 0, \frac{1}{2}, 1, 2, e, 3, \pi, \ldots \} $$

$$ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$

Grafik zur Darstellung der Zahlenmengen

Zahlenmengen Reelle Zahlen

Teilmenge der Reellen Zahlen

Es kann vorkommen, dass ihr nur die positiven reellen Zahlen angeben sollt, oder nur die negativen, im Folgenden die korrekten Schreibweisen hierfür:

Teilmenge Zeichen Definition Latex
Positive reelle Zahlen \( \mathbb{R}^{+} \) \( x | x \in \mathbb{R}, x > 0 \) \mathbb{R}^{+}
Positive reelle Zahlen inklusive Null \( \mathbb{R}_0^{+} \) \( x | x \in \mathbb{R}, x \geq 0 \) \mathbb{R}_0^{+}
Negative reelle Zahlen \( \mathbb{R}^{-} \) \( x | x \in \mathbb{R}, x < 0 \) \mathbb{R}^{-}
Negative reelle Zahlen inklusive Null \( \mathbb{R}_0^{-} \) \( x | x \in \mathbb{R}, x \leq 0 \) \mathbb{R}_0^{-}
Reelle Zahlen ohne Null \( \mathbb{R}^{*} \) \( x | x \in \mathbb{R}, x \neq 0 \) \mathbb{R}^{*}

Komplexe Zahlen

Die komplexen Zahlen sind werden notwendig, wenn man Lösungen finden möchte für Gleichungen wie \( x^2 = -9 \). Haben wir nur die Reellen Zahlen zur Verfügung, so würden wir schreiben x = nicht definiert, da es keine reelle Zahl gibt, die quadriert -9 ergibt.

Hier helfen uns die komplexen Zahlen weiter, sie sind eine Erweiterung der reellen Zahlen. Es wird eine "imaginäre Einheit" mit \( i^2 = -1 \) eingeführt. Dadurch lassen sich u. a. auch Wurzeln aus negativen Werten ziehen.

Die Zahlenmenge der komplexen Zahlen hat das Zeichen ℂ.

Mit Hilfe der imaginären Einheit \( i^2 = -1 \) können Lösungsmengen bestimmt werden, die im reellen Zahlenbereich nicht existieren. Lösen wir eine entsprechende quadratische Gleichung:

$$ x^2 = -9 \\ x^2 = -1 · 9 \quad | -1 = i^2 \\ x^2 = i^2 · 9 \\ x_1 = +\sqrt{i^2} · \sqrt{9} = +i · 3 \\ x_2 = -\sqrt{i^2} · \sqrt{9} = -i · 3 $$

Die Lösungsmenge lautet: L = { +i · 3; -i · 3 }

Jede komplexe Zahl setzt sich zusammen aus einer imaginären Zahl und einer reellen Zahl. Wir notieren:

Komplexe Zahl = Realteil + Imaginärteil
z = a + b·i

Wobei a, b ∈ ℝ.

Damit gilt außerdem die Mengenzuordnung:

$$ \mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb R \subset \mathbb C $$

bzw:

$$ \mathbb N \subset \mathbb Z \subset (\mathbb{Q} \cup \mathbb{I}) \subset \mathbb C $$

Wir können die Menge der komplexen Zahlen so festhalten:

$$ \mathbb{C} = \{ \ldots, i, 1 + 3·i, 4 - 2·i, \ldots \} $$

Allgemein definiert man die komplexen Zahlen mit:

$$ \mathbb{C}=\{z = a + b·i | a,b \in \mathbb{R}, i = \sqrt{-1}\} $$

Darstellung der komplexen Zahlen im Koordinatensystem

Nachstehend werden die komplexen Zahlen im kartesischen Koordinatensystem dargestellt.

In der obigen Abbildung sehen wir verschiedene Beispiele an komplexen Zahlen.

Punkt A: Der Realteil ist 2 und der Imaginärteil ist 3. Dadurch ergibt sich die komplexe Koordinate (2|3·i). 2 befindet sich auf der reellen Achse (horizontal) und 3 befindet sich auf der imaginären Achse (vertikal).

Punkt B: Der Realteil ist -5 und der Imaginärteil ist 1. Dadurch ergibt sich die komplexe Koordinate (-5|1·i). -5 befindet sich auf der reellen Achse und 1 befindet sich auf der imaginären Achse.

Punkt C: Der Realteil ist -4 und der Imaginärteil ist -3. Dadurch ergibt sich die komplexe Koordinate (-4|-3·i). -4 befindet sich auf der reellen Achse und -3 befindet sich auf der imaginären Achse.

Punkt D: Der Realteil ist 3,5 und der Imaginärteil ist -2. Dadurch ergibt sich die komplexe Koordinate (3,5|-2·i). 3,5 befindet sich auf der reellen Achse und -2 befindet sich auf der imaginären Achse.

Imaginäre Zahlen

Die imaginären Zahlen werden zur Darstellung der Komplexen Zahlen benötigt. Für diese Zahlenmenge gibt es kein Zeichen.

Eine komplexe Zahl, deren Realteil 0 ist z = 0 + i·y = = i·y wird "rein-imaginäre Zahl" genannt.

Quaternionen

Die Quaternionen sind wie die komplexen Zahlen auch eine Erweiterung der reellen Zahlen. Das Wort "Quaternion" kommt von lateinisch "quaternio", was "Vierheit" bedeutet.

Entwickelt wurde diese Zahlenmengen vom Mathematiker William Rowan Hamilton, daher verwenden wir für diese Zahlenmenge das Zeichen ℍ (in LaTeX: \( \mathbb{H} \)). Die Zahlen werden im Übrigen auch Hamilton-Zahlen genannt.

Jede Quaternion lässt sich eindeutig notieren in der Form:

$$ x = x_{0} + x_{1} \mathrm {i} + x_{2} \mathrm {j} + x_{3} \mathrm {k} $$

wobei \( x_0, x_1, x_2, x_3 \) reelle Zahlen sind. i, j und k sind die Komponenten der Quaternion.

Alle Zahlenmengen (Komplettgrafik)

Zahlenmengen Übersicht Grafik

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