G17: Zinsrechnung

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Video: Einführung Zinsrechnung

Wichtige Begriffe der Zinsrechnung

Zunächst einmal klären wir einige Begriffe, die wir in der folgenden Lektion benötigen.

Kapital - Das Wort Kapital kommt von dem lateinischem Wort "caput" = Kopf, Haupt. Im Bezug auf das Thema Zinsrechnung ist mit dem Wort Kapital ein bestimmter Wertgegenstand gemeint, nämlich das Geld bzw. Vermögen.

Spareinlage - Hiermit ist das Geld gemeint, das man zum Beispiel bei der Bank zurücklegt, wenn man spart. Wenn man Spareinlagen besitzt, erhält man Zinsen auf diese.

Kredit, Darlehen - Macht man Schulden, indem man sich Geld leiht (z. B. bei der Bank), so nennt man dieses geliehene Geld einen Kredit. Leiht man sich Geld über einen großen Zeitraum (meist auch ein größerer Betrag, zzm Beispiel wie bei einem Hauskauf), also hat man einen langfristigen Kredit, so nennt man diesen ein Darlehen. Wenn man einen Kredit bzw. ein Darlehen hat, so muss man Zinsen darauf zahlen.

Zins - Bei Spareinlagen ist der Zins der Wertezuwachs, den man nach einem bestimmten Zeitraum bekommt.
Als Beispiel: Hat man ein Startkapital (das Geld, das man am Anfang hat) von 100 € bei der Bank angelegt, so bekommt man nach einem bestimmten Zeitraum Zinsen (sogenannte Guthabenzinsen). Erhält man 10 € Zinsen, entspricht dies einem Wertezuwachs von 10 % bzw. 10 €. Man hat nun 110 € Kapital bei der Bank. Diesen Wert, den man nun am Ende hat, nennt man Endkapital. Der Zins bei Spareinlagen wird auch Habenzins oder Guthabenzins genannt.

Bei Krediten ist der Zins der Wert, den man nach einem bestimmten Zeitraum zusätzlich zu dem geliehen Geld zahlen muss. Auf diese Weise machen Banken Gewinn, wenn sie Geld verleihen (Zinsgeschäft). Dieser Zins wird Sollzins genannt.

Zinssatz - Der Zinssatz ist das Gleiche wie der Prozentsatz in der Prozentrechnung. Wir gehen von einer Grundmenge aus, die 100 % ist. Diese Grundmenge ist in diesem Fall z. B. unser Startkapital. Beziehen wir dieses auf das Beispiel von vorhin: Wir haben 100 € Startkapital. Unsere 100 € sind also 100 %. Wir bekommen 10 € Zinsen. Der Zinssatz drückt diese Zinsen jetzt einfach nur als Anteil der 100 € aus. Wir sehen direkt, dass der Zinssatz 10 % ist, da wir wissen, dass 10 % von 100 gleich 10 ist. Wichtig: Der Zinssatz wir immer als Prozentzahl angegeben, also "10 %".

p.a. - Steht die Bezeichnung p. a. (per anno) hinter einem Zinssatz, also zum Beispiel: "Auf einem Sparbuch der XYZ-Bank erhält man 5 % Zinsen p.a.", dann heißt dies einfach nur, dass wir die Zinsen pro Jahr erhalten. per anno (lateinisch) = pro Jahr.

Zusammengefasst:
Das Kapital ist also unsere Gesamtmenge an Geld, die Zinsen sind ein Anteil der Gesamtmenge und der Zinssatz ist der prozentuale Anteil an der Gesamtmenge.

Bekannte Formeln der Prozentrechnung

Wir benötigen drei Formeln, die wir bereits aus der Prozentrechnung kennen. Diese Formeln gelten auch für die Begriffe, die wir gerade kennengelernt haben.

Grundwert: G = W / p → übertragen auf die Zinsrechnung: Kapital K = Z / p

Prozentwert: W = G · p → übertragen auf die Zinsrechnung: Zinsen Z = K · p

Prozentsatz: p = W / G → übertragen auf die Zinsrechnung: Zinssatz p = Z / K

Tipp: Es reicht eine der Formeln auswendig zu lernen. Die anderen Formeln erhalten wir durch Umstellen der Gleichung.

Wer mit diesen Formeln nichts anfangen kann, muss sich noch einmal mit der Lektion G16 Prozentrechnung beschäftigen.

Berechnungen mit Zinsen, Kapital und Zinssatz

Wie man Aufgaben zum Thema Zinsrechnung bearbeitet und löst, werden wir im Folgenden anhand von Beispielen sehen.

Wir haben folgende Aufgabe:

1. Beispiel: Zinsen berechnen

Für ein neues Auto nimmt Herr Müller einen Kredit in Höhe von 10.000 Euro. Er muss jährlich 8 % Zinsen bezahlen.

Wir möchten nun die Höhe der Zinsen Z berechnen, die jährlich bezahlt werden müssen. Verarbeiten wir die Informationen, die uns in dem Aufgabentext gegeben werden:Wir haben einen Kredit in Höhe von 10.000 Euro. Dieser Kredit entspricht unserem Kapital K. Außerdem haben wir einen Zinssatz p.a. (pro Jahr) in Höhe von 8 % gegeben. Fassen wir zusammen:

K = 10.000 €

p = 8 %

Wir nehmen uns die Formel für die Zinsen Z (wir berechnen einen Anteil an der Gesamtmenge Geld, dem Kapital):

Z = K · p

Wir setzen die Werte ein, die uns bekannt sind:

Z = 10.000 € · 8 %

Wir wandeln die Prozentzahl in eine Dezimalzahl um:

8 % = 8 / 100 = 0,08

Somit erhalten wir:

Z = 10.000 € · 0,08 = 800 €

Herr Müller muss also 800 € Zinsen im Jahr bezahlen.

Schauen wir uns noch eine zweite Aufgabe an:

2. Beispiel: Zinssatz berechnen

Herr Schmidt hat 18.000 Euro gespart. Er möchte des Geld bei der Bank anlegen und hofft, jährlich 2.000 Euro Zinsen zu bekommen. Wie hoch muss der Zinssatz sein?

Auch hier schreiben wir einmal die Informationen auf, die wir der Aufgabe entnehmen können. Wir haben: K = 18.000 € und Z = 2.000 €. Gesucht ist hier der Zinssatz p, also p = Z / K.

Setzen wir die gegebenen Werte ein, so erhalten wir:

p = Z / K
p = 2.000 € / 18.000 €
p = 0,11

Wandeln wir dies noch in Prozent um, so erhalten wir:

p = 0,11
p = 11 / 100
p = 11 %

Herr Schmidt muss also mindestens 11 % Zinsen bekommen.

Gesucht waren bis jetzt die Zinsen Z und der Zinssatz p. Es fehlt also noch eine Aufgabe, bei der das Kapital gesucht wird:

3. Beispiel: Kapital berechnen

Frau Meyer erhält 450 Euro Zinsen von ihrer Bank. Der Zinssatz beträgt 8 %. Wie hoch war ihre Anlage?

Wir haben:

Z = 450 €

p = 8 % = 0,08

Da K gesucht wird, nehmen wir die Formel für das Kapital und setzen ein:

K = Z / p
K = 450 € / 0,08
K = 5.625 €

Frau Meyer hat also eine Anlage in Höhe von 5.625 € bei der Bank gehabt.

Zeitgenaue Zinsrechnung

Bis jetzt wissen wir nur, wie man Zinsen berechnet, die jährlich ausgezahlt werden. Was ist aber, wenn wir einen jährlichen Zinssatz haben, aber nur für einen Zeitraum von einigen Monaten unser Kapital anlegen wollen? Also ein Zeitraum, der kleiner ist als ein ganzes Jahr?

Schauen wir uns das einmal an:

Sagen wir, wir haben ein Kapital von 10.000 € und einen Zinssatz von 5 % p.a. Die Höhe der Zinsen, die wir nach einem Jahr erhalten, hätten wir nun mit Z = K · p berechnet.

Genauer dargestellt, hätten wir diese Formel benutzt:

Z = K · p · 1

Die 1 steht für den Zeitanteil an einem ganzen Jahr. Möchten wir die Zinsen für ein halbes Jahr berechnen, so erhalten wir auch nur die Hälfte (1/2) der Zinsen. Für ein halbes Jahr haben wir also Zinsen in Höhe von:

Z = K · p · 1/2
Z = 10.000 € · 0,05 · 1/2
Z = 250 €

Was wurde hier also gemacht? Wir haben unseren Zeitanteil in die Formel eingebaut. Anstatt sich auf ein Jahr zu beziehen, können wir auch von Monaten ausgehen. Ein halbes Jahr sind 6 Monate. Wir können als Zeitanteil deswegen auch 6/12 schreiben und kommen auf das gleiche Ergebnis:

Z = K · p · 6/12
Z = 10.000 € · 0,05 · 6/12
Z = 250 €

Wir sehen, dass sich nichts am Ergebnis ändert. Wer sich an die Bruchrechnung erinnert weiß, dass 1/2 = 6/12, also beide Brüche den gleichen Wert haben. Wollen wir die Zinsen noch genauer berechnen, so nehmen wir uns die Tage als Zeiteinheit. Ein halbes Jahr sind 180 von 360 Tagen. Merke: In der Zinsrechnung wird aus Gründen der Einfachheit jeder Monat mit 30 Tagen berechnet. Wir haben somit:

Z = K · p · 180/360
Z = 10.000 € · 0,05 · 180/360
Z = 250 €

Zusammengefasst erhalten wir für eine zeitgenaue Zinsrechnung die Gleichung:

Z = K · p · t
wobei t unser Zeitanteil ist (t steht in Formeln meist für Zeit, englisch "time").

Durch Umstellen dieser Formel erhalten wir auch Gleichungen für das Kapital und den Zinssatz in der zeitgenauen Zinsrechnung:

Z = K · p · t    | :(p · t)
K = Z / (p · t)

Z = K · p · t    | :(K · t)
p = Z / (K · t)

Bearbeiten wir noch eine Aufgabe, die uns das ganze noch einmal etwas klarer machen soll:

1. Beispiel Zeitgenaue Zinsrechnung - Kapital gesucht

Wie hoch ist das Kapital bei, wenn gegeben sind: Zinsen Z = 400 €; p = 8,5 %; Dauer 4 Monate, also t = 4/12

Setzen wir einfach in die Formel ein:

K = Z / (p · t)
K = 400 € / (0,085 · 4/12)
K ≈ 14.117,65 €

Das Kapital war bei den gegebenen Zinsen, Zinssatz und Zeitraum ca. 14.117,65 €.

Es kann außerdem noch vorkommen, dass wir berechnen müssen, wie lange ein Kapital angelegt werden muss, damit man bei einem bestimmten Zinssatz eine bestimmte Höhe an Zinsen erhält. Bei so einer Aufgabe formen wir unsere Formel nach t um:

Z = K · p · t    | :(K · p)
t = Z / (K · p)

Auch zu dieser Aufgabenart schauen wir uns eine Beispielaufgabe an:

2. Beispiel Zeitgenaue Zinsrechnung - Zeitraum gesucht

Wie lange muss man ein Kapital in Höhe von 45.000 € zu einem Zinssatz von 12,3 % p.a. bei der Bank anlegen, um 4.858,50 € Zinsen zu erzielen?

Benutzen wir die Formel:

Z = K · p · t
t = Z / (K · p)
t = 4.858,50 € / (45.000 € · 0,123)
t ≈ 0,8778 Jahre

Wie bereits erwähnt, wird die Rechnung vereinfacht, indem man für die Zinsrechnung 30 Tage je Monate festlegt. Ein Jahr hat somit stets 360 Tage, es gibt keine Schaltjahre.

Wenn wir die rund 0,8778 Jahre nun so darstellen möchten, dass sie jeder versteht, wandeln wir entsprechend um, indem wir 1 Jahr = 360 Tage definieren und den Dreisatz anwenden:
1 Jahr = 360 Tage
0,8778 Jahre = x Tage
Damit:
1 / 360 = 0,8778 / x
360 / 1 = x / 0,8778
360 = x / 0,8778    | ·0,8778
360 · 0,8778 ≈ 316 Tage

Wir müssten unser Kapital also ungefähr 316 Tage anlegen, um die gewünschte Höhe an Zinsen zu erhalten.

Es ist auch wichtig zu wissen, dass man bei gegebenem Zeitraum mit Datumsbereich den ersten oder den letzten Tag nicht mitrechnet. Hat man also einen Zeitraum vom 1. Mai bis zum 15. Mai, so sagt man, dass der Zeitraum 14 Tage beinhaltet. Wir lassen also einen Tag aus dem Zeitraum weg.

Ein letztes Beispiel hierzu:

3. Beispiel Zeitgenaue Zinsrechnung - Zeitraum ermitteln

Wir legen Geld in einem Zeitraum vom 15. Juni bis zum 25. Dezember an. Wie viele Tage beinhaltet unser Zeitraum?

Wir zählen durch: Wir haben den Zeitraum vom 15. Juni bis zum 30. Juni. Dann haben wir die Monate Juli, August, September, Oktober, November und zuletzt den Zeitraum vom 1. Dezember bis zum 25. Dezember.

Als Zeitraum erhalten wir damit:
t = (15. Jun bis 30. Jun) + Jul + Aug + Sep + Okt + Nov + (1. Dez bis 25. Dez)

Wir setzen für jeden vollen Monat 30 Tage ein:
t = (15. Jun bis 30. Jun) + 30 + 30 + 30 + 30 + 30 + (1. Dez bis 25. Dez)

Jetzt haben wir vom 15. bis zum 30. Juni genau 30 - 15 = 15 Tage und vom 1. Dezember bis zum 25. Dezember genau 25 - 1 = 24 Tage.

Wir erhalten damit:
t = (15. Jun bis 30. Jun) + 30 + 30 + 30 + 30 + 30 + (1. Dez bis 25. Dez)
t = 15 + 30 + 30 + 30 + 30 + 30 + 24 = 189 Tage

Unser Zeitraum wäre also 189 Tage lang.

Kurze Formelübersicht

Die Formeln, die ihr für die einfache Zinsrechnung benötigt, lauten:

$$ Zinsen \ Z = K \cdot p $$ $$ Kapital \ K = \frac{Z}{p} $$ $$ Zinssatz \ p = \frac{Z}{K} $$

Denkt daran, für p nicht eine Zahl (z. B. 20), sondern eine Prozentzahl (z. B. 20 %, also 0,20) einzusetzen.

Wie gesagt, reicht es aus, sich nur die Formel Z = K · p zu merken. Mit Umstellung der Gleichung könnt ihr die anderen beiden Formeln ermitteln.

Merkt euch außerdem, dass ein p.a. für pro anno (also pro Jahr) steht. Wenn ihr es hinter einem Prozentzeichen entdeckt (also zum Beispiel 3 % p.a.), handelt es sich um einen Zinssatz, der sich auf 1 Jahr bezieht.

Die "einfache Verzinsung" meint die Verzinsung auf 1 Jahr bezogen.

Tageszinsen

Falls ihr nicht auf 1 Jahr rechnet, sondern auf einen Teil des Jahres, zum Beispiel 120 Tage, dann benötigt ihr folgende Formeln für das zeitgenaue Zinsrechnen:

$$ Z = K \cdot p \cdot t $$

$$ K = \frac{Z}{p \cdot t} $$

$$ p = \frac{Z}{K \cdot t} $$

$$ t = \frac{Z}{K \cdot p} $$

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