G19: Zinseszins und Zinseszinsformel

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Video: Einführung Zinseszins

Einführung zum Zinseszins

Die einfache Verzinsung kennen wir bereits. Jetzt lernen wir den Zinseszins kennen, der eine Verzinsung über mehrere Jahre ist, wobei auch die bereits erhaltenen Zinsen berücksichtigt bzw. mitverzinst werden. Verdeutlichen wir dies an einem Beispiel:

Haben wir ein Startkapital von 100 € und einen Zinssatz von 10 %, so erhalten wir nach einem Jahr 100 € · 10 % = 100 € · 0,1 = 10 € Zinsen gutgeschrieben. Wir haben also nach Ablauf des ersten Jahres 110 € Kapital. Wenn wir jetzt jedoch ein weiteres Jahr 10 % Zinsen auf unser neues Kapital erhalten, so müssen diese 10 % auf Grundlage der 110 € berechnet werden - also verzinsen wir das Startkapital und den dazugewonnenen Zins aus dem ersten Jahr mit. Wir erhalten also 110 € · 0,1 = 11 € Zinsen im zweiten Jahr. Genauer: 100 € · 10 % + 10 € · 10 % = (100 € + 10 €) · 10 % = 110 € · 10 % = 110 € · 0,1 = 11 € Zinsen. Wir besitzen damit 121 € nach dem zweiten Jahr.

Wie wir sehen, spielen die jedes Jahr dazugewonnenen Zinsen eine wesentliche Rolle für die Verzinsung, sie werden mitverzinst. Dies steht im Gegensatz zur einfachen Verzinsung, wo die Zinsen nicht ins zu verzinsende Kapital einberechnet werden.

Man nennt das Kapital nach n Jahren Kn.

In unserem Beispiel hätten wir damit:
K0 = 100 €
K1 = 110 €
K2 = 121 €

Man nennt die Zinsen nach n Jahren Zn.

Beziehen wir auch das auf unser Beispiel:
Z1 = 10 €
Z2 = 11 €

Hinweis: Ein Z0 wäre 0 €, da wir beim Start (0. Jahr) noch keine Zinsen erhalten.

Wir schauen uns jetzt an, wie sich die einzelnen Kapitale zusammensetzen:
K0 = 100 €
K1 = K0 + Z1
K2 = K0 + Z2

Erinnern wir uns daran, wie sich die Zinsen zusammensetzen:

Z = K · p
wobei K das Kapital und p der Zinssatz ist.

Das können wir auf unsere Gleichungen anwenden und beliebig weiterführen.
K1 = K0 + K0 · p
K2 = K1 + K1 · p
K3 = K2 + K2 · p
K4 = K3 + K3 · p
...

Damit wir aber nicht alle einzelnen Kapitale aus den Vorjahren mühselig berechnen müssen, um zum Beispiel auf den Wert des Kapitals nach 20 Jahren zu kommen, gibt es eine Formel für den Zinseszins:

Zinseszinsformel

Zinseszinsformel mit Startkapital und Zinssatz

Bevor wir diese Formel herleiten, benutzen wir sie, um ein Beispiel zu berechnen: Gegeben sind ein Startkapital von 1000 € und ein Zinssatz von 10 %, es soll das Kapital nach 8 Jahren berechnet werden.

Gegebene Werte notiert:
K0 = 1000 €
p = 10 % = 0,1
n = 8

Diese drei Werte setzen wir in die Zinseszinsformel ein:

Kn = K0 · (1 + p)n
K8 = 1000 € · (1 + 0,1)8

Rechnen wir das mit dem Taschenrechner aus, so ergibt sich:

K8 = 1000 € · (1 + 0,1)8 ≈ 2143,59 €

Nach 8 Jahren haben wir damit 2143,59 € als Kapital.

Herleitung der Zinseszinsformel

Betrachten wir ein weiteres mal die Gleichungen für das Kapital von vorhin:
K1 = K0 + K0 · p
K2 = K1 + K1 · p
K3 = K2 + K2 · p
K4 = K3 + K3 · p
...

Uns fällt auf, dass wir in jeder Gleichung ausklammern können, und zwar wie folgt:
K1 = K0 · (1 + p)
K2 = K1 · (1 + p)
K3 = K2 · (1 + p)
K4 = K3 · (1 + p)
...

Dieses Wissen hilft uns bei der Herleitung. Auch hier nehmen wir das Beispiel vom Anfang zur Hilfe:
Startkapital 100 € und Zinssatz 10 %
K0 = 100 €
K1 = K0 · 110 % = 110 €
K2 = K1 · 110 % = 121 €
K3 = K2 · 110 % = 133,10 €

Setzen wir jetzt K1 in die Gleichung für K2 ein, dann haben wir:
K2 = K1 · 110 %    | K1 = K0 · 110 %
K2 = (K0 · 110 %) · 110 %    | Klammern entfernen
K2 = K0 · 110 % · 110 %

Wir müssen das Startkapital also zwei Mal verzinsen, damit wir K2 erhalten.

Setzen wir jetzt die Gleichung für K2 in die Gleichung von K3 ein:
K3 = K2 · 110 %    | K2 = K0 · 110 % · 110 %
K3 = (K0 · 110 % · 110 %) · 110 %    | Klammern entfernen
K3 = K0 · 110 % · 110 % · 110 %

Wir müssen das Startkapital also dreimal verzinsen, damit wir K3 erhalten.

Schreiben wir diese Gleichungen mit Hilfe von Potenzen auf:
K1 = K0 · 110 % = K0 · (110 %)1
K2 = K0 · 110 % · 110 % = K0 · (110 %)2
K3 = K0 · 110 % · 110 % · 110 % = K0 · (110 %)3
...

Da wir immer wieder 110 % mit dem Startkapital multiplizieren, lässt sich dies auch für eine beliebige Anzahl an Jahren darstellen. Es fällt dabei auf, dass der Exponent genau der Anzahl an Jahren entspricht. Wir erhalten einen Teil unserer Zinseszinsformel:

Kn = K0 · (110 %)n

Es stören jetzt nur noch die 110 % in den Klammern. Schreiben wir 110 % als 100 % + 10 %, denn darin ist der Zinssatz p = 10 % enthalten: 110 % = 100 % + p

Eingesetzt in unsere Formel ergibt das: Kn = K0 · (110 %)n
Kn = K0 · (100 % + 10 %)n
Kn = K0 · (100 % + p)n

Die 100 % können wir schreiben als 100 % = 100 : 100 = 1 und erhalten:

Kn = K0 · (1 + p)n

Damit haben wir die Zinseszinsormel hergeleitet.

Beispiel zum Zinseszins

Machen wir zum Abschluss noch eine weitere Aufgabe, um die Formel zu üben:

Frau Koch legt 2400 Euro bei einer Bank an bei 12 % Zinsen pro Jahr. Wie groß ist das Kapital nach 8 Jahren?

Es gilt also:
K0 = 2400 €
p = 12 %
n = 8

Setzen wir in die Formel ein,so bekommen wir die Lösung nach dem Aufrunden:

Kn = K0 · (100 % + p)n
K8 = 2400 · (1 + 12%)8 =
K8 = 2400 · (1,12)8
K8 = 5942,31 €

Frau Koch hat nach 8 Jahren ca. 5942,31 € Kapital auf der Bank.

Weiterhin sind folgende Berechnungen bzw. Formeln festzuhalten:

Startkapital gesucht

Falls ihr das Startkapital K0 sucht (auch Anfangskapital genannt) und alle anderen Werte gegeben sind, so könnt ihr die Zinseszinsformel verwenden und entsprechend nach K0 umstellen:

$$ { K }_{ n }={ K }_{ 0 }·{ (1+p) }^{ n } \qquad | :{ { (1+p) } }^{ n } \\ { K }_{ n } :{ { (1+p) } }^{ n } = { K }_{ 0 } \\ { K }_{ 0 } = \frac { {K}_{n} }{ {(1+p)}^n } $$

Zinssatz gesucht

Wenn ihr den Zinssatz p berechnen sollt, so müsst ihr die Zinseszinsformel wie folgt nach p umstellen:

$$ { K }_{ n } = { K }_{ 0 }·{ (1+p) }^{ n } \qquad | :{ K }_{ 0 } \\ { K }_{ n }:{ K }_{ 0 } = { (1+p) }^{ n } \qquad | \sqrt [ n ]{ } \\ \sqrt [ n ]{ { K }_{ n }:{ K }_{ 0 } } = \sqrt [ n ]{ { (1+p) }^{ n } } \\ \sqrt [ n ]{ { K }_{ n }:{ K }_{ 0 } } = 1+p \qquad |-1 \\ \sqrt [ n ]{ { K }_{ n }:{ K }_{ 0 } } -1 = p \\ p = \sqrt [ n ]{ \frac { { K }_{ n } }{ { K }_{ 0 } } } -1 $$

Laufzeit gesucht

Wie ihr bei gegebenem Start- und Endkapital die Jahre herausbekommt (also den Exponenten n, der die Laufzeit darstellt), das erfahrt ihr in der Lektion Rechnen mit Logarithmen.

Eine Beispielaufgabe mit Lösung vorab:
"Wie lange dauert es, um von 2400 € auf 4833,60 € zu kommen bei einem Zinssatz von 5%?"

Die Antwort ist: Das geht mit dem Logarithmus.

Der Rechenweg wäre mithilfe der Zinseszinsformel:

Kn = 2400·(1+0,05)n
Kn = 4833,60
2400 ·1,05n = 4833,60    |:2400
1,05n = 2,014

LOG anwenden
ln 1,05n = ln 2,014

Logarithmusgesetz anwenden
n · ln 1,05 = ln 2,014    | : ln 1,05
n = ln 2,014 : ln 1,05
n ≈ 14,35 Jahre

Die Zinseszinsformel ist so wichtig, dass wir sie zum Abschluss noch einmal für euch aufführen:

Zinseszinsformel mit Startkapital und Zinssatz

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