Ebenengleichungen

Lesedauer: 3 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Liegen die Vektoren \(\vec u\) und \(\vec v\) in einer Ebene E, so kann durch Linearkombination dieser Vektoren und mit dem Ortsvektor eines beliebigen Punktes in der Ebene jeder Punkt dieser Ebene beschrieben werden (Abbildung 46):

\( \vec x = \vec p + \mu \cdot \vec u + \lambda \cdot \vec v \) Gl. 343

Dies ist die Parameterdarstellung der Ebenengleichung. Eine Ebene hat zwei Freiheitsgrade, deshalb benötigt sie, anders als die Gerade, zwei Parameter zu ihrer Beschreibung.

Beispiel:

Gegeben seien die Punkte P1(-1,4,1), P2(3,-2,2) und P3(2,7,-3).

Gesucht ist die Ebene, auf der alle drei Punkte liegen.

Lösung:

Die zu den Punkten P1 bis P3 gehörenden Ortsvektoren p1 bis p3 werden zur Bestimmung der zwei Vektoren u und v, die die Ebene aufspannen, herangezogen:

\( \vec u = {\vec p_2} - {\vec p_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }4\\{ - 6}\\1\end{array} } \right) \text{ und } \vec v = {\vec p_3} - {\vec p_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }3\\3\\{ - 4}\end{array} } \right) \)

daraus folgt die Ebenengleichung

\( \vec x = \left( { \begin{array}{*{20}{c} }{-1}\\4\\1\end{array} } \right) + \mu · \left( {\begin{array}{*{20}{c} }4\\{ - 6}\\1\end{array} } \right) + \lambda · \left( { \begin{array}{*{20}{c} }3\\3\\{-4} \end{array} } \right) \)

Weil aber auch der Vektor \( \vec x - \vec p \) in der Ebene E liegt (Abbildung 47), muss er ebenfalls senkrecht zum Normalenvektor \(\vec n\) sein. Daraus folgt, dass

\( \left( {\vec x - \vec p} \right) \cdot \vec n = 0 \) Gl. 344

sein muss.

Gl. 344 wird auch HESSEsche Normalenform der Ebene (Hesse, Ludwig Otto, 1811 - 1874) genannt.

Abbildung 47 HESSEsche Normalenform der Ebene
Abbildung 47: HESSEsche Normalenform der Ebene
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