Gauß-Jordan-Algorithmus

Lesedauer: 7 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus ist ein Schema zur Lösung linearer Gleichungssysteme gegeben, das sehr übersichtlich in der Anwendung ist. Das Lösungsprinzip setzt den Gedanken der Umformung des LGS in eine Dreiecksform konsequent fort. Das Ziel besteht jetzt in der Umformung in eine Diagonaldeterminate, in der nur die Diagonalelemente mit 1, alle übrigen mit 0 besetzt sind:

\(\begin{array}{l}I. & 1 \cdot x\,\,\,\, + \,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,\,\,0 = c_1^*\\II. & 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \,\,\,\,1 \cdot y\,\,\,\, + \,\,\,\,\,\,\,0 = c_2^* & \\III. & 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \,\,\,1 \cdot z = c_3^* & \end{array}\) Gl. 107

Der Nutzen liegt auf der Hand: in jeder Gleichung kommt nur noch eine Unbekannte vor, die zudem noch mit dem Faktor 1 multipliziert vorliegt. Es gilt also:

\(\begin{array}{l} I. & x\, = c_1^* \\ II. & y = c_2^* & \\ III. & z = c_3^* & \end{array}\) Gl. 108

womit die gesuchte Lösung bereits vorliegt.

Zur Anwendung des Gauß-Jordan-Algorithmus wird das Gleichungssystem in ein Schema nach Gl. 109 überführt:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&{...}&{ {a_{1K} } } \\ { {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&{...}&{ {a_{2K} } } \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ { {a_{I1} } }&{ {a_{I2} } }&{...}&{ {a_{IK} } } \end{array} } \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c} } {\,\,\,\,{c_1} } \\ {\,\,\,{c_2} }\\{...} \\ {\,\,\,\,{c_I} } \end{array} } \right| \) Gl. 109

Nun wird durch geeignetes Multiplizieren von Zeilen und Addieren zu anderen Zeilen das Schema einer Diagonaldeterminante erreicht. Da bei dieser Operation auch die Störungsglieder cik betroffen sind, gelten die Einschränkungen, die für Manipulationen an Determinanten gelten, nicht. Es dürfen also alle Zeilen mit beliebigen Faktoren multipliziert oder durch Dividenten dividiert werden, ohne dass sich der Wert des Gleichungssystems verändern würde! Im Ergebnis wird

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{a_{11}^*}&0&{...}&0\\0&{a_{22}^*}&{...}&0\\{...}&{...}&{...}&{...}\\0&0&{...}&{a_{IK}^*}\end{array} } \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c} }{\,\,\,\,c_1^*}\\{\,\,\,c_2^*}\\{...}\\{\,\,\,\,c_I^*}\end{array} } \right| \) Gl. 110

erhalten. Nunmehr werden alle Zeilen auf die aik* normiert, wodurch die endgültige Gestalt nach Gl. 107 erreicht wird.

Beispiel

Gesucht ist die Lösung des LGS

\(\begin{array}{l}x + y + 2z = 3\\\,\,\,\,\,2y - \,\,\,z = 1\\x - y + \,\,\,z = - 1\end{array}\)

Erstellen des GJ-Schemas

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&1&2\\0&2&{ - 1}\\1&{ - 1}&1\end{array} } \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c} }{\,3}\\{\,1}\\{ - 1}\end{array} } \right|\)

Eliminierungsschritte:

Z3=Z3-Z1: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&1&2\\0&2&{ - 1}\\0&{ - 2}&{ - 1}\end{array} } \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c} }{\,3}\\{\,1}\\{ - 4}\end{array} } \right|\)

Z3=Z3+Z2: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&1&2\\0&2&{ - 1}\\0&0&{ - 2}\end{array} } \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c} }{\,3}\\{\,1}\\{ - 3}\end{array} } \right|\)

Z1=2*Z1-Z2: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }2&0&5\\0&2&{ - 1}\\0&0&{ - 2}\end{array} } \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c} }{\,5}\\{\,1}\\{ - 3}\end{array} } \right|\)

Z2=2*Z2-Z3: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }2&0&5\\0&4&0\\0&0&{ - 2}\end{array} } \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c} }{\,5}\\{\,5}\\{ - 3}\end{array} } \right|\)

Z1=2*Z1+5*Z3: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }4&0&0\\0&4&0\\0&0&{ - 2}\end{array} } \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c} }{\, - 5}\\{\,5}\\{ - 3}\end{array} } \right|\)

Normierung:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array} } \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c} }{\, - 1,25}\\{\,1,25}\\{1,5}\end{array} } \right| \Rightarrow \) \(\begin{array}{l}x = - 1,25\\y = 1,25\\z = 1,5\end{array}\)

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