Addition und Subtraktion von Vektoren

Lesedauer: 5 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Vektoren werden addiert, indem ihre Komponenten separat addiert werden. Dies entspricht einer Aneinanderfügung der beteiligten Vektoren, indem Vektoren durch Parallelverschiebung so angeordnet werden, dass End- und Anfangspunkte von Vektoren zusammenfallen. Der Endpunkt dieser Zusammensetzung ist gleich dem Endpunkt des resultierenden Vektors.

\( \vec a \pm \vec b = \left( { {a_x} \pm {b_x} } \right) \cdot i + \left( { {a_y} \pm {b_y} } \right) \cdot j + \left( { {a_z} \pm {b_z} } \right) · k \) Gl. 301

oder in Matrizenschreibweise

\( A \pm B = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_x} \pm {b_x} }\\{ {a_y} \pm {b_y} }\\{ {a_z} \pm {b_z} }\end{array} } \right) \) Gl. 302

Abbildung 36 Vektoren addieren durch Aneinanderfügung
Abbildung 36: Vektoren addieren durch Aneinanderfügung

Rechenregeln

Bei der Vektoraddition gelten das

Kommutativgesetz:

\(\vec a + \vec b = \vec b + \vec a \) Gl. 303

und das

Assoziativgesetz:

\(\left( {\vec a \pm \vec b} \right) \pm \vec c = \vec a \pm \left( {\vec b \pm \vec c} \right) \) Gl. 304

Beispiel:

An einem Punkt greifen drei Kräfte an. Alle drei Kräfte liegen in der gleichen Ebene, unterscheiden sich aber in der Angriffsrichtung und im Betrag:

\( {\vec F_1} = 4N, \,\, \angle \, {30^0}; \quad {\vec F_2} = 6N,\,\,\angle \, -{30^0}; \quad {\vec F_3} = 2N,\,\,\angle \, {0^0} \)

Wie groß ist die Resultante?

Lösung:

Zunächst werden die Kräfte in Komponentenschreibweise gebracht. Da alle Vektoren in einer Ebene liegen, kann die Aufgabe als zweidimensionales Problem behandelt werden. Daraus folgt:

\(\begin{array}{l}{F_1} = 4 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{\cos ({ {30}^0})}\\{\sin ({ {30}^0})}\end{array} } \right) = 4 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{0,866}\\{0,5}\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{3,464}\\2\end{array} } \right)\\\\{F_2} = 6 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{\cos ( - { {30}^0})}\\{\sin ( - { {30}^0})}\end{array} } \right) = 6 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{0,866}\\{ - 0,5}\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{5,196}\\{ - 3}\end{array} } \right)\\\\{F_3} = 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{\cos ({0^0})}\\{\sin ({0^0})}\end{array} } \right) = 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1\\0\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2\\0\end{array} } \right) & \end{array}\)

Nun kann durch Addition der drei Vektoren die resultierende Kraft berechnet werden:

\({F_1} + {F_2} + {F_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{10,66}\\{ - 1}\end{array} } \right)\)

Rückführung in Polarkoordinaten:

\(\begin{array}{l}F = \sqrt { { {10,66}^2} + { {\left( { - 1} \right)}^2} } = 10,707\\\\\phi = \arctan \frac{ { - 1} }{ {10,66} } = - {5,359^0}\end{array}\)

Demnach beträgt die resultierende Kraft 10,707 N und weist in eine Richtung von –5,359°.

  Hinweis senden