Radizieren

Lesedauer: 3 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Das Radizieren (Wurzelziehen) als Umkehrung der Potenzierung ist ursprünglich aus der Aufgabe abgeleitet worden, die die Berechnung der Seitenlänge eines Quadrates mit gegebenem Flächeninhalt zum Gegenstand hat. Diese Vorstellung ist natürlich leicht auf einen Würfel mit gegebenem Volumen zu übertragen. Ein Analogon für noch höhere Potenzen zu finden, fällt unserem Vorstellungsvermögen schwer.

Allgemein gilt:

\(a = \sqrt[n]{A}\) Gl. 10

Im Falle des Würfels wäre A das Volumen des Würfels und a die dazu gehörende Seitenlänge sowie n = 3.

Wenn nun das Wurzelziehen die Umkehrung des Potenzierens ist, ergibt sich die Frage, wie kann das Radizieren in Potenzschreibweise dargestellt werden? Dazu soll folgende Überlegung angestellt werden. Es sei \(A = {a^4}\)und gesucht sei die 2. Wurzel aus A. Dann gilt offenbar

\(\sqrt[2]{ { { a^4 } } } = {a^2} = {a^{ \frac{4}{2} } }\) Gl. 11

In der Potenzschreibweise wird aus der Wurzel eine Division im Exponenten. Allgemein gilt

\(\sqrt[m]{ { { a^n } } } = {a^{ \frac{n}{m} } }\) Gl. 12

Ferner gilt die Vertauschbarkeit der beiden Operationen

\(\sqrt[m]{ { { a^n } } } = {\left( { \sqrt[m]{a} } \right)^n} = {a^{\frac{n}{m}}}\) Gl. 13

Wie in Gleichung \(\sqrt[m]{ { { a^n } } } = {a^{ \frac{n}{m} } }\) zu erkennen ist, ist der Exponent, der ursprünglich per definitionem ganzzahlig sein sollte, zu einer rationalen Zahl geworden. Schließlich darf festgehalten werden, dass in der allgemeinen Definition einer Potenz keine Anforderungen mehr an den Exponenten gestellt werden müssen. Er kann also ebenso reell wie auch komplex sein.

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