Rationale Zahlen

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Die rationalen Zahlen werden notwendig, wenn wir natürliche oder ganze Zahlen miteinander dividieren, denn durch die Division können Ergebnisse entstehen, die keine natürliche oder ganze Zahl mehr sind.

Beispiele:

10 : 2 = 5
Zwei natürliche Zahlen ergeben eine natürliche Zahl. 5 ist Element von ℤ. Kurz: 5 ∈ ℤ.

10 : 3 = 3,…
Zwei natürliche Zahlen ergeben keine natürliche Zahl mehr. Wir schreiben 10 : 3 als \( \frac{10}{3} \).
Das Ergebnis ist nicht Element von ℤ. Kurz: \( \frac{10}{3} \) ∉ ℤ.

Diese Art von Zahlen, die mit Hilfe von Brüchen dargestellt werden, nennen wir Rationale Zahlen.

Für diese Zahlenmenge verwenden wir das Zeichen ℚ (Q steht für Quotient, das Ergebnis einer Division).

$$ \mathbb{Q} = \{ \ldots, -\frac{10}{9}, -2, -\frac{2}{2}, 0, \frac{1}{2}, \frac{5}{2}, 3, \ldots \} $$

Allgemein ist eine Rationale Zahl eine Zahl der Form \( \frac{a}{b} \), wobei m und n Ganze Zahlen sein müssen. Zudem darf n nicht 0 sein, damit keine Division durch Null auftritt. Allgemeine Notation ("|" bedeutet "unter der Bedingung"):

$$ \mathbb{Q}=\{\frac{a}{b} \; | \; a,b \in \mathbb{Z}, \; b \neq 0\} $$

Es gibt unendlich viele Rationale Zahlen in Richtung minus unendlich (-∞) und in Richtung plus unendlich (+∞). Zudem gibt es unendlich viele Zahlen zwischen zwei rationalen Zahlen. Beispiel: Zwischen \( \frac{1}{2} \) und \( \frac{1}{3} \) finden sich unendlich viele weitere Brüche.

Es ist zu beachten, dass jede Natürliche Zahl und jede Ganze Zahl auch Rationale Zahlen sind. Wir können sie jeweils als Bruch notieren. Zum Beispiel: \( 2 = \frac{2}{1} = \frac{4}{2} \). Vergleiche hierzu auch Brucharten.

Die Natürlichen und Ganzen Zahlen gelten als Teilmenge der Rationalen Zahlen, man schreibt \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \)

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