Mathe F01: Kartesisches Koordinatensystem

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 5. Klasse

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In dieser Lektion bringen wir euch bei, wie das Koordinatensystem aufgebaut ist, was Koordinaten überhaupt sind und wofür man sie benutzen kann. Vergesst nicht, die Lernprogramme zu den Koordinatensystemen auszuprobieren! Wir wünschen viel Spaß beim Verstehen.

Mathe-Video F01 Kartesisches Koordinatensystem

Einführung ins Kartesische Koordinatensystem. Wir betrachten uns x-Achse (Abszisse) und y-Achse (Ordinate), Punkte mit Koordinaten und die vier Quadranten.

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Wissen zur Lektion

Abszisse und Ordinate

Die x-Achse ist die horizontale Achse (von links nach rechts). Auch "Abszisse" genannt.

Die y-Achse ist die vertikale Achse (von oben nach unten). Auch "Ordinate" genannt.

Die Achsenabschnitte (also die Abstände auf den Achsen) müssen immer gleich sein.

Punkte und Koordinaten

Ein Punkt wird als Kreuz eingezeichnet und meist mit großem Buchstaben beschriftet. Jeder Punkt muss einen eindeutigen Namen haben.

Die Koordinaten eines Punktes werden mit zwei Werten ( x | y ) angegeben bzw. ( Breite | Höhe ).

Im Punkt (0 | 0) treffen/schneiden sich x- und y-Achse. Man nennt diesen Punkt Koordinatenursprung und schreibt "0" heran. Dabei steht "0" für Null oder für "O" (Ohh), von lateinisch 'origo' = der Ursprung.

Quadranten

Ein Koordinatensystem hat vier Quadranten (siehe folgende Grafik). Das Wort kommt von lateinisch 'quadrens' = Viertel. Man benutzt römische Zahlen für ihre Nummerierung:

Koordinatensystem mit Quadranten

Das ist übrigens ein gutes Beispiel dafür, dass in der Mathematik stets entgegen des Uhrzeigersinns beschriftet wird.

Jeder Quadrant unterscheidet sich darin, dass die x- und y-Werte unterschiedlich positiv und negativ sind:

Koordinatensystem und positive und negative Quadranten

Merkt euch außerdem, dass Punkte, die auf den Achsen oder im Koordinatenursprung liegen, keinem Quadranten zugeordnet werden können. Sie haben die Koordinate/n 0 und Null ist weder positiv noch negativ, daher ist keine Zuordnung möglich.

Mathe-Programme

Mit den folgenden Programmen könnt ihr das Kartesische Koordinatensystem ausprobieren und besser kennen lernen. Bewegt die Maus und seht die x- und y-Koordinate direkt am Punkt P.

  • Koordinatensystem Koordinatensystem
    Bewegt die Maus im Koordinatensystem und seht die Koordinaten für x und y direkt am Punkt P. Werte gerundet. Klickt einmal mit der Maus und erhaltet genauere Werte.
  • Koordinatensystem (Linien)
    Koordinatensystem (Linien)
    Hier sind Höhe und Breite als farbige Linien eingezeichnet. Klickt auf Modus II, um die Position der Linien zu ändern. Sie liegen dann direkt auf den Achsen des Koordinatensystems.
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Übungsaufgaben

A: Allgemeine Fragen zum Koordinatensystem

1. Wie viele Achsen hat ein kartesisches Koordinatensystem? Wie verlaufen sie?

2. Wo muss man die Pfeile auf den Achsen eintragen?

3. Welche Achse ist die Abszisse und welche die Ordinate?

4. Müssen die Abstandsmarkierung auf den Achsen immer gleich groß sein?

5. Was ist ein Quadrant?

6. Wie viele Quadranten hat ein Koordinatensystem?

7. Wie nennt man den Ort, an dem sich x- und y-Achse schneiden? Dort ist x=0 und y=0.

8. Kann der x-Wert eines Punktes als Höhe oder Breite im Koordinatensystem gedeutet werden?

9. Warum heißt das Koordinatensystem "Kartesisches Koordinatensystem"? Nach wem wurde es benannt?

10. Ein Punkt kann mit Höhe und Breite angegeben werden, zum Beispiel A(2|3). Wie nennt man diese beiden Werte noch? Tipp: Ko.......en


B: Zeichne die Punkte ins Koordinatensystem ein und verbinde sie, sodass eine geometrische Figur entsteht.

1. Punkte A(1|-1) , B(3|0), C(3|2), D(1|1)

2. Punkte A(3|3) , B(1|3), C(-1|-1), D(2|-1)

3. Punkte A(-2|3) , B(-1|-2,5), C(0|0), D(1|2,5), E(-1|2)


C: Arbeiten mit dem Koordinatensystem

1. Lies alle Punkte aus dem Koordinatensystem ab und trage ihre Koordinaten ein.

Punkte aus Koordinatensystem ablesen

2. In welchem Quadrant liegt der jeweilige Punkt?
Punkt A(2000|3230) = ___ Quadrant
Punkt B(-0,5|0,5) = ___ Quadrant
Punkt C(-50|-12) = ___ Quadrant
Punkt D(0,01|-0,0005) = ___ Quadrant
Punkt E(0|0) = ___ Quadrant

3. Wir verschieben die folgenden Punkte, berechne ihre neuen Koordinaten:
a) Punkt F(0|0) verschieben wir 2 nach oben und 3 nach rechts
b) Punkt G(1|3) verschieben wir 2 nach unten und 1 nach links
c) Punkt H(-1|0) verschieben wir 2 nach unten und 1 nach links
d) Punkt I(3|-3) verschieben wir 1 nach oben und 2 nach rechts
e) Punkt J(4|-0,5) verschieben wir 3 nach unten, 0,5 nach links, 0,4 nach oben und 1 nach rechts
f) Punkt K(0,25|0,25) verschieben wir 4,25 nach unten, 3,75 nach links und 1 nach oben


D: Anwendungsaufgaben für Koordinatensysteme

1. Die x-Achse sei die Zeit. Die y-Achse sei der Weg. Ein Mann fährt mit seinem Auto los und schafft auf der Autobahn in 1 Stunde 80 km. Eine Stunde später hat er schon 160 km zurückgelegt. Noch eine Stunde später ist er bei 240 km. Zeichne diesen Sachverhalt in ein Koordinatensystem ein. Wähle eine sinnvolle Einteilung der Achsen.

2. Entsteht eine geschlossene geometrische Figur, wenn ihre Eckpunkte A(1|2), B(2|2), C(0|0), D(-1|2) sind? (A-B-C-D-A sind zu verbinden)

3. Verbinde die zwei Punkte P1(3|3) und P2(-1|-1). Und setze die Punkte T1(0|2) und T2(2|0), verbinde sie. Berühren sich die beiden Strecken? Wenn ja, in welchem Punkt?

4. Wähle die Koordinaten von 4 Punkten so, dass sie ein Quadrat im 1. Quadranten ergeben, dessen Seiten 3 Einheiten lang sind.

5. Wähle die Koordinaten von 4 Punkten so, dass sie ein Rechteck im 2. Quadranten ergeben.


Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

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Untertitel

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Hallo liebe Schüler und willkommen zur Lektion Koordinatensystem. Dies ist eine Einführung. Stellt euch vor ihr setzt einen Punkt hier auf diese weiße Fläche. Jetzt ruft jemand an und ihr wollt ihm die Position beschreiben. Das ist aber nicht so leicht. Ihr könntet theoretisch sagen auf der linken Seite liegt dieser Punkt und in etwa von der Höhe aus mittig. Aber wie ihr merkt, so ist das alles sehr ungenau. Aus diesem Grund können wir uns eines Systems bedienen, dass uns die Beschreibung vereinfacht. Hierzu nutzen wir eine Linie am Boden und eine Linie die nach oben führt. Die helfen uns zur Orientierung. Aber das ist noch nicht genug, wir brauchen auch auf diesen Linien gleiche Abstände. Und diese Einteilung, diese kleinen Striche hier, müssen wir nur noch irgendwie benennen. Und da bedienen wir uns ganz einfach der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, und so weiter... Gut, wie sieht es jetzt aus? Stellt euch vor, der am Telefon auf der anderen Seite hat auch so ein System, mit einer Achse nach oben und einer Achse nach rechts. Jetzt könntet ihr sagen: „Hey du pass` mal auf, geh mal 2 nach rechts auf dieser Achse und dann gehst du 1, 2 nach oben.“ Das heißt, der andere kann jetzt einen Punkt setzen bei 2, 2. Und das ist sehr konkret. Wenn er uns jetzt sagt: „Hey du, setz doch mal einen Punkt auf Breite 4 und Höhe 1.“ Dann wissen wir, wir müssen jetzt zu 4 gehen, das ist die Breite nach rechts, und wir müssen, gucken wir links, wir müssen einen nach oben gehen. Von der 4 aus einen nach oben, da setzen wir den Punkt. Wunderbar. Jetzt sagt man uns, wir sollen noch weitere Punkte einzeichnen und wir stellen fest, umso mehr Punkte wir haben, desto schwieriger wird die Zuordnung. Wenn ich euch jetzt sagen würde der 3. Punkt, dann würdet ihr gar nicht wissen, welches der 3. Punkt ist. Deswegen benennen wir die Punkte zum Beispiel mit großen Buchstaben. A zum Beispiel der, der nächste wird dann B, der nächste heißt dann C, oben der ist dann D und ganz klar links den kann man E nennen. Jetzt ist es einfach alle Punkte zuzuordnen. Und jetzt stellt euch vor ihr wollt nicht anrufen, sondern eine SMS schreiben. Da müsst ihr auch irgendwie die Position durchgeben. Und in dieser Kurznachricht habt ihr also nur Zeichen zur Verfügung. Und da kann man folgendes machen, wieder aus dem Punkt A messen wir die Breite 3 und die Höhe 1. Und die beiden Zahlen müssen wir nun in der Kurznachricht durchgeben. Und dann schreiben wir einfach in unser Handy oben: Hi Tom, Punkt A (3 / 1). Und er weiß dann, dass der erste Wert von A die Breite ist, und der zweite Wert die Höhe. Und das macht man bei der Mathematik im Koordinatensystem immer so. Erst die Breite, dann die Höhe. Machen wir das gerade noch für den Punkt B zum Test: B hat die Breite 4 und die Höhe 1. Und das geben wir jetzt hier wieder ein. Und hier ist nicht mehr A sondern B. B hat die Breite 4 und die Höhe 1. Und schon weiß jeder wo sich der Punkt befindet. Ihr wisst ja, dass Mathematiker gerne abkürzen. Und deswegen, für diese Achse hier unten, da schreiben wir nicht mehr Breite ran sondern einfach ein x und für die Höhe hier oben schreiben wir ein y. Weiter nichts. Und dann haben wir für den Punkt anzugeben, greifen wir uns mal D, da haben wir einen x-Wert von 3 und einen y-Wert von 3. Das kann man dann so eintragen. 3, 3. Erster Wert war von x und zweiter Wert von y. Man sagt im Übrigen auch zu der x-Achse Abszisse und zu der y-Achse hier sagt man auch Ordinate. Wie wir gesehen hatten wird ein Punkt mit einem x-Wert angegeben und einem y-Wert. Einem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. Und ordnen heißt auf lateinisch „ordinare“ und zu oder zusammen heißt „co“. So kommt man dann auf das Wort „Koordinate“. Und man sagt, der Punkt so und so hat die Koordinaten... und dann natürlich heißt das Ding "Koordinatensystem". Und ganz speziell sagt man übrigens Kartesisches Koordinatensystem. Wobei kartesisch von einem Gelehrten kommt der Descartes heißt. Und ihm zu Ehren sagen wir heute Kartesisches Koordinatensystem. Und ihr wundert euch vielleicht wo kartesisch herkommt. Da müsst ihr wissen das Descartes, das ist ein französischer Name, in lateinischer Form „cartesius“ heißt. Und dadurch haben wir das Kartesische Koordinatensystem. Soviel dazu, Zusatzinfos können ja nicht verkehrt sein. Was können wir also mit diesem tollen Koordinatensystem noch alles anstellen? Wir könnten zum Beispiel mit unseren vier Punkten hier, die haben alle Koordinaten, wir können die vier Punkte verbinden. Tun wir das doch gerade. A mit B, B mit D und D mit E und natürlich noch E mit A. So haben wir nun einen geometrischen geschlossenen Körper, beziehungsweise einfach gesagt, ein beliebiges Viereck. Wir könnten aber auch Daten einzeichnen. Wir können sagen die x-Achse hier soll jetzt mal Zeit sein. Und zwar die Zeit in Stunden. Und unsere y-Achse hier oben soll jetzt mal der Weg in Kilometern sein. Noch kurz als Hinweis: Stunde hab ich hier mit h geschrieben, denn es kommt aus dem Lateinischen „hora“ für Stunde. Merken könnt ihr euch aber auch h wie aus dem Englischen „hour“. Gut. Wenn wir jetzt ein Auto haben und wir wollen dessen gefahrene Strecke in unser Koordinatensystem eintragen, müssen wir ein paar kleine Änderungen vornehmen. Okay, Weg in Kilometer: nehmen wir mal hier anstatt eine 1 eine 50, also 50 Kilometer. Und aus der 2 machen wir dann eine 100 und aus der 3 eine 150. Wichtig ist das jede Stufe den gleichen Abstand hat. Gut. Jetzt sagen wir, wir haben ein Auto das durchschnittlich 50 Kilometer pro Stunde (50 km/h) fährt, das heißt wenn wir eine Stunde gefahren sind, haben wir 50 Kilometer zurückgelegt. Jetzt gucken wir bei der Zeit, eine Stunde ist hier und bei Kilometern, 50 Kilometer nach oben ist hier. Also eine Stunde nach oben und die 50 von links, das heißt wir haben einen Schnittpunkt und wir können den Punkt dafür einzeichnen. Jetzt wissen wir nach 2 Stunden legen wir wieder 50 Kilometer zurück. 2 Stunden, jetzt sind wir schon bei 50, heißt, wir haben dann insgesamt 100 Kilometer zurückgelegt. Der Punkt kommt hier oben hin. Gut. Bei 3 hätten wir dann wieder plus 50, das heißt wir wären bei 150. So, das Schöne ist, wir haben unsere Daten jetzt eingetragen, wir können die Punkte alle mal miteinander verbinden. Und wir sagen wir haben bei 0, 0 angefangen. Also 0 Stunden und 0 Kilometern, also hier unten. Gut. Verbinden wir die Punkte und wir stellen fest, dass sie auf einer Geraden liegen. Der ein oder andere fragt sich vielleicht, was passiert wenn sich unsere Lineare hier nach hinten verlängert, also wenn wir vor einer Stunde gucken wollten, wo wir waren. Da wird das Koordinatensystem erweitert. Das würde dann so aussehen. Wir lassen minus 1 vor einer Stunde und minus 2 vor 2 Stunden. Und die Kilometer die sind ja jetzt auch negativ, das heißt wir müssen das ganze Ding auch nach unten erweitern. Das würde dann etwa so aussehen. Und wir könnten jetzt sagen, verlängern wir noch unsere Gerade, das wir vor 2 Stunden insgesamt 100 Kilometer noch zurücklagen. Und können jetzt hier noch einen Punkt setzen. Hätte dieser Punkt jetzt, nennen wir einfach mal P, die Koordinaten minus 2 von der x-Achse und minus 100 von der y-Achse. Ein allerletzter Hinweis Noch. Wir reden übrigens bei diesen Koordinatensystemen, wenn wir positive und negative Bereiche haben, auch von 1. Quadrant, 2. Quadrant, 3. Quadrant und 4. Quadrant. Das Koordinatensystem besteht also aus vier Bereichen. Auf unserer Webseite habt ihr übrigens die Möglichkeit, all das, was ich heute gezeigt habe, selbst auszuprobieren. Ihr könnt hier mit der Maus den Punkt P verschieben und seht gleichzeitig die Koordinaten für x und y. Außerdem könnt ihr euch die Quadranten anzeigen lassen. Auch gibt es ein zweites Programm, bei dem ihr die Werte für x und y direkt als Linien dargestellt habt. Wechselt ihr übrigens den Modus dann seht ihr die Linien an der y-Achse und an der x-Achse. Versucht eigene Werte. Viel Spaß beim üben und viel Erfolg.
Tags: Einführung Koordinate, x- und y-Achse, Abszisse/Abzisse, Ordinate, Punkt mit Koordinaten einzeichnen, Descartes, Quadrant, Quadranten

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