Mathe G03: Distributivgesetz

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 5. - 6. Klasse

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In der letzten Lektion hatten wir uns Kommutativgesetz und Assoziativgesetz betrachtet. Nun kommen wir zum nächsten Rechengesetz, dem Distributivgesetz, das häufig in der Mathematik angewendet wird. Es gehört zu den Grundlagen, die ihr auf jeden Fall beherrschen müsst. Übrigens heißt 'distribuere' (lateinisch) so viel wie "verteilen". Wieso das so ist, seht ihr im folgenden Video:

Mathe-Video G03-1 Distributivgesetz

Eine der wichtigsten Rechenregeln der Mathematik ist das Distributivgesetz. Es lautet a · (b + c) = a · b + a · c. Wir können es auch um weitere Summanden erweitern, zum Beispiel: a · (b + c + d) = a · b + a · c + a·d

Mathe-Video G03-2 Unterschied Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz

Wir zeigen euch, was der Unterschied zwischen Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz ist. Dabei stellen wir alle 3 Rechengesetze grafisch dar.

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Wissen zur Lektion

Distributivgesetz allgemein

Das Distributivgesetz lautet: a · (b + c) = a·b + a·c

"verteilen" heißt auf Latein distribuere, daher sprechen wir nicht vom Verteilungsgesetz, sondern vom Distributivgesetz.

Die Animation zeigt, wie a auf b und c verteilt wird:

Distributivgesetz animiert 1

Nachstehend ist das Distributivgesetz mit Variablen und Zahlen dargestellt:

a·(b + c) = a·b + a·c
3·(4 + 1) = 3·4 + 3·1
3·5 = 12 + 3
15 = 15

Bitte merkt euch, dass das Distributivgesetz auch gilt, wenn die Zahl (der Faktor) hinter der Klammer steht. Zum Beispiel:
(12+18) = (12+18)·3 = 3·12 + 3·18

Verstecken wir eine Zahl, indem wir sie mit einer Variablen ersetzen, dann erhalten wir:
3·(x+18) = (x+18)·3 = 3·x + 3·18

Da die Division die Umkehrung der Multiplikation ist, können wir auch hier das Distributivgesetz anwenden:
(30+60):3 = 30:3 + 60:3

Distributivgesetz grafisch

Wir können uns das Distributivgesetz auch grafisch denken, die folgende Abbildung macht es deutlich:

Distributivgesetz grafisch

In der nächsten Grafik wird das Distributivgesetz ähnlich wie zuvor visualisiert, jedoch zeichnen wir diesmal Striche ein, um die Zugehörigkeit darzustellen:

Distributivgesetz visuell 2

Die folgende Animation stellt das Distributivgesetz anhand von Flächen dar. Bei beiden a·(b+c) sowie a·b+a·c entsteht die selbe Fläche:

Distributivgesetz animiert 2

Mathe-Programme

  • Distributivgesetz (rechnerisch) Distributivgesetz (rechnerisch)
    Die rechnerische Anwendung des Distributivgesetzes animiert dargestellt.
  • Distributivgesetz (grafisch) Distributivgesetz (grafisch)
    Grafische Darstellung des Distributivgesetzes.
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Übungsaufgaben

A. Löse die Rechenaufgaben mithilfe des Distributivgesetzes (d. h. rechne nicht die Klammer als erstes, sondern multipliziere sie aus!):
1. 5 · (2 + 5) =
2. 9 · (3 - 1) =
3. 2 · 3 · (4 + 5) =
4. 2 + 4 · (5 + 3) =
5. 1 · (12 - 9) · 4 =
6. (38 + 12) · 2 =
7. 7 · (13 + 4 + 2) =
8. (13 + 4 - 2) · 7 =
9. 22 · (2 · 4 + 2) =
10. 12 + (3 + 9 : 3) =


B. Was kommt jeweils als Ergebnis heraus? Wende, wo möglich, das Distributivgesetz an, um das Rechnen einfacher zu machen.
1. 3 · (4 + 5) + 5 · (4 + 5)
2. 3 · 5 + 3 · 15
3. 101 · (1 + 2 + 3 + 4)
4. (7 + 3) · (4 + 9 + 12)

5. Susi kauft sich 2 gleiche Schokoriegel für insgesamt 3,00 Euro. Am nächsten Tag kauft sie sich 3 weitere Schokoriegel dieser Sorte für insgesamt 4,50 Euro. Erkennst Du das Distributivgesetz?

6. Tom zählt von 1 bis 10, danach zählt er von 1 bis 20. Das macht er viermal. Die Frage: Wie viele Zahlen hat er gezählt, kannst Du mithilfe des Distributivgesetzes lösen!

7. Johann fährt morgens 4 km von seinem Haus zur Schule, nachmittags muss er diesen Weg wieder zurück. Dies macht er Montag, Dienstag, Mittwoch, Donnerstag und Freitag. Wie viele Kilometer fährt er in dieser Zeit? Löse mithilfe des Distributivgesetzes!


C. Zusatzaufgabe: Stell Dir vor, anstatt einer Zahl schreibst Du jetzt ein x. Kannst Du das Folgende immer noch lösen?

# Kleine Hilfe anhand des Beispiels: 3 · (4 + 5)
Wir schreiben jetzt nicht mehr 4, sondern einfach ein "x".
Dann steht dort: 3 · (x + 5)

Die Aufgabe würde dann so mit dem Distributivgesetz gelöst:
Anstatt
3 · (4 + 5) = 3·4 + 3·5 = 3·4 + 15
schreiben wir nun
3 · (x + 5) = 3·x + 3·5 = 3·x + 15 (Lösung)

Das Rechnen mit x (sogenannte Variablen) schauen wir uns konkret im Video G12: Terme, Termumformung, Gleichungen an. Versuch es aber trotzdem schon mal, so schwer ist es nicht :)

# Deine Aufgaben:

1. 2 · (x + 9) = 2·x + 2·__
2. 5 · (8 + x) = 5·8 + 5·__
3. 12 · (7 - x)
4. x · (4 + 9)
5. (19 - 2) · x
6. (19 - x) · 2
7. (2 · 5 + x) · 3
8. 9 + 2 · (3 + x)


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Untertitel

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Untertitel für Video 1: Distributivgesetz

Hallo liebe Zuschauer, in diesem Video schauen wir uns das Distributivgesetz an. Legen wir los. Wir haben zum Beispiel eine Aufgabe die da lautet 3·(4+1). Und wenn wir das jetzt lösen wollten, dann rechnen wir 3 mal und dann die 4+1 in der Klammer sind 5, also dann steht hier 3·5. Und 3·5 sind 15. Wir können das jedoch auch anders rechnen. Erinnern wir uns an die Grundrechenarten, da hatten wir gesagt eine Multiplikation kann ausgedrückt werden als Addition. Also 3·5 als 5+5+5. Das wären also auch 15. Allgemein kann man nun die 5 mit x austauschen. Das heißt 3·x gleich x+x+x gilt dann für jede beliebige Zahl. Und wenn wir uns jetzt vorstellen, dass dieses 4+1 ein Element ist, also in unserem Beispiel das x, können wir es für das x eintragen. Schreiben wir es hin. Und dann wissen wir, dass wir 3 mal die 4+1 rechnen sollen. Das heißt wir haben es einmal, wir haben es zweimal und wir haben es dreimal. Dann hatten wir in der letzten Lektion gesagt, dass wir mit dem Assoziativgesetz bei der Addition sämtliche Klammern wegnehmen darf. Also entfernen wir sie hier. Und dann hatten wir gesagt mit dem Kommutativgesetz dürfen wir so etwas wie 4+1 auch anders rum schreiben als 1+4. Und das machen wir jetzt nicht nur mit den beiden hier vorne, sondern mit allen Elementen dieser Addition. Und zwar schreiben wir sämtliche 4en nach vorne und sämtliche 1en nach hinten. Also sieht das dann so aus: 4+4+4+1+1+1. Und dass das immer noch das gleiche ist, könnt ihr hier zusammenrechnen. 4+1 sind 5. Plus 4 sind 9. Plus 1 sind 10. Plus 4 sind 14. Plus 1 sind 15. Und hier: 4+4 sind 8. 12. 13. 14. 15. Gut. Und jetzt kommt das Schöne. Jetzt fassen wir die Addition wieder zu einer Multiplikation zusammen und hier sehen wir dreimal die 4, also schreiben wir auch 3·4. Dann nehmen wir dieses Plus hier runter. Und jetzt haben wir dreimal die 1 stehen, also schreiben wir auch 3·1. Und kürzen wir an dieser Stelle ab. Schreiben das gleich direkt nebeneinander. Dann steht hier also 3·(4+1) ist das gleiche wie 3·4+3·1. Und wenn wir das jetzt mit Variablen, also mit Buchstaben, die für eine beliebig einzusetzende Zahl stehen, hinschreiben, können wir mal die 3 mit a ersetzen, die 4 mit einem b ersetzen und die 1 mit einem c ersetzen. Dann steht da: 3 ist a mal 4 ist b plus 3 ist a mal 1 ist c. Und das ist schon das fertige Distributivgesetz. a·(b+c) ist das gleiche wie a·b+a·c. Oder anders ausgedrückt, das a wird mit dem ersten b multipliziert zu a·b. Und das a wird mit dem zweiten c multipliziert zu a·c. Das a wird also auf b und c verteilt, deshalb Distributivgesetz.
Jetzt können wir das Distributivgesetz natürlich noch etwas erweitern, indem wir uns zum Beispiel ein +d hinzufügen. Dann hätten wir jetzt dieses a mit dem b, dann das a mit dem c und dann noch das a mit dem d, also hier hinten a·d. Wenn wir hier mal ein Minus setzen, passiert nichts weiter, als dass dieses Plus auch zum Minus wird. Und hätten wir hinten jetzt wieder das +d, wäre das hier wieder ein + a·d. Gut, und was ihr dann später oft haben werdet. Ihr werdet dann hier mit Variablen weiterrechnen. Zum Beispiel 4·(b+c). Dann habt ihr hier, wenn ihr es mit dem Distributivgesetz ausrechnet, 4·b+4·c. Ein erweitertes Beispiel sind übrigens die binomischen Formeln, denn da wir das Distributivgesetz in einer erweiterten Form angewendet. Dies schauen wir uns jedoch in einer anderen Lektion an. Und vielleicht für die ein oder anderen auch interessant, wir berechnen meist im Kopf die Multiplikation mit Hilfe des Distributivgesetzes. Wenn wir hier mal ein paar Werte einsetzen, wie zum Beispiel für c die 5. Dann ist hier drüben auch 5. Und für b die 10. Dann wird das b auch 10. Und ganz klar, wenn wir hier rechnen würden 4 mal, 10+5 sind ja 15, also 4·15, dann trennen wir das ja meistens in 4·10+4·5. Und dann rechnen wir 4·10 sind 40 und 4·5 sind 20. Also kommt da 60 heraus. Und wenn ihr auf euch achtet, wie ihr im Kopf rechnet, stellt ihr öfter fest, dass ihr das Distributivgesetz benutzt. Zum Beispiel dann auch für die Division, denn 60/4. Dann hätten wir einmal, wenn wir die 60 jetzt zerlegen würden in 40+20, das durch 4. Dann können wir hier auch unser Rechengesetz anwenden, indem wir 40/4 rechnen und 20/4. Und dann hat man hier die Teile 40/4 sind 10 und 20/4 sind 5. Und 10+5 sind 15. Und wir hatten ja gesagt 4·15 sind 60, also ist 60/4 gleich 15.
Als letztes sei noch erwähnt, dass ihr das Distributivgesetz auch andersherum anwenden könnt. Also ihr erhaltet solch eine Addition und macht daraus eine Klammer. Drehen wir die Seiten mal um und schreiben sie darunter. Wenn wir jetzt mal Zahlen einsetzen, nehmen wir für das a eine 3. Für b eine 2 und für c eine 5, dann sehen wir, dass wenn hier eine 3 steht und hier eine 3 steht, wir die 3 hier vor die Klammer setzen können. Jetzt können wir diese Klammer setzen mit b+c. Und das b, gucken wir hier, ist unsere 2. Und das c ist die 5. Das heißt 3·2+3·5 ist das gleiche wie 3·(2+5). Hier können wir auch die Werte vergleichen. Links steht jetzt 3·2 ist 6. Plus 3·5, das sind 15. Und 6+15 sind 21. Und rechts steht 3·(2+5). 2+5 sind 7 und 3·7 ergibt 21. Wie wir sehen sind die Werte gleich geblieben. Und da wir die 3 ausklammern, spricht man auch vom Ausklammern. Das ist sozusagen das Distributivgesetz rückwärts angewendet. Wir haben also die 3 in dem Beispiel aus beiden Summanden herausgezogen.

Untertitel für Video 2: Unterschied zwischen Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz

Was ist der Unterschied zwischen Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz? Schauen wir uns die drei Gesetze an. Das Kommutativgesetz: a + b = b + a. Das Assoziativgesetz: a + b + c = (a + b) + c bzw. a + (b + c). Und das Distributivgesetz: a•(b + c) = a•b + a•c. Um die Gesetze gut zu verstehen, ist es am besten man visualisiert sie. Was heißt also a + b = b + a. Für ein Beispiel 2 + 3 = 3 + 2. Und dann sehen wir 2 + 3 ist das gleiche wie 3 + 2. Ob wir sie jetzt so anordnen oder so anordnen spielt keine Rolle für das Endergebnis 5. Wichtig ist auch zu wissen, dass das Kommutativgesetz auch für die Multiplikation gilt. Also nicht nur für die Addition, sondern auch für die Multiplikation. Also 3•5 ist das gleiche wie 5•3. So was kann an auch graphisch darstellen als 3•5. Und dann können wir abzählen, das sind 15. Und 5•3 sieht dann so aus: 1, 2, 3, 4, 5 mal die 3. Und das sind ebenfalls 15. Also hier ist es auch unerheblich, ob wir so addieren oder so addieren. Assoziativgesetz. Bei dem Assoziativgesetz geht es um das beliebige Setzen von Klammern. Also wir dürfen hier a + b als erstes rechnen und dann c, oder b + c als erstes rechnen und dann a. Schauen wir uns das wieder graphisch an und zwar mit den Beispielwerten 2 + 3 + 4. Bei jedem kommt 9 heraus. Das können wir so darstellen: 2, 3 und 4. Oder 2 + 3, die zusammengerechnet und dann die 4. Oder 3 + 4 und dann die 2 dazu. In jedem Fall ergibt die Summe 9. Egal in welcher Reihenfolge wir addieren. Und das Distributivgesetz. Das bekannteste wahrscheinlich. Nehmen wir hier auch wieder Beispielwerte. 2•(3 + 4) = 2•3 + 2•4. Visuell 2•(3 + 4). 3 + 4 zweimal. Ist das gleiche wie 2•3 + 2•4. Zweimal die 3 plus zweimal die 4. Also auch hier ist es gleich. Merken wir uns also: Bei Kommutativgesetz dürfen wir a und b vertauschen. Bei Addition und Multiplikation. Beim Assoziativgesetz dürfen wir die Klammern beliebig setzen, solange es sich um Addition handelt bzw., das gilt auch, wenn es sich um Multiplikation handelt. Das Beispiel hierfür wäre die Berechnung des Quadervolumens. Und beim Distributivgesetz: Da müssen wir ausmultiplizieren, also den Wert der draußen steht auf die beiden inneren Summanden aufmultiplizieren. Übrigens, statt + darf es hier auch - sein. Für weitere Infos zu den drei Gesetzen schaut auf unserer Website nach. Auch dort gibt es verschiedene Aufgaben dazu.
Tags: Vertauschungsgesetz

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